第十七章　因式分解 单元素养测评卷 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第十七章　因式分解 单元素养测评卷 120分钟　120分 一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A.x2+x=x(x+1) B.(x+2)(x-2)=x2-4 C.(x+1)2=x2+2x+1 D.x2-x+1=x(x-1)+1 2.单项式6a3b与9a2b3的公因式是( ) A.a2b B.3a3b3 C.3a2b D.18a3b3 3.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是( ) A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5 4.因式分解(x-1)2-9的结果是( ) A.(x-10)(x+8) B.(x+8)(x+1) C.(x-2)(x+4) D.(x+2)(x-4) 5.把多项式2x3-8x因式分解的最后结果是( ) A.2(x3-4x) B.2x(x2-4) C.2x(x-2)2 D.2x(x+2)(x-2) 6.把多项式x2y5-xynz因式分解时,提取的公因式是xy5,则n的值可能为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 7.如图,长、宽分别为a,b的长方形周长为16,面积为12,则a2b+ab2的值为( ) A.80 B.96 C.192 D.240 8.若m为自然数,则(2m+3)2-4m2的值总能( ) A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 9.先观察下列各式:①32-12=4×2;②42-22=4×3;③52-32=4×4;④62-42=4×5;…下列选项成立的是( ) A.n2-(n-1)2=4n B.(n+1)2-n2=4(n+1) C.(n+2)2-n2=4(n+1) D.(n+2)2-n2=4(n-1) 10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”.如8=32-12,16=52-32,即8,16均为“和谐数”.在不超过2 024的正整数中,所有“和谐数”之和等于( ) A.255 025 B.255 024 C.257 048 D.257 049 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 11.6x3y2z和4x2z的公因式是 .  12.一个多项式,把它因式分解后有一个因式为(x-1),请你写出一个符合条件的多项式: .  13.已知多项式x2-2(m-3)x+9是完全平方式,则m的值为 .  14.若实数x满足x2-x-1=0,则代数式x3-2x2+2 025的值为 .  15.任何一个正整数n都可以进行这样的分解:n=s×t(s,t是正整数,且s≤t),如果p×q(p≤q)在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:F(n)=.例如18可以分解成1×18,2×9,3×6这三种,这时就有F(18)==.给出下列关于F(n)的说法:①F(2)=;②F(24)=;③F(27)=3;④若n是一个完全平方数,则F(n)=1.其中正确说法序号是 .  三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(8分)指出下列多项式的公因式: (1)-27a2b3+36a3b2+9a2b. (2)x(x+y)2-2x2(x+y). 17.(8分)因式分解: (1)-x2y+6xy-9y. (2)9(m+n)2-(m-n)2. 18.(8分)因式分解可以简化一些复杂的计算,如图,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为U,则U=IR1+IR2+IR3.当R1=19.76,R2=32.41,R3=35.83,I=2.5时,请利用因式分解计算出U的值. 19.(8分)(1)利用因式分解进行简便运算:992+202×99+1012; (2)因式分解:5x(x-y)2+10(y-x)3. 20.(8分)如图,约定:上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式. (1)求整式M,P; (2)将整式P因式分解. 21.(10分)如图,长方形的长为a,宽为b,已知长比宽多1,且面积为12,求下列各式的值: (1)a2b-ab2; (2)3a3b-6a2b2+3ab3. 22.(12分)阅读下列解题的过程. 分解因式:x4+64. 解:x4+64=x4+16x2+64-16x2 =(x2+8)2-16x2 =(x2+8+4x)(x2+8-4x). 请按照上述解题思路完成下列因式分解: (1)a4+4; (2)x4-43x2y2+81y4. 23.(13分)【阅读理解,自主探究】把代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件,这种解题方法叫作配方法.配方法在代数式求值、解方程、求最值问题等方面都有着广泛的应用. 例1用配方法因式分解:a2+6a+8. 原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4). 例2若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值;a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1; ∵(a-b)2≥0,(b-1)2≥0, ∴当a=b=1时,M有最小值1. 请根据上述学习材料解决下列问题: (1)用配方法因式分解:a2-12a+35; (2)若M=a2-3a+2 024,求M的最小值; (3)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,求△ABC的周长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章　因式分解 单元素养测评卷 120分钟　120分 一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列从左到右的变形,属于因式分解的是(A) A.x2+x=x(x+1) B.(x+2)(x-2)=x2-4 C.(x+1)2=x2+2x+1 D.x2-x+1=x(x-1)+1 2.单项式6a3b与9a2b3的公因式是(C) A.a2b B.3a3b3 C.3a2b D.18a3b3 3.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是(A) A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5 4.因式分解(x-1)2-9的结果是(D) A.(x-10)(x+8) B.(x+8)(x+1) C.(x-2)(x+4) D.(x+2)(x-4) 5.把多项式2x3-8x因式分解的最后结果是(D) A.2(x3-4x) B.2x(x2-4) C.2x(x-2)2 D.2x(x+2)(x-2) 6.把多项式x2y5-xynz因式分解时,提取的公因式是xy5,则n的值可能为(A) A.6 B.4 C.3 D.2 7.