专题04 双曲线方程及其性质（9大考点65题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

专题04 双曲线方程及其性质 9大高频考点概览 考点01 判断方程是否表示双曲线 考点02 根据方程表示双曲线求参数的范围 考点03 求双曲线方程 考点04 轨迹方程-双曲线 考点05 双曲线中的性质综合 考点06 双曲线中的周长问题 考点07 双曲线中的面积问题 考点08 双曲线中的最值及范围问题 考点09 双曲线的应用 地 城 考点01 判断方程是否表示双曲线 一、多选题 1．(24-25高二上·江苏扬州第一中学·期中)已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若，则曲线C为双曲线 C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 【答案】BCD 【分析】根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确； 对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确； 对于C选项，当时，椭圆长轴长， 当时，椭圆长轴长，C正确； 对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得， 双曲线的离心率为， 且双曲线的离心率，故D正确. 故选：BCD. 2．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)曲线，下列结论正确的有（   ） A．若曲线C表示椭圆，则且不等于0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C．若，则短轴长为 D．若，则渐近线为 【答案】ACD 【分析】根据椭圆方程判断A，根据双曲线方程判断B，代入得到具体曲线方程判断CD. 【详解】当曲线表示椭圆时，，且，即且，故A正确； 若曲线C表示双曲线，焦点在轴上时，则，所以， 当焦点在轴上时，，所以，故B错误； 当时，方程为，故，，故C正确； 当时，方程为，所以渐近线方程为，故D正确. 故选：ACD 3．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)设m为实数，已知方程，则下列结论正确的是（      ） A．此方程可以表示圆 B．此方程可以表示椭圆 C．若此方程表示双曲线，则焦点一定在x轴上 D．当时此方程不表示任何曲线 【答案】BCD 【分析】根据方程的结构特征逐项计算判断即可. 【详解】方程可变形为， 对于A，当时，方程无解，故此方程不可以表示圆，故A错误； 对于B，由，即时，此方程的图形是椭圆，故此方程可以表示椭圆，故B正确； 对于C，由，解得， 所以方程表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当时，，方程无解， 故此方程不表示任何曲线，故D正确. 故选：BCD. 4．(23-24高二上·江苏常州第一中学·期中)已知曲线，以下说法正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是两条直线 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是圆，其半径为 【答案】BC 【分析】根据，结合椭圆的标准方程即可判断A；时，方程化为，即可判断B；根据条件结合双曲线标准方程以及双曲线渐近线方程可判断C；结合圆的方程判断D. 【详解】对于A，若，则化为， 则，则是椭圆，其焦点在x轴上，A错误； 对于B，若，即为，即， 即是两条直线，B正确； 对于C，若，不妨设，则化为， 则表示焦点在x轴上的双曲线，， 故其渐近线方程为； 同理当，则化为， 则表示焦点在y轴上的双曲线，， 故其渐近线方程为； 综合知是双曲线，其渐近线方程为，C正确； 对于D，若，则即为， 则是圆，其半径为或，D错误， 故选：BC 5．(23-24高二上·江苏曲塘高级中学·期中)当变化时，方程表示的曲线形状，下列说法中正确的是（    ） A．时，方程表示一条直线 B．或是方程表示双曲线的充要条件 C．时，方程表示椭圆 D．该方程不可能表示抛物线 【答案】ABD 【分析】根据的不同取值分别判断曲线形状即可. 【详解】对于A：当时方程为，所以此时曲线为直线，此时图像是一条直线，A正确； 对于B：方程可以化为， 当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线， 当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线，所以是充分条件； 若方程表示双曲线，则或，解得或者，所以是必要条件， 所以是充要条件，B正确； 对于C：方程可以化为，当时方程为，此时曲线为圆，C错误； 对于D：因为方程可以化为，所以不可能是抛物线，D正确， 故选：ABD 6．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)已知曲线的方程为，则下列选项中正确的有（    ） A．当时，曲线是圆 B．当时，曲线是双曲线 C．当时，曲线是椭圆 D．当且时，曲线是直线 【答案】BD 【分析】根据曲线方程，结合各选项一一判断即可； 【详解】对于A：时，方程为：，错误； 对于B：时，方程为：，为双曲线，正确； 对于C：时，方程为：，代表圆，错误； 对于D：若，，此时变为，表示直线；同理，若，，也表示直线，正确. 故选：BD 地 城 考点02 根据方程表示双曲线求参数的范围 一、单选题 7．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的特点列不等式可解. 【详解】曲线是双曲线，则异号.则，解得. 故选：D. 8．(23-24高二上·江苏常州金坛区·期中)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得. 【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：A 二、填空题 9．(23-24高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知双曲线的方程为,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程的特点求解即可. 【详解】为双曲线方程, 解得或 的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 10．(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)（1）已知两直线，．求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程； （2）已知曲线的方程为，根据下列条件，求实数的取值范围． ①曲线是椭圆； ②曲线是双曲线． 【答案】（1）；（2）①；②. 【分析】（1）求出两条直线的交点坐标，设所求直线方程为，代入即可； （2）根据椭圆的标准方程可得；根据双曲线的标准方程可得，求解即可. 【详解】（1）联立，得，即两条直线的交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 将代入得，即， 所以所求直线方程为； （2）①曲线的方程为， ，又曲线是椭圆， ，解得且， 故实数的取值范围为； ②曲线是双曲线， ，解得或， 故实数的取值范围为. 地 城 考点03 求双曲线方程 一、单选题 11．(23-24高二上·江苏徐州铜山区·调研)已知以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意，得到双曲线的渐近线方程，推出，再由以实轴、虚轴为两条对角线的四边形面积为8，求出，即可得出结果. 【详解】因为双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分， 所以渐近线方程为：，因此， 则实轴与虚轴相等， 又以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为， 则，即， 因此该双曲线的方程为. 故选：B.    二、解答题 12．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)设双曲线C的方程为． (1)若点在双曲线C上，且双曲线C为等轴双曲线． （ⅰ）求双曲线C的方程； （ⅱ）直线l的方程为，直线与双曲线C的右支仅有一个交点，求实数k的取值范围． (2)已知过点，的直线的倾斜角为，求双曲线C的离心率． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）； (2) 【分析】（1）（ⅰ）代入已知点的坐标，结合解方程组可得；（ⅱ）直线方程与双曲线方程联立方程组，消去后得关于的一元二次方程，由方程有两个相等的正根或一正一负根分类讨论可得； （2）由斜率得，平方后可求得离心率． 