第十五章　轴对称 单元素养测评卷 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第十五章　轴对称 单元素养测评卷120分钟　120分 一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2025·营口期中)在以下四个标志中,是轴对称图形的是( ) 2.如果点P(2,b)和点Q(a,-3)关于x轴对称,则a+b的值是( ) A.-1 B.1 C.-5 D.5 3.如图,在△ABC中,分别以点A,C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交AC于点D,交BC于点E,连接AE.则下列结论不一定正确的是( ) A.AB=AE B.AD=CD C.AE=CE D.∠AED=∠CED 4.(2025·大连九中期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=8 cm,则BC的长度为( ) A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm 5.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C的度数为( ) A.45° B.50° C.52° D.55° 6.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D,E.已知△ABC与△BCE的周长分别为22 cm和14 cm,则BD的长为( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 7.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是( ) A.在同一个三角形中,等边对等角 B.两个角互余的三角形是等腰三角形 C.如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形 D.如果一个三角形有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形 8.在平面直角坐标系中,已知A(0,6),B(6,0),若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A的坐标是(0,2),以OA为边在其右侧作等边三角形OAA1,过点A1作x轴的垂线,垂足为点O1,以O1A1为边在其右侧作等边三角形O1A1A2,再过点A2作x轴的垂线,垂足为点O2,以O2A2为边在其右侧作等边三角形O2A2A3,…,按此规律继续作下去,得到等边三角形O2 025A2 025A2 026,则点A2 026的纵坐标为( ) A. B. C. D. 10.如图,已知△ABC与△CDE都是等边三角形,点B,C,D在同一条直线上,AD与BE相交于点G,BE与AC相交于点F,AD与CE相交于点H,连接FH.给出下列结论:①△ACD≌△BCE;②∠AGB=60°;③BF=AH;④△CFH是等边三角形.其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 11.已知等腰三角形的两边长分别是2和6,则它的周长是 .  12.如图,在3×3的正方形网格中,有A,B,C,D四个格点(网格线的交点),以其中一个点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点可能是点 .  13.如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,点E在AD上,且DE=BC,则∠AFE的度数为 .  14.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= .  15.如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,点E是AC边的中点,P是AD上的一个动点,连接PE,PC,当PC+PE的值最小时,则∠APE的度数为 .  三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(8分)用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗?如果能,请求出它的另两边长. 17.(8分·2025·大连质检)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). (1)请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标; (2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2; (3)在x轴上求作一点P,使点P到A,B两点的距离和最小,请标出P点,并直接写出点P的坐标为________ .  18.(8分)如图,△ABC是等边三角形,点D为AB边上一点,DE⊥BC,垂足为E,过D作DF⊥AB交AC于点F,连接EF,若DE=EF,CF=1,求△ABC的边长. 19.(8分)如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE. (1)求证:BD=CE; (2)若AD=BD=DE,求∠BAC的度数. 20.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点 D. (1)求∠ADB的度数; (2)过点A作AE∥BC,交BD的延长线于点E,判断△ADE是否是等腰三角形,并说明理由. 21.(10分·2025·鞍山期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在△ABC内,BD=BC, ∠DBC=60°,点E在△ABC外,∠BCE=150°,∠ABE=60°. (1)求∠ADB的度数; (2)判断△ABE的形状并加以证明. 22.(12分·2025·抚顺新抚区期中)如图,∠ABC=120°,AB=BC,D是AC边上一点,满足AD=3CD,连接BD并延长到点E,使得DE=BD,连接CE. (1)用尺规作图作出AC边上的高BF(保留作图痕迹,不写作法); (2)求证:BC=2CE. 23.