专题01 集合及其运算20大题型65题（期中专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题01 集合及其运算 题型1 判断元素能否构成集合 题型11 判断两个集合是否相等 题型2 判断元素与集合的关系 题型12 根据两个集合相等求参数（常考点） 题型3 利用集合元素的互异性求参数（重点） 题型13 空集及其应用（重点） 题型4求集合中元素的个数 题型14 交集的运算（重点） 题型5 根据集合中元素的个数求参数 题型15 并集的运算（重点） 题型6 判断集合的子集（真子集）的个数（常考点） 题型16 补集的运算（重点） 题型7 子集（真子集）的个数的应用（难点） 题型17 交并补的混合运算（重点） 题型8 求子集（真子集）（重点） 题型18 Venn图（重点） 题型9 判断两个集合的包含关系（重点） 题型19 容斥原理及其应用 题型10 根据集合的包含关系求参数（重点） 题型20 集合新定义（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断元素能否构成集合（共3小题） 1．（24-25高一上·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 【答案】C 【分析】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论. 【详解】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合； 对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合; 对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合； 对于D，小于的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合. 故选：C 2．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【答案】C 【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得. 【详解】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误； 对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 题型二 判断元素与集合的关系（共3小题） 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 故选：A 5．（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 6．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 题型三 利用集合元素的互异性求参数（共3小题） 7．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 8．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 【答案】14 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 9．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 题型四 求集合中元素的个数（共3小题） 10．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 11．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合，则中元素的个数为 【答案】4 【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果. 【详解】将满足的整数对列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个. 故答案为：4 12．（24-25高一上·河南·期中）若集合，则的元素个数为 . 【答案】4 【分析】由集合的描述法可得结果. 【详解】由题意得，所以的元素个数为4. 故答案为：4. 题型五 根据集合中元素的个数求参数（共3小题） 13．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 14．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可. 【详解】当时，解得，满足题意； 当时，此时，解得， 所以的值构成的集合为， 故答案为：. 15．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 题型六 判断集合的子集（真子集）的个数（共3小题） 16．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 17．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 18．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 题型七 子集（真子集）的个数的应用（共2小题） 19．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 【答案】或或 【分析】首先根据，求出参数的值；然后再根据子集的概念求解集合即可 【详解】由于，所以或， 解得：或； 当时，不满足元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意. 又因为集合是集合的子集且有两个元素， 所以或或. 故答案为：或或. 20．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 题型八 求子集（真子集）（共3小题） 21．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 22．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 23．（24-25高一上·广西南宁·期中）写出集合的所有子集和真子集. 【答案】答案见解析 【分析】借助子集的概念与真子集的概念逐项列出即可得. 【详解】的子集有： 、、、、、、、； 的真子集有： 、、、、、、. 题型九 判断两个集合的包含关系（共3小题） 24．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．= 【答案】A 【分析】根据集合中的元素满足的约束即可求解. 【详解】由，可知： 集合是由所有的奇数构成的集合，而集合中的元素是的倍数，故， 故选：A. 25．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（多选）已知集合，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为，所以，，，，， 选项ACD正确，B错. 故选：ACD. 26．（24-25高一上·江苏南京·期中）（多选）设集合，，，，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出集合，再利用集合之间的关系判断即可. 【详解】由题意得，， ，， 我们先化简集合，集合可化为， 所以，故A正确，而点在直线上， 则成立，故C正确，因为是数集， 是点集，二者一定无交集， 故成立，故D正确， 因为是数集，是点集， 二者一定无交集，故不成立，故B错误. 故选：ACD 题型十 根据集合的包含关系求参数（共3小题） 27．（24-25高一上·广东·期中）（多选）已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】化简集合，分和两种情况讨论即可求. 【详解】由题意得， 因为是的真子集， 当时，，得； 当时，，得， 故的取值范围为. 故选：AD 28．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可. 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 29．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 题型十一 判断两个集合是否相等（共3小题） 30．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 31．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 32．（24-25高一上·广东阳江·期中）（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】由两集合相等定义可判断集合是否相同. 【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确； B选项，均为点集，但包含的元素不同，则两集合不同，故B正确； C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确； D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误. 故选：ABC 题型十二 根据两个集合相等求参数（共3小题） 33．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得，所以， 故选：A 34．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果. 【详解】依题意可知，由于可知， 此时， 所以，解得或(舍去) 即. 故答案为： 35．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 题型十三 空集及其应用（共3小题） 36．（23-24高一上·贵州黔东南·期中）（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 37．（24-25高一上·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【分析】根据空集的定义逐项判断即可. 