【详解】（1）（ⅰ）由题意，又，故解得， 所以双曲线标准方程为； （ⅱ）由得（*）， ①若，，时，方程（*）的解为，不合题意； 时，方程（*）的解为，满足题意， ②若，则方程（*）有两个相等正根，或一正一负根， 时，方程有两个相等实根： ， 时，方程（*）的解为，不合题意， 时，方程（*）的解为，满足题意， 时，方程有两个不等实根，方程（*）要有一正根一负根， 则，解得， 综上，的范围是； （2）由题意， ，所以． 13．(24-25高二上·江苏扬州邗江区·期中)已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为， （i）若为双曲线的右顶点，求三角形的面积 （ii）若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）或或或 【分析】（1）利用题中条件建立等式求解即可； （2）（i）根据题中条件直接求解即可；（ii）先建立等式，可知，然后和建立方程组，求出，的值，然后求点即可. 【详解】（1）双曲线实轴长为，故， 双曲线的一条渐近线方程为， 则，故双曲线的方程为. （2）（i）在三角形中，Q到渐近线的距离， 根据双曲线的对称性，， 所以 （ii）设，则，设Q到直线距离为， 同理，所以① 又因为②，由①②解得或， 当时，得或， 又，则或， 解得或，同理有或， 所以点或或或. 14．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中)已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线C的左右焦点分别为，，直线l过且与双曲线C相交于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长； (3)若的面积是12，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) (3)或或. 【分析】（1）由题意可得，，解出，即可求出双曲线C的方程； （2）设直线l的方程为，联立直线l与曲线C的方程，根据根与系数的关系得到，代入弦长公式化简即可得出答案. （3）先设直线和得到韦达定理，表示出三角形的面积公式，代入韦达定理求出参数的值即可. 【详解】（1）双曲线有相同的渐近线为， 双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线， 所以，又因为双曲线C与椭圆有相同的焦点， 所以，所以，又因为， 所以，所以双曲线C的方程为：. （2）,直线l过且斜率为1，设直线l的方程为：， 设， 联立，消去得， 由根与系数关系可得， 所以. （3）若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛盾， 所以直线的斜率不为0，设，， 联立，消去得，应满足， 由根与系数关系可得， ， ,则， 则，解得：或，则或， 直线AB的方程为或， 则直线AB的方程为：或或.    15．(24-25高二上·江苏连云港四校（新浦中学、海滨中学、锦屏高级中学、开发区高级中学）·期中)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意设所求双曲线为，代入点的坐标，求出，即可得解； （2）根据题意可得，， 解方程从而得到双曲线的方程； （3）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入即可得到双曲线的方程. 【详解】（1）∵椭圆的焦点（0，±3）， ∴由题意设所求双曲线为， ∵双曲线过点， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ∴所求双曲线方程为． （2）设双曲线的标准方程为（a，b＞0）， 则渐近线为，            ∵焦距为8，渐近线斜率为， ∴，， 又，所以，， ∴双曲线的标准方程为， （3）因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 所以，解得， 所以双曲线方程为． 16．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为2． (1)求双曲线方程； (2)过点（的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，动点M满足，求点M的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线及焦点到渐近线的距离可求基本量，从而可求双曲线的方程； （2）设直线，联立直线方程和双曲线方程后结合韦达定理可用表示的坐标，从而可求其轨迹. 【详解】（1）因为双曲线渐近线的方程为：，则， 而焦点到渐近线的距离为2，故（为半焦距），故， 故，故双曲线方程为：. （2）由题设可得的斜率必定存在，设直线，， 由可得 ， 因为直线与双曲线左、右两支分别交于两点， 故，故， 又，而， 因，故， 所以，故，故，代入后可得， 因为，故， 故的轨迹方程为：. 17．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离公式求出即可； （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式求出，即可求出直线的方程． 【详解】（1）∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． （2）由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由得， 由题意得，解得， 因为， 所以， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或．    18．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知双曲线与椭圆有相同的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程； (3)若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程. （2）设过点的双曲线为，利用点求得，从而求得该双曲线的方程. （3）利用点差法求得直线的方程. 【详解】（1）椭圆，即， 所以，所以， 所以双曲线的方程为. （2）双曲线，对应，所以渐近线方程为， 设过点的双曲线的标准方程为， 所以，所以. （3）设，则， 两式相减并化简得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 由， 消去并化简得，符合. 所以直线的方程为. 19．(24-25高二上·江苏盐城中学·期中)已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设双曲线方程为，双曲线右焦点为，列方程组即可求解； （2）设，则将直线和双曲线联立可求得关于的方程，根据韦达定理可求得，可解出，，，用两点式表达出直线的方程，将已知代入即可求解. 【详解】（1）由题意可设双曲线方程为，双曲线右焦点为， 双曲线过点，且焦点到渐近线的距离为1， 根据题意可知渐近线方程为， 根据右焦点为到直线距离， 又因点在双曲线上，所以代入可得，解之可得， 故双曲线方程为. （2）设，则， 将直线与双曲线联立可得，消去可得 根据韦达定理可知，， 所以， 则， ，所以 解之可得， 直线方程为， 将已知代入， 化简可得，所以直线过定点，定点为. 20．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)设a为实数，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足． ①求斜率k的取值范围； ②证明：点H恒在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）由点在双曲线上，代入解出即可； （2）①设出直线方程，直曲联立，消去，利用方程有两个正根，得到判别式大于零，两根之和和积大于零求出取值范围即可； ②设，表示出韦达定理，由题中线段长度的关系得到，再结合韦达定理化简，求出定直线即可； 【详解】（1）因为点在双曲线C上，所以，整理得， 即，解得，则双曲线C的方程为； （2）（ⅰ）易知直线l的方程为，即， 联立，消去y并整理得， 设，， 因为直线l与双曲线的右支有两个不同的交点M，N， 所以关于x的方程有两个不同的正数根，， ， 解得，则斜率k的取值范围为； （ⅱ）设， 由（ⅰ）得，， 因为，，， 又P，M，N，H在同一直线l上，所以，， 由得，即， 化简得，所以， 整理得，解得，即 又点在直线上，所以 即，整理得，故点H恒在定直线上．    【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问关键在于结合一元二次方程的性质求出；第二问关键在于利用韦达定理结合题中线段比例关系，将所在直线表示为的直线方程. 