(13分·2024·沈阳苏家屯区质检)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E. (1)如图1,连接EC,求证:△EBC是等边三角形; (2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作 ∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系; (3)如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G.试探究ND,DG与AD之间的数量关系,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章　轴对称 单元素养测评卷 120分钟　120分 一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2025·营口期中)在以下四个标志中,是轴对称图形的是(D) 2.如果点P(2,b)和点Q(a,-3)关于x轴对称,则a+b的值是(D) A.-1 B.1 C.-5 D.5 3.如图,在△ABC中,分别以点A,C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交AC于点D,交BC于点E,连接AE.则下列结论不一定正确的是(A) A.AB=AE B.AD=CD C.AE=CE D.∠AED=∠CED 4.(2025·大连九中期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=8 cm,则BC的长度为(C) A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm 5.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C的度数为(C) A.45° B.50° C.52° D.55° 6.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D,E.已知△ABC与△BCE的周长分别为22 cm和14 cm,则BD的长为(B) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 7.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是(C) A.在同一个三角形中,等边对等角 B.两个角互余的三角形是等腰三角形 C.如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形 D.如果一个三角形有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形 8.在平面直角坐标系中,已知A(0,6),B(6,0),若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是(C) A.5 B.6 C.7 D.8 9.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A的坐标是(0,2),以OA为边在其右侧作等边三角形OAA1,过点A1作x轴的垂线,垂足为点O1,以O1A1为边在其右侧作等边三角形O1A1A2,再过点A2作x轴的垂线,垂足为点O2,以O2A2为边在其右侧作等边三角形O2A2A3,…,按此规律继续作下去,得到等边三角形O2 025A2 025A2 026,则点A2 026的纵坐标为(A) A. B. C. D. 10.如图,已知△ABC与△CDE都是等边三角形,点B,C,D在同一条直线上,AD与BE相交于点G,BE与AC相交于点F,AD与CE相交于点H,连接FH.给出下列结论:①△ACD≌△BCE;②∠AGB=60°;③BF=AH;④△CFH是等边三角形.其中正确结论的个数是(D) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 11.已知等腰三角形的两边长分别是2和6,则它的周长是　14　.  12.如图,在3×3的正方形网格中,有A,B,C,D四个格点(网格线的交点),以其中一个点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点可能是点　B　.  13.如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的中线,点E在AD上,且DE=BC,则∠AFE的度数为　105°　.  14.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= 或　.  15.如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,点E是AC边的中点,P是AD上的一个动点,连接PE,PC,当PC+PE的值最小时,则∠APE的度数为　60°　.  三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(8分)用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗?如果能,请求出它的另两边长. 【解析】(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,则2x+2x+x=20,解得x=4, ∴各边长分别为8 cm,8 cm,4 cm. (2)①当5 cm为底边长时,腰长为7.5 cm; ②当5 cm为腰长时,底边长为10 cm,因为5+5=10,故不能构成三角形,舍去; 所以能围成有一边长为5 cm的等腰三角形,另两边长为7.5 cm,7.5 cm. 17.(8分·2025·大连质检)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). (1)请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标; (2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2; (3)在x轴上求作一点P,使点P到A,B两点的距离和最小,请标出P点,并直接写出点P的坐标为________　.  【解析】(1)∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称, ∴点A1(1,-1),B1(4,-2),C1(3,-4). (2)如图,△A2B2C2即为所求. (3)如图,点P即为所求,点P的坐标为(2,0). 