如图,长、宽分别为a,b的长方形周长为16,面积为12,则a2b+ab2的值为(B) A.80 B.96 C.192 D.240 8.若m为自然数,则(2m+3)2-4m2的值总能(A) A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 9.先观察下列各式:①32-12=4×2;②42-22=4×3;③52-32=4×4;④62-42=4×5;…下列选项成立的是(C) A.n2-(n-1)2=4n B.(n+1)2-n2=4(n+1) C.(n+2)2-n2=4(n+1) D.(n+2)2-n2=4(n-1) 10.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”.如8=32-12,16=52-32,即8,16均为“和谐数”.在不超过2 024的正整数中,所有“和谐数”之和等于(C) A.255 025 B.255 024 C.257 048 D.257 049 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 11.6x3y2z和4x2z的公因式是　2x2z　.  12.一个多项式,把它因式分解后有一个因式为(x-1),请你写出一个符合条件的多项式:　x2-1(答案不唯一)　.  13.已知多项式x2-2(m-3)x+9是完全平方式,则m的值为　0或6　.  14.若实数x满足x2-x-1=0,则代数式x3-2x2+2 025的值为　2 024　.  15.任何一个正整数n都可以进行这样的分解:n=s×t(s,t是正整数,且s≤t),如果p×q(p≤q)在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:F(n)=.例如18可以分解成1×18,2×9,3×6这三种,这时就有F(18)==.给出下列关于F(n)的说法:①F(2)=;②F(24)=;③F(27)=3;④若n是一个完全平方数,则F(n)=1.其中正确说法序号是　①④　.  三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(8分)指出下列多项式的公因式: (1)-27a2b3+36a3b2+9a2b. 【解析】(1)-27a2b3+36a3b2+9a2b的公因式为9a2b; (2)x(x+y)2-2x2(x+y). 【解析】(2)x(x+y)2-2x2(x+y)的公因式为x(x+y). 17.(8分)因式分解: (1)-x2y+6xy-9y. 【解析】(1)原式=-y(x2-6x+9)=-y(x-3)2; (2)9(m+n)2-(m-n)2. 【解析】(2)原式=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n). 18.(8分)因式分解可以简化一些复杂的计算,如图,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为U,则U=IR1+IR2+IR3.当R1=19.76,R2=32.41,R3=35.83,I=2.5时,请利用因式分解计算出U的值. 【解析】∵U=IR1+IR2+IR3,R1=19.76,R2=32.41,R3=35.83, I=2.5, ∴U=IR1+IR2+IR3 =I(R1+R2+R3) =2.5×(19.76+32.41+35.83) =2.5×88 =220. 19.(8分)(1)利用因式分解进行简便运算:992+202×99+1012; 【解析】(1)992+202×99+1012 =992+2×101×99+1012 =(99+101)2 =2002 =40 000; (2)因式分解:5x(x-y)2+10(y-x)3. 【解析】(2)5x(x-y)2+10(y-x)3 =5x(y-x)2+10(y-x)3 =5(y-x)2(2y-x). 20.(8分)如图,约定:上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式. (1)求整式M,P; 【解析】(1)根据题意得:M=(3x2-4x-20)-3x(x-3) =3x2-4x-20-3x2+9x =5x-20; P=3x2-4x-20+(x+2)2 =3x2-4x-20+x2+4x+4 =4x2-16; (2)将整式P因式分解. 【解析】(2)P=4x2-16 =4(x2-4) =4(x+2)(x-2). 21.(10分)如图,长方形的长为a,宽为b,已知长比宽多1,且面积为12,求下列各式的值: (1)a2b-ab2; (2)3a3b-6a2b2+3ab3. 【解析】根据题意得a-b=1,ab=12. (1)原式=ab(a-b) =12×1 =12; (2)原式=3ab(a2-2ab+b2) =3ab(a-b)2 =3×12×12 =36. 22.(12分)阅读下列解题的过程. 分解因式:x4+64. 解:x4+64=x4+16x2+64-16x2 =(x2+8)2-16x2 =(x2+8+4x)(x2+8-4x). 请按照上述解题思路完成下列因式分解: (1)a4+4; 【解析】(1)a4+4 =a4+4a2+4-4a2 =(a2+2)2-4a2 =(a2+2a+2)(a2-2a+2); (2)x4-43x2y2+81y4. 【解析】(2)x4-43x2y2+81y4 =x4-18x2y2+81y4-25x2y2 =(x2-9y2)2-25x2y2 =(x2-9y2+5xy)(x2-9y2-5xy). 23.(13分)【阅读理解,自主探究】把代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件,这种解题方法叫作配方法.配方法在代数式求值、解方程、求最值问题等方面都有着广泛的应用. 例1用配方法因式分解:a2+6a+8. 原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4). 例2若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值;a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1; ∵(a-b)2≥0,(b-1)2≥0, ∴当a=b=1时,M有最小值1. 请根据上述学习材料解决下列问题: (1)用配方法因式分解:a2-12a+35; 【解析】(1)a2-12a+35=a2-12a+36-1=(a-6)2-12=(a-6+1)(a-6-1) =(a-5)(a-7); (2)若M=a2-3a+2 024,求M的最小值; 【解析】(2)M=a2-3a+2 024=a2-3a++2 021 =(a-)2+2 021, ∵(a-)2≥0, ∴(a-)2+2 021的最小值为2 021,即M的最小值为2 021; (3)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,求△ABC的周长. 【解析】(3)∵a2+b2+c2=6a+8b+10c-50, ∴(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0, ∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0, ∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0, ∴a-3=0,b-4=0,c-5=0, 解得a=3,b=4,c=5, ∴△ABC的周长为a+b+c=3+4+5=12. 学科网（北京）股份有限公司 $