21．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据条件确定的值及双曲线经过点，可求双曲线的标准方程. （2）先根据直线与圆线切和与直线垂直，求出直线的方程，代入双曲线方程，可求，利用求弦长. （3）求出弦长和点坐标，再结合直线斜率的取值范围确定的最小值. 【详解】（1）由圆与双曲线只有两个交点可知：， 又根据题意，双曲线过点，所以， 所以双曲线的标准方程为：. （2）如图： 因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 设直线的方程为：，即， 由， 不妨令，则直线的方程为：， 代入得：， 整理得：， 设，，则，， 所以， 所以， 若，亦可得， 综上：. （3）设直线的方程为，由， 不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，， 则，因为， 所以，， 将代入双曲线可得：， 整理得：， 设，，则，， 因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 即的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问中，可设直线方程为，关键在于确定的取值范围.可由，结合圆和双曲线的对称性，可设点在第二象限，可得直线斜率的取值范围，再结合，即可得直线的斜率的取值范围. 22．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知等轴双曲线的左、右焦点分别，，且焦距为，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且. (1)求的方程； (2)若直线的斜率为，求直线的斜率； (3)若四边形的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据题意结合等轴双曲线的定义列式求，即可得方程； （2）设直线，，根据向量平行可得，结合韦达定理可得，代入运算求解即可； （3）根据双曲线方程利用两点间距离公式和倾斜角推得，，结合面积关系可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知：，    设直线，， 联立方程，消去可得， 则，可得， 因为， 若，则， 即，整理可得， 又因为， 可得，解得， 此时即为，解得或（舍去）， 此时，即， 所以直线的斜率. （3）设， 则，即， 可得， 设直线的倾斜角为，则， 可得，解得， 同理可得， 此时梯形的高为， 可知梯形的面积， 整理可得，解得或（舍去）， 可知或，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 【点睛】关键点点睛：第三问根据双曲线方程和倾斜角推得，，这样方便计算面积. 23．(23-24高二上·江苏宿迁青华中学·期中)求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2； (2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，且，由此即可得解. （2）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，将点代入即可得解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 故设满足题意的双曲线的标准方程为， 又因为双曲线的渐近线方程为，两顶点之间的距离为2， 所以，解得， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. （2）因为所求双曲线方程与双曲线有共同的渐近线， 故设满足题意的双曲线的标准方程为， 又因为所求双曲线经过点， 所以，解得， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 24．(23-24高二上·江苏常州溧阳·调研)（1）求焦点在轴上，离心率为，短轴长为的椭圆的标准方程； （2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设椭圆方程，根据离心率和短轴长，求出，得到椭圆的标准方程. （2）设双曲线方程，根据渐近线方程，过点，求出双曲线的标准方程. 【详解】（1）由题设所求椭圆标准方程为，由题，即， 又，，解得， 所以，所求椭圆的标准方程为. （2）法1：（1）当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为， 由双曲线经过点得① 由双曲线的渐近线方程为得② 由①②解得，，， 此时，所求双曲线方程为. （2）当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为， 由双曲线经过点得① 由双曲线的渐近线方程为得② 不存在同时满足①②的，. 综上所述，所求双曲线的标准方程为. 法2：由渐近线方程为可设所求双曲线的方程为， 又双曲线经过点，则有， ∴所求双曲线的标准方程为. 25．(23-24高二上·江苏常州第一中学·期中)已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为直线上任一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，过的实轴右顶点作垂直于轴的直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设双曲线，将点代入计算即可求解； （2）设，，求出m、n的表达式并分别联立双曲线方程，利用可得、，即是方程的解，根据韦达定理表示出，代入化简计算即可求解. 【详解】（1）设双曲线，过点，代入坐标可得， 所以双曲线C的标准方程为； （2）设，， 所以， 即， 则， 化简可得：，同理可得：； 所以均是方程的解； 所以， ， ， 故 .    26．(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知双曲线经过点，两个焦点在轴上，离心率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与双曲线相交于，两点，点关于轴对称点为，点关于轴对称点为，设直线的斜率为，请问与的乘积是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，由待定系数法列方程组求解； （2）法一：由题可得，可得的表达式，结合作差可得结论； 法二：由题可得，设直线方程为，所以，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，可得结论. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 双曲线经过点，则有， 因为，所以，即. 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）法一：由题可得， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以. 所以与的乘积为定值，定值为. 法二：由题可得， 设直线方程为，则， 所以，所以， 由，得， 所以， 所以，即，所以， 所以与的乘积为定值，定值为. 27．(23-24高二上·江苏扬州邗江区·期中)已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且点在该双曲线上.直线交C于P，Q两点，直线的斜率之和为 (1)求该双曲线方程； (2)求的斜率； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知列出关系式，求出，然后将点的坐标代入方程，即可得出答案； （2）解法一：设，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标之间的关系.由已知斜率之和为0，列出方程，化简得出或.检验即可得出答案；解法二：设直线PA方程：，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得出点的坐标.同理得出点的坐标，进而代入斜率公式，化简即可得出答案. 【详解】（1）双曲线的渐近线是 ，即， 根据对称性，不妨取右焦点， 则焦点到渐近线的距离为：， 所以，双曲线C的方程为. 将点A代入双曲线方程得，得：， 故双曲线方程为. （2）解法一： 由题意可知直线l的斜率存在，设， 设，，则联立直线与双曲线得： ， 则， 又， 所以，. 由韦达定理可得，， 所以， 化简得：， 故， 整理可得， 解得或. 若，即时， ，即过A点， 显然直线l不过A点，故l的斜率 解法二： 设直线PA方程：， 将代入双曲线，化简得： ， 且有，. 由韦达定理可得， 所以有，，. 以 ，可得. 所以，. 