答案:(2,0) 18.(8分)如图,△ABC是等边三角形,点D为AB边上一点,DE⊥BC,垂足为E,过D作DF⊥AB交AC于点F,连接EF,若DE=EF,CF=1,求△ABC的边长. 【解析】∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°,∵DE⊥BC,DF⊥AB, ∴∠DEB=∠ADF=90°, ∴∠BDE=30°,∴∠EDF=180°-30°-90°=60°, ∵DE=EF,∴△DEF是等边三角形,∴∠DEF=60°, ∴∠CEF=180°-60°-90°=30°,∴∠EFC=180°-60°-30°=90°, ∵∠CEF=30°,CF=1,∴CE=2CF=2, 在△BDE和△CEF中,, ∴△BDE≌△CEF(AAS),∴CF=BE=1,∴BC=BE+CE=3, ∴△ABC的边长为3. 19.(8分)如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE. (1)求证:BD=CE; (2)若AD=BD=DE,求∠BAC的度数. 【解析】(1)过点A作AF⊥BC于F. ∵AB=AC,AD=AE. ∴BF=CF,DF=EF, ∴BD=CE. (2)∵AD=DE=AE, ∴△ADE是等边三角形, ∴∠DAE=∠ADE=60°. ∵AD=BD, ∴∠DAB=∠DBA. ∴∠DAB=∠ADE=30°. 同理可得∠EAC=30°, ∴∠BAC=120°. 20.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点 D. (1)求∠ADB的度数; (2)过点A作AE∥BC,交BD的延长线于点E,判断△ADE是否是等腰三角形,并说明理由. 【解析】(1)∵AB=AC,∠BAC=36°, ∴∠ABC=∠C=×(180°-36°)=72°,∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠ABC=36°,∴∠ADB=180°-36°-36°=108°. (2)△ADE是等腰三角形,理由如下: ∵AE∥BC, ∴∠DAE=∠C=72°, ∵∠ADB=108°, ∴∠ADE=180°-108°=72°, ∴∠ADE=∠DAE, ∴△ADE是等腰三角形. 21.(10分·2025·鞍山期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在△ABC内,BD=BC, ∠DBC=60°,点E在△ABC外,∠BCE=150°,∠ABE=60°. (1)求∠ADB的度数; (2)判断△ABE的形状并加以证明. 【解析】(1)∵BD=BC,∠DBC=60°, ∴△DBC是等边三角形, ∴DB=DC,∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°, 在△ADB和△ADC中,, ∴△ADB≌△ADC(SSS),∴∠ADB=∠ADC, ∴∠ADB=×(360°-60°)=150°. (2)△ABE是等边三角形.证明如下: ∵∠ABE=∠DBC=60°,∴∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△EBC中,, ∴△ABD≌△EBC(ASA), ∴AB=BE,∵∠ABE=60°,∴△ABE是等边三角形. 22.(12分·2025·抚顺新抚区期中)如图,∠ABC=120°,AB=BC,D是AC边上一点,满足AD=3CD,连接BD并延长到点E,使得DE=BD,连接CE. (1)用尺规作图作出AC边上的高BF(保留作图痕迹,不写作法); (2)求证:BC=2CE. 【解析】(1)如图所示,线段BF即为所求. (2)∵∠ABC=120°,AB=AC,∴∠BAC=∠ACB=30°, ∵AD=3CD,∴CF=2CD,∴FD=CD,∵BF⊥AC,∴AF=FC, 在△BFD和△ECD中, ,∴△BFD≌△ECD(SAS),∴CE=BF, ∵∠BCF=30°,∠BFC=90°,∴BC=2BF,∴BC=2CE. 23.(13分·2024·沈阳苏家屯区质检)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E. (1)如图1,连接EC,求证:△EBC是等边三角形; (2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作 ∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系; (3)如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G.试探究ND,DG与AD之间的数量关系,并说明理由. 【解析】(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°,BC=AB. ∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠DBA=∠A=30°.∴DA=DB. ∵DE⊥AB,∴AE=BE=AB. ∴BC=BE. ∴△EBC是等边三角形. (2)结论:AD=DG+DM. 如图2所示,延长ED使得DW=DM,连接MW, 由(1)知DA=DB,∵DE⊥AB,∠A=30°, ∴∠ADE=∠BDE=60°, ∴∠WDM=∠ADE=60°,∠MDB=60°,又∵DM=DW, ∴△WDM是等边三角形,∴MW=DM, ∵∠WMG=∠WMD+∠DMG,∠DMB=∠BMG+∠DMG, ∠BMG=∠WMD=60°,∴∠WMG=∠DMB, 在△WGM和△DBM中,, ∴△WGM≌△DBM(ASA),∴BD=WG=DG+DM, ∴AD=DG+DM. (3)结论:AD=DG-ND. 如图3所示,延长BD至H,使得DH=DN. 由(1)得DA=DB, ∵DE⊥AB,∠A=30°, ∴∠2=∠3=60°. ∴∠4=∠5=60°. ∴△NDH是等边三角形. ∴NH=ND,∠H=∠6=60°. ∴∠H=∠2. ∵∠BNG=60°,∴∠BNG+∠7=∠6+∠7. 即∠DNG=∠HNB. 在△DNG和△HNB中,, ∴△DNG≌△HNB(ASA). ∴DG=HB. ∵HB=HD+DB=ND+AD, ∴DG=ND+AD. ∴AD=DG-ND. 学科网（北京）股份有限公司 $