28．(23-24高二上·江苏南通如东县·期中)若为坐标原点，双曲线：的离心率为，点在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，.，分别为双曲线的左、右顶点，设过点的动直线交双曲线的右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)（i）证明是否定值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理，分别表示出，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以， 由双曲线的定义知：，， 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为. （2） （i）设，，直线的方程为， 由，消元得. 则，， 且， 所以 ， 或由韦达定理可得，即， 故， ， 即与的比值为定值. （ii）设直线：，代入双曲线方程并整理得： ， 由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为， 由韦达定理得：，解得. 因为点在双曲线的右支上，所以， 解得，即， 同理可得， 由（2）中结论可知， 得，所以， 故， 设，其图像对称轴为， 则在，上单调递减， 故， 故的取值范围为 29．(23-24高二上·江苏徐州·期中)已知双曲线：经过点，且渐近线方程为． (1)求的方程； (2)过点作轴的垂线，交直线：于点，交轴于点．不过点的直线交双曲线于A、B两点，直线，的斜率分别为，，若，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用双曲线的性质待定系数法计算即可； （2）分类讨论的直线方程，并与双曲线联立，根据韦达定理及两点斜率公式计算出过定点，再由三角形面积之比转化为线段之比即可. 【详解】（1）由，即， 将代入双曲线方程得； （2） 当直线的斜率存在时，不妨设直线，， 联立双曲线方程， 其中， ， 易知 ， 化简得 所以或， 当时，直线过P，不符题意舍去， 故，则此时直线，过定点. 如图所示，易知， 则； 当直线的斜率不存在时，可设， 与双曲线方程联立，则， 可令， 此时， 此时重合，不符题意舍去. 综上可知. 【点睛】关键点睛：本题关键点在于第二问中由条件转化中的关系，此外三角形面积比转化为线段比也是简化计算的关键. 30．(23-24高二上·江苏常州溧阳·调研)若双曲线的一个焦点是，且离心率为2. (1)求双曲线的方程； (2)设过焦点的直线与双曲线的右支相交于两点（不重合）， ①求直线的倾斜角的取值范围； ②在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①②存在，的坐标为 【分析】（1）由及离心率求解，进而得双曲线方程； （2）①按直线斜率是否存在分类求解.联立直线与双曲线方程，由判别式条件与两交点都在右支上，利用韦达定理转化为斜率的不等关系求解斜率范围，则可得所求倾斜角的范围；②利用韦达定理，将条件“直线和的斜率之积为常数”，转化为不受参数的影响恒为常数，待定系数求解方程组即可. 【详解】（1）由题意，， 又，则，， 所以，双曲线的方程为. （2）①（i）当直线斜率存在时， 设直线：，，， 联立， 整理得：， 由题得： 解得或， 此时，直线的倾斜角的范围为. （ii）当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为. 综上可知，直线的倾斜角的范围为. ②（i）当直线斜率存在时，设直线和的斜率之积，， 由（2）①得： ， 又 ， 得： ， 上对于任意的都成立， 所以， 解得：或， 即当坐标为时，； 当坐标为时，. （ii）当直线斜率不存在时，此时，. 当坐标为时，； 当坐标为时，. 综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数. 31．(23-24高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知双曲线的离心率为，右焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线过定点且与双曲线交于不同的两点、，点是双曲线的右顶点，直线、分别与轴交于、两点，以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，定点 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得出，可得出双曲线的渐近线方程，利用已知条件求出的值，即可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）解法一：对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，以为直径的圆过轴上的定点，则，利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，可得出定点坐标，在直线的斜率不存在时，求出圆的方程，验证圆过定点即可； 解法二：分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，以为直径的圆过轴上的定点，则，利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，可得出定点坐标. 【详解】（1）解：由双曲线的离心率为，得，所以， 则渐近线方程为即，右焦点到渐近线距离为， 所以，，，，则双曲线的方程是. （2）解：以线段为直径的圆过轴上的定点． 法一：当直线斜率存在时，设直线的方程为， 若直线的斜率为零，则、中有一点与点重合，不合乎题意，则， 由得：． 当时，， 设、，则有，． 又是双曲线的右顶点，则． 由题意知，直线的方程为，故． 直线的方程为，故． 若以为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立． 又，， 所以，恒成立． 又 ． 所以，，解得． 故以为直径的圆过轴上的定点； 当直线斜率不存在时，直线的方程为， 联立可得，记点、， ，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点，同理可得点， 则以为直径的圆的方程为，过点． 法二：若直线与轴重合，则、中有一点与点重合，不合乎题意， 设直线的方程为，代入得． 则，解得， 设点、，则， 直线的方程为， 令，得，即，同理得 设以线段为直径的圆过轴上的定点，有，即， 且，， 则， 解得，所以，直线恒过定点． 【点睛】关键点点睛：本题考查以为直径的圆过定点问题，再解决这类问题时，要注意找出定点的位置，将定点问题转化为直径所对的圆周角为直角，转化为向量垂直来处理. 地 城 考点04 轨迹方程-双曲线 一、单选题 32．(23-24高二上·江苏连云港赣榆区·期中)方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项平方化简可得答案. 【详解】由得， 两边平方得，且得， 两边再平方得， 可化简为. 故选：D. 33．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程. 【详解】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 二、多选题 34．(23-24高二上·江苏常州第一中学·期中)已知圆，圆，圆，圆，直线，则（    ） A．与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B．与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C．过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D．与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【答案】ABC 【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是双曲线的一支，正确； 对选项B：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是椭圆，正确； 对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为， 圆心轨迹是抛物线，正确； 对选项D：设圆心为，半径为，则，，故， 在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误； 故选：ABC. 三、解答题 35．(23-24高二上·江苏南通崇川区、通州区·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，点，以线段FG为直径的圆与圆O相切，记动点G的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)设点M在x轴上，点，在W上是否存在两点A，B，使得当A，B，N三点共线时，是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标和直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）结合题意，通过相切可判断动点G的轨迹为双曲线，进而求出方程; （2）利用是以AB为斜边的等腰直角三角形得到：，，找到的关系，并求出，进而得到相应的直线. 【详解】（1）设，以线段FG为直径的圆的圆心为点C，圆C与圆O相切于点H， 则．因为C为FG的中点，O为的中点， 所以，． 当圆C与圆O内切时，； 当圆C与圆O外切时，， 所以为定值． 又因为，所以动点G的轨迹是以，F为焦点的双曲线． 设它的方程是（，）， 则，，即，所以W的方程为． （2）假设存在符合题意的点A，B， 由A，B，N三点共线，知直线AB斜率存在． 设直线AB的方程为，，， 由消去y并整理，得， 则解得，且， ， 设线段AB的中点为， 则，． 设点，则，． 连结TM，则， 即，即，整理得． 由， 得， 即， 即， 所以， 整理，得，解得， 显然满足条件，且． 当时，点M的坐标为，直线AB的方程为； 当时，点M的坐标为，直线AB的方程为． 所以存在满足题意的两点A，B，此时，直线AB的方程为； 或，直线AB的方程为．      36．(23-24高二上·江苏泰州口岸中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义确定出的值，由此可求，则的方程可求； （2）设出直线的方程，通过联立思想结合韦达定理求得，再结合三角形面积公式可求结果. 【详解】（1）因为， 所以的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为， 因为渐近线的斜率为， 所以，， 联立可得， 所以， 所以， 又因为到直线的距离， 所以， 化简可得，即，解得，经检验符合条件， 综上可知，直线的斜率为. 37．(23-24高二上·江苏曲塘高级中学·期中)已知椭圆的左、右顶点为、，与y轴平行的直线交椭圆于两点、，直线与直线的交点为P． (1)求点P的轨迹方程Γ； (2)若曲线Γ上的点Q满足，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设,，则，且，写出直线与的方程，联立可解出点P的轨迹方程； （2）设，则，设，在中，由余弦定理求得，从而得，利用三角形面积公式可求得答案. 【详解】（1） ，设, 则，且①， 直线的方程为：②， 直线的方程为：③， ②×③得，由①得， ，即， 故点P的轨迹方程Γ为：. （2）设，则，即， 设， ， ， 在中，，， 由余弦定理得，即， 即， ∵，，∴， ∴上式两边平方整理得， ， ∴（舍）或， ∴， ∴的面积. 38．(23-24高二上·江苏泰州联盟五校·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点，根据题意，由化简求解； （2）设直线的方程为，，，，与双曲线方程联立，表示直线的方程为，令，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设点，由题意得： ， 化简得： 所以点M的轨迹方程是； （2）由题意；直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，， 联立，消去整理得， 则，，解得， ， 直线的方程为， 令，得， ， ， 所以直线过定点 地 城 考点05 双曲线中的性质综合 一、单选题 39．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出双曲线的标准方程即可求解. 【详解】双曲线的实轴长为4， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：D． 40．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线的方程求解即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以，解得. 故选：D. 41．(24-25高二上·江苏常州金坛区·期中)双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本量的关系可求实数的值. 【详解】双曲线方程可化为：，其中， 因为实轴长是虚轴长的2倍，故，故， 故选：D. 42．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)双曲线的焦点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程及焦点坐标直接可得解. 【详解】由已知双曲线的焦点为，则 双曲线方程为， 则， 解得， 故选：A. 43．(24-25高二上·江苏泰州·期中)双曲线的一个焦点是，则（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】D 【分析】化双曲线方程为标准形式，再由半径焦距求出. 【详解】由双曲线的一个焦点是，得，方程为， 则，解得. 故选：D 44．(23-24高二上·江苏扬州第一中学·期中)若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则的值为（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆与双曲线的性质计算即可. 【详解】由表示双曲线，则，其焦点坐标为， 易知椭圆的长轴端点即其左右顶点坐标为， 由题意知与重合，即. 故选：A 45．(23-24高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义即可判断选项. 【详解】由得， 所以，即， 设点与另一个焦点的距离为， 因为与它的一个焦点的距离等于1， 所以由双曲线定义知：， 解得（舍）， 所以点与另一个焦点的距离为.所以A正确. 故选：A. 46．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，设该双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得， 即双曲线的方程为，化为标准式方程为. 故选：A. 二、多选题 47．(22-23高二上·江苏常州第二中学·期中)已知双曲线，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的焦点坐标为 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断. 【详解】双曲线，则， 双曲线的离心率，故A正确； 双曲线的虚轴长为，故B错误； 双曲线的焦点坐标为，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，故D正确. 故选：ACD 48．(23-24高二上·江苏盐城联盟校·期中)设分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．存在实数t，使直线与双曲线左右两支各有一个交点 C．双曲线C的实轴长是 D．双曲线C的离心率是 【答案】AD 【分析】根据已知条件求得，结合双曲线的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于双曲线的焦点在轴上，所以， 由于，所以，A正确， 双曲线方程为，， 所以双曲线的实轴长为，C错误， 离心率为，D正确. 双曲线的渐近线方程为，斜率为， 由于直线的斜率为， 所以不存在实数，使直线与双曲线左右两支各有一个交点，B错误. 故选：AD 49．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知双曲线的左右焦点分别为，，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于，两点，则下列结论正确的有（   ） A．左焦点到渐近线距离为 B．若，则或1 C．若，则，两点位于的两支 D．点不可能是线段的中点 【答案】ACD 【分析】对于选项A，根据点到直线距离公式判断；对于选项B，根据双曲线的定义判断；对于选项C，联立直线与双曲线方程，看交点横坐标的正负情况来确定是否在两支；对于选项D，设，，代入双曲线方程相减，再结合中点坐标公式判断. 【详解】对于选项A，由双曲线，得渐近线方程为，即. 左焦点，左焦点到渐近线距离，所以选项A正确. 对于选项B，根据双曲线定义，又，则， 当时，；当时，. 但是，所以舍去，，选项B错误. 对于选项C，当时，直线的方程为. 联立，消去得， 展开并整理得，即. ， 所以方程有两个不同的实根，设两根为，，，即两根异号， 所以直线与双曲线相交于两支上，选项C正确. 对于选项D，由，得到. 展开. 整理得. ，. 设，，若是中点，则，则， 所以，代入，矛盾. 所以点不可能是线段的中点，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 50．(23-24高二上·江苏镇江丹阳·期中)已知双曲线的左右两个焦点分别是、，焦距为8，点是双曲线上一点，且，则 . 【答案】或 【分析】直接利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由已知得， ，解得， 当点是双曲线左支上一点时，，则， 当点是双曲线右支上一点时，，则， 或 故答案为：或. 51．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)已知双曲线的离心率为，则点到C的渐近线的距离为 . 【答案】 【分析】由离心率等于求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】因为双曲线的离心率为，可得，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 所以点到双曲线的渐近线的距离为. 故答案为：. 52．(23-24高二上·江苏响水县清源高级中学·期中)已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得． 【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 53．(23-24高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，，，.    如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值， 即有最小值. 故答案为：. 地 城 考点06 双曲线中的周长问题 一、单选题 54．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 二、解答题 55．(22-23高二上·江苏盐城滨海县东元高级中学、射阳高级中学等三校·期中)经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 【答案】(1)30 (2)64 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由弦长公式求解， （2）由双曲线的定义转化后求解． 【详解】（1）由题意得直线AB的方程为, 代入双曲线方程可得, 设，则 即的长为 （2）由双曲线的定义得=， 则的周长为 =. . 56．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知双曲线经过点，且左焦点为. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作斜率为的弦，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据点在双曲线上及双曲线参数关系列方程求双曲线标准方程； （2）由题设，联立双曲线求得，结合双曲线定义求焦点三角形的周长. 【详解】（1）由题设且，可得，故； （2） 由（1）知，则直线， 联立双曲线，得，整理，可得或， 不妨令，则， 而，故，， 所以. 地 城 考点07 双曲线中的面积问题 一、解答题 57．(22-23高二上·江苏盐城响水中学·期中)已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点的直线与抛物线交于两点. (1)求抛物线方程； (2)若，且在轴的下方，在轴的上方，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】(1)求出双曲线的右顶点，得到抛物线的焦点，即可求解抛物线方程． (2) 两点在抛物线上，设两点的坐标，由解出坐标，可求的面积． 【详解】（1）由双曲线的右顶点为， 即可得抛物线的焦点， 所以抛物线的方程为． （2）过点的直线与抛物线交于两点，设，， 由，有，即 ， 由 ，解得，有，， 直线的斜率，则直线的方程为，直线与轴相交于点， 所以的面积 58．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)已知双曲线的焦点为，，渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)点在上，且满足，求及的面积. 【答案】(1) (2)，15 【分析】（1）根据双曲线的焦点，可得的值，结合渐近线方程，可得的值，可得答案； （2）根据双曲线的方程以及垂直直线的斜率公式，建立方程组，可得答案. 【详解】（1）因为的焦点为，，所以，① 不妨设的标准方程为， 因为的渐近线方程为，所以，② 又，③ 联立①②③，解得，， 故的标准方程为. （2）    因为在双曲线上，所以，④ 因为，所以， 整理得，⑤ 联立④⑤，解得. 所以的面积. 59．(23-24高二上·江苏常州金坛区·期中)在直角坐标系中，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线C上，设为双曲线上的动点，直线与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线与y轴相交于点Q. (1)求双曲线C的方程； (2)在x轴上是否存在一点T，使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由； (3)求M点的坐标，使得的面积最小. 【答案】(1)， (2)存在或， (3)的坐标是或. 【分析】根据渐近线方程得,点在双曲线上，列出方程组求解即可; （2）假设,由直线方程得坐标,由向量的数量积运算可得,用坐标表示这个结论可得与关系,再由点在双曲线可得结论; （3）直接计算的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标. 【详解】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为. （2）设,如图: 根据题意知，直线斜率存在，则，则 则直线:,令得, 因为点关于轴的对称点为,所以, 则,令得, 因为,平方可得, 因为, 则, 因为即，所以, 则,即, 所以存在或满足条件; （3）如图 因为 ， 又，则,代入上式得: , 当时，时，， 则， 当且仅当，即时取等. 当时，，则， 当且仅当,即时等号成立, 故应在时取得取最小值， 此时,即 所以的坐标是或时,的面积最小. 地 城 考点08 双曲线中的最值及范围问题 一、多选题 60．(24-25高二上·江苏锡山高级中学·期中)已知双曲线的焦距为，为左右焦点，为双曲线上不同的三点，其中两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为，则下列说法正确的是（   ） A．若过点的直线与的右半支交于两点，则直线的倾斜角的取值范围为 B．若为双曲线上一点，且，则 C．若为双曲线上任意一点，则 D．若为双曲线右支上一点，延长交双曲线右支于点，设与的内切圆半径分别为，则 【答案】ACD 【分析】根据和焦距可求得双曲线的方程；根据直线与双曲线交点情况可确定其斜率与渐近线斜率之间的关系，由斜率和倾斜角的关系可判断出A正确；结合双曲线定义和余弦定理可求得B错误；利用双曲线方程化简与，可知C正确；根据双曲线焦点三角形内心在轴投影为双曲线的顶点，结合可求得D正确. 【详解】设，，则， ， 又，，，， 双曲线的方程为：； 对于A，由双曲线方程可得渐近线方程为：， 过点的直线与的右半支交于两点，或， 直线的倾斜角的取值范围为，A正确； 对于B，由双曲线定义知：，， ，B错误； 对于C，设，则， ，，，， ， ，，， ，即，C正确； 对于D，设的内切圆与分别相切于点， 则，，， ，又， ，，即， 在直线上，同理可知：的内切圆圆心在直线上； 平分，平分，， ，即，又轴， ，即，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系、双曲线中焦点三角形的相关知识；本题求解焦点三角形相关问题的关键是能够熟练应用双曲线的定义对长度关系进行转化，同时能够熟练掌握焦点三角形内心的位置特征. 二、填空题 61．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出直线的方程，利用双曲线的右支上一点到的距离恒大于，可得直线与其平行的渐近线的距离恒大于等于，进而可得出答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 因为直线过且与的一条渐近线平行， 不妨设直线的方程为，即， 由的右支上一点到的距离恒大于， 可得直线到直线的距离恒大于等于， 直线到直线的距离， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 62．(24-25高二上·江苏南京·期中)已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2． (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且与圆交于A，B两点，， ①求的方程和的值； ②若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值. 【答案】(1) (2)①或；②动圆圆心到点距离的最小值为. 【分析】（1）根据圆的切线长公式求解即可； （2）①利用直线被圆截得的弦长公式可求的方程，再根据向量的数量积公式结合余弦定理可求的值；②利用双曲线的定义，确定动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，再利用两点间的距离公式求解. 【详解】（1）    过点作圆的切线，设切点为,连接， 因为, 所以, 所以圆. （2）显然, 直线的斜率存在，设直线的方程为， 设圆心到直线的距离为， 所以，解得， 又因为，整理得，， 解得或， 所以的方程为或； 在中，, 所以. 设动圆的半径为，则由题意可得， , 所以， 所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支， 则有， 所以双曲线方程为， 设动点，则有，所以， 所以， 由二次函数的性质可知，当时， 有最小值，最小值为， 所以，此时. 63．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于，两点，设点，，其中，， ①若，求直线斜率的取值范围； ②过点作直线的垂线，垂足为，若直线与轴交于点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析，定点 【分析】（1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）①由知道直线过定点，设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，又因为，，所以两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围； ②设直线方程和垂足的坐标，联立方程组并消元得到一元二次方程，由韦达定理得到交点横坐标与参数的等式，由建立方程整理求解得到，由此得到直线定点. 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）①因为，，所以直线的斜率存在， 因为，所以直线过点. 设直线为， 由消去得，， 则有，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ②设直线，， 由消去得，，， ， 因为直线与轴交于点， 所以，即，即， 即， 所以， 所以， 即， 即， 所以，所以直线为， 所以直线恒过定点. 【点睛】方法点睛，直线与圆锥曲线交点问题，一般采用联立方程组，借助韦达定理得到点的坐标和所设参数的关系，再由条件建立相应的等式或不等式，即可求出范围或者参数之间的关系，从而解决求范围问题或者定点定值问题. 地 城 考点09 双曲线的应用 一、单选题 64．(24-25高二上·江苏泰州民兴实验中学·期中)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【答案】D 【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D    二、解答题 65．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴时，求出点坐标，结合的斜率为，列式求出得解； （2）设，由，可得，结合，求出点坐标，得解. 【详解】（1）由光学性质知，三点共线， 因为，所以， 当轴时，在双曲方程中令，解得，则， 所以，即， 又因为，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，因为， 所以，即，可得， 又，所以，，所以 所以方程为，即：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题04双曲线方程及其性质 ☆9大高频考点概览 考点01判断方程是否表示双曲线 考点02根据方程表示双曲线求参数的范围 考点03求双曲线方程 考点04轨迹方程-双曲线 考点05双曲线中的性质综合 考点06双曲线中的周长问题 考点07双曲线中的面积问题 考点08双曲线中的最值及范围问题 考点09双曲线的应用 考点01 判断方程是否表示双曲线 一、多选题 C:- 1.(24-25高二上江苏扬州第一中学期中)已知曲线m-13-m 父xeR,下列说法正确的是《) A.若1<m<3,则曲线C为椭圆 B.若m<1,则曲线C为双曲线 C.若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D.若曲线℃为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于5大于1 x2 y2 2.24-25高二上江苏盐城七校联考期中)曲线C2+k十2-k1,下列结论正确的有(） C: A.若曲线C表示椭圆，则-2<k<2且k不等于0B.若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 、3 C.若2，则短轴长为√2 D.若k=3,则渐近线为严≥X -x 5 1/20 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x=I 3.(24-25高二上·江苏准安高中校协作体·期中)设m为实数，已知方程4-m2+m，则下列结论正确 的是() A.此方程可以表示圆 B.此方程可以表示椭圆 C.若此方程表示双曲线，则焦点一定在x轴上 D.当m>4时此方程不表示任何曲线 4.(23-24高二上·江苏常州第一中学期中)已知曲 C:mr+w=1,以下说法正确的是（） A.若n>m>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上 B.若m=0n>0 ,则C是两条直线 m C.若mn<0,则C是双曲线，其渐近线方程为'=±√ n D.若m=n>0,则C是圆，其半径为m 5.23-24高二上江苏曲培高级中学期中)当m变化时，方程m-+3-m少=(m-3-m表示的曲 线形状，下列说法中正确的是() A.m=1时，方程表示一条直线 B.m<1或m>3是方程表示双曲线的充要条件 C.1<m<3时，方程表示椭圆 D.该方程不可能表示抛物线 6.24-25高二上江苏素州兴化期中)已知曲线C的方程为+b=b(a6eR,则下列选项中正确的 有() A.当a=b≠0时，曲线C是圆 B.当ab<0时，曲线C是双曲线 C.当ab>0时，曲线C是椭圆 D.当h=0月a2+B≠0m 且 时，曲线是直线 2/20 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点02 根据方程表示双曲线求参数的范围 、 单选题 x2 =1 7.(24-25高二上·江苏常州联盟学校期中)若曲线2-1t是双曲线，则实数t的取值范围为() A.t<0 B.t>2 C.0<t<2 D.t>2或t<0 8.23-24高二上江苏常州金坛区期中)若方程mr+1-m)广= 表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的 取值范围为() A.m<0 B.m>1 C.0<m<1 D.m<1且m≠0 二、填空题 x2,y2 9.23-24高二上江苏无锡辅仁高级中学期中)已知双曲线的方程为k十2)k1,则太的取值范围是一 三、解答题 10.(24-25高二上江苏常州奔牛、二中、武高期中)(1)已知两直线：3x-y-1=0,4:x+2y-5=0 求过两直线的交点，且平行于直线3x+4y-5=0的直线方程； x2 y2 -=1 (2)已知曲线C的方程为8-m4-m，根据下列条件，求实数m的取值范围. ①曲线C是椭圆： ②曲线C是双曲线. 考点03 求双曲线方程 一、单选题 3/20 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ,x2y2 1Ⅱ.(23-24高二上江苏徐州铜山区调研)已知以双曲线C:京左=1a>0,b>0) 的实轴、虚轴为两条对角 线的四边形的面积为8，且双曲线C的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线C的方程为() x_=1 A.88 B.44 C.22 D.x2-y2=1 二、解答题 x2 y2 12.(2425高二上江苏南京外国语学校期中)设双曲线C的方程为a京=1(a>0,b>0) A(3,-1) (1)若点 在双曲线C上，且双曲线C为等轴双曲线. (i)求双曲线C的方程； y=kx+1 (ⅱ)直线1的方程为 ,直线与双曲线C的右支仅有一个交点，求实数k的取值范围. (a,0)(0,b) 150° (2)已知过点， 的直线的倾斜角为，求双曲线C的离心率. C: 13.(2425高二上·江苏扬州邪江区期中)已知双曲线C:a京=1(a>0,b>0 的实轴长为2√5，右焦点F 到一条渐近线的距离为1. (1)求C的方程： 2过C上一点”作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为 H2 OH H2 (①)若P为双曲线C的右顶点，求三角形 的面积 (i)若O1+QH,=2,求点0的坐标 4/20 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x2 y2 14.24-25高二上江苏扬州扬州大学附属中学期中已知双曲线C。云1（a>0,>0)与双曲线 y2 x2 =1 x2+y2 =1 93有相同的渐近线，与椭圆62有相同的焦点，双曲线C的左右焦点分别为F,B,直线 1过且与双曲线C相交于4,8两点 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线I的斜率为1，求线段AB的长： 日)芳△M65的面积是12，求直线AB的方程 15.(24-25高二上·江苏连云港四校（新浦中学、海滨中学、锦屏高级中学、开发区高级中学）·期中)求适 合下列条件的双曲线的标准方程： y2 x2 (1)与椭圆2516有公共焦点，且过点-20， (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为 3； 1 3)经过点(4,3)，且一条渐近线的方程为y=2x. x2 y2 16,24-25高二上江苏常州金坛区期中已知双曲线C:豆京1（a>0,6>0)的一条渐近线为 y=2x 且一个焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线方程； 2)过点0， )(的直线与双曲线左、右两支分别交于P,0两点，动点M满足OM=O丽+0 ,求点M的轨 迹方程. C:xy 17.(24-25高二上江苏常州高级中学期中)已知双曲线C:。户=1(a>0,b>0)。 的一条渐近线方程为 5/20 耐学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3x+y=0 焦点到渐近线的距离为V6 (1)求双曲线C的方程： (2)设O为坐标原点，若直线I过点(0,2)，与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，且△AOB的面积 为26 ,求直线的方程. C:2 18.(2425高二上江苏连云港赣榆区期中)已知双曲线C:。-广=1a>0) 与椭圆4x2+9y2=36有相同的 焦点 (1I)求双曲线C的方程： (2)求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(2,3)的双曲线的标准方程： B)若直线与双曲线C交于P、2两点，且P、2的中点坐标为 (3,1) ,求直线的方程 19.(24-25高二上江苏盐城中学期中)已知焦点在，轴上的双曲线c过点 其焦点到渐近线的距离 为1. (1)求双曲线C的标准方程； :x=my+1 (2)已知直线 与双曲线C的右支交于八，B两点，点E与点八关于轴对称，求证：直线E过 定点，并求出定点的坐标. C:y 20.(24-25高二上江苏南京南京师范大学附属中学期中)设口为实数，点(2,3)在双曲线C:。a+21 上. (1)求双曲线C的方程： (2)过点 作斜率为k的动直线I与双曲线右支交于不同的两点M,N,在线段MW上取异于点M,N PMMH 的点H,满足PWHN. ①求斜率k的取值范围： 6/20 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ②证明：点H恒在一条定直线上. x2 y2 21.2425高二上江苏南通如案部分学校期中)已知圆0：x+y2=4与双曲线C:。疗=1(a>0,6>0 C: 只有两个交点，过圆O上一点T的切线I与双曲线C交于A,B两点，与y轴交于D点.当T与D重合时， 4B=4V5 (1)求双曲线C的方程： (2)若直线or的斜率为3，求|4B: 4 OD 3)当片1 3」时，求AB的最小值 2.2425高二上苏南通海安高级中学期中已知等轴双曲线T:二发a>0,6>0的左、右焦点分 别，5，且焦距为25,8分别是”在第二念限和第象限上的一点，且少职 (1)求「的方程； (2)若直线AB的斜率为3，求直线AR的斜率： 的面积为2√6 AFFB AF (3)若四边形 ,求直线的方程。 23.(23-24高二上·江苏宿迁青华中学·期中)求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的渐近线方程为y=x,焦点在x轴上，两顶点之间的距离为2： x2 y2 2)与双曲线93有共同的渐近线，并且经过点V6,-1. =1 24.(23-24高二上·江苏常州溧阳·调研)(1)求焦点在x轴上，离心率为2，短轴长为4V3的椭圆的标准方 程 5 (2)求经过点 且渐近线方程为y=±2x的双曲线的标准方程。 7/20 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 x2 y2 1 25.(23-24高二上·江苏常州第一中学期中)已知双曲线C与双曲线42有共同的渐近线，且过点 2 (1)求双曲线C的标准方程： (2)已知P为直线x=2上任一点，过点P作双曲线C的两条切线PAPB,切点分别为AB,过C的实轴右 顶点作垂直于x轴的直线与直线PAPB分别交于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为mn,求mn的值. 26.(23-24高二上江苏宿迁泗阳县·期中)已知双曲线c经过点 6,2,两个焦点在轴上，离心率为 万 2· (1)求双曲线C的标准方程： (2)若斜率为 k≠0的直线与双曲线C相交于A,两点，点A关于'轴对称点为4，点 B关于轴对称点为B,设直线48的斜率为，请问“与的乘积是否为定值，若是，请求出这个定值， 若不是，请说明理由、 C:22 27.(23-24高二上江苏扬州邢江区期中)已知双曲线C:a京=1a>0,b>0 的焦点到渐近线的距离为 A(2,1) 、AP,A 1,且点 在该双曲线上直线交C于P,Q两点，直线 的斜率之和为0， (1)求该双曲线方程： (2)求的斜率； x2 y2 28.(23-24高二上江苏南通如东县期中若0为坐标原点，双曲线c:京不=1a>0,6>0)的离心率为 8/20 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5 ,点P在双曲线C上，点F,F分别为双曲线C的左右焦点，P-PF=16.M,N分别为双曲 线C的左、右顶点，设过点4,0的动直线交双曲线C的右支于A,B两点，若直线4M,BN的斜率 分别为不w,w (1)求双曲线C的标准方程： KAM (2)(i)证明kw是否定值： 2 (i求w=w+专人v的取值范围。 x2 y2 29.2324高=上江苏徐州期中已知双菌线C,。方-1a>0,6>0经过点P4,且浙近线方程为 y=tv3x (1)求C的方程： (2)过点P作y轴的垂线，交直线I:x=1于点M,交y轴于点N.不过点P的直线交双曲线C于A、B两 SMAB 点，直线PA,PB的斜率分别为k,k,若k+k=2,求SNB. 30.23-24高汀苏常州澳阳调研若双曲线C:左a>0,6>0的一个焦点是F2,0,且离心 率为2. (1)求双曲线C的方程： 2设过焦点F的直线与双曲线C的右支相交于4“两点（不重合）， A.B ①求直线的倾斜角的取值范围； ②在x轴上是否存在定点M,使得直线MA和MB的斜率之积为常数，若存在，求出M的坐标，若不存在， 请说明理由。 9/20 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 .xy 5 31.23-24高=上江苏常州联盟学校期中)已知双曲线C:。尔=1a>0,6>0的离心幸为2，右焦点 C F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线C的方程； ②若直线过定点M4,0)且与双曲线C交于不同的两点A、B,点N是双曲线C的右顶点，直线4N、 BN 分别与轴交于P、 PO ”两点，以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标：若不 是，说明理由. 目目 考点04 轨迹方程-双曲线 一、单选题 32.(23-24高二上江苏连云港赣榆区期中)方程V父+y+2-R+y-2=2可化简为（) A.+ 31 C.2 31 0y号=s0 33.(24-25高二上江苏南通通州区、如东县2地期中)方程Vx+V62+少2-Vx-V6>2+少2 =4的化简结 果为() x2 y2 y2 x2 =1 x2 y2 A.42 =1B.42 C621 x2_y2=1 D.16-81 二、多选题 34.2324高二上江苏常州第一中学期中)已知因G:6x+2+y1,圆C:x++少=1，圆 10/20