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 38．（24-25高一上·上海·期中）若，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用空集的定义，结合一元二次不等式的解集情况，分类列式求出范围. 【详解】当时，不成立，，符合题意，； 当时，由，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 题型十四 交集的运算（共5小题） 39．（24-25高一上·海南儋州·期中）设，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】根据交集的结果直接求出参数的取值范围. 【分析】因为，且， 所以. 故选：A. 40．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集结果得出集合间的包含关系，由包含关系可得的不等关系，从而得的范围. 【详解】由题意， 在，中， ， ∴解得. 故选：C. 41．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以集合中元素的个数为. 故选：. 42．（24-25高一上·福建福州·期中）集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的定义可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选： 43．（24-25高一上·福建三明·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【分析】因为，， 所以， 故选：B 题型十五 并集的运算（共5小题） 44．（24-25高一上·河南开封·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式化简集合，再求集合的交集与并集，结合选项可得答案. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 45．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合并集运算即可求解. 【详解】,则. 故选：. 46．（24-25高一上·甘肃临夏·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【详解】因为，， 则. 故选：D. 47．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等价于，列式求解即可； （2）利用，等价于，列式求解即可. 【详解】（1），， 因为，所以， 所以解得， 故实数的取值范围为； （2），， 因为，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，解集为， 综上，实数的取值范围为. 48．（24-25高一上·广东深圳·期中）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）先求出集合B，再根据交集和并集的定义计算即可； （2）由题设得，分和两种情况分析计算即可得解. 【详解】（1）若，则， 所以，. （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则. 综上，实数a的取值范围为. 题型十六 补集的运算（共3小题） 49．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程化简集合，再利用补集的定义进行求解即可. 【详解】全集， 则 故选：A. 50．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用交集的定义求解即可； （2）求得，利用并集的定义即可求解； （3）求得，利用交集的定义可得求解． 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，， 所以或， 所以或. （3）因为，， 因为或， 所以. 51．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知集合，，求，，，. 【答案】或，或，，或或. 【分析】由题意，利用集合交并补的运算，可得答案. 【详解】由，， 则，， 或，或， 所以或，或， 或，或或. 题型十七 交并补的混合运算（共3小题） 52．（24-25高一上·安徽滁州·期中）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出全集，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，，， 则，，所以，. 故选：B. 53．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）全集，，，，则下列判断正确的有（    ） A． B．或 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AD 【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以或，故错误； 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故错误； 因为，所以或， 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故正确. 故选：. 54．（24-25高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）先求出当时的集合，再根据补集和并集定义即可计算求解. （2）先由题意求得，接着求出，再分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）若，则， 所以或，又集合或， 所以或. （2）因为，所以， 因为，， 所以当时符合题意，此时，即； 当时，要使， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 题型十八 Venn图（共3小题） 55．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 56．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 【答案】D 【分析】由集合的交并补运算即可得出答案. 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为． 故选：D. 57．（24-25高一上·福建泉州·期中）（多选）设全集为，集合，如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的交并补和维恩图的关系即可得到答案. 【详解】对A，由图知，故A正确； 对B，由图知不是的子集，故B错误； 对C，由图知，故C正确； 对D，由图知，故D正确. 故选：ACD. 题型十九 容斥原理及其应用（共3小题） 58．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 59．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 60．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 题型二十 集合新定义（共5小题） 61．（24-25高一上·山西·期中）（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（   ） A．若，，则是一个戴德金分割 B．若，，则是一个戴德金分割 C．若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D．若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【答案】BCD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确； 对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确； 对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确. 故选：BCD. 62．（24-25高一上·广东·期中）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分别利用题中的概念判断每一个选项即可； 【详解】选项A，由题可知，，故正确； 选项B, , 所以， 同理 所以，故选项B正确； 选项C，，故当集合中没有元素时，选项C错误； 选项D，由题可知，但是可能为空集，所以选D错误； 故选：AB 63．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 64．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】(1)或或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【详解】（1）因为，且B是“等差集”， 所以B至少含有三个元素， 根据“等差集”的定义可知：， 所以或或； （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. （3）假设是“等差集”，显然 则存在，使得成立， 整理得， 易知，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 【点睛】思路点睛：仔细审题，读出有用信息，根据集合的三要素，通过分类讨论可解决第二问，结合正难则反的思想可处理第三问. 65．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请写出集合和． (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值31，最小值11，理由见解析 【分析】（1）根据、的定义来求得正确答案. （2）根据非空子集的个数确定最大值，利用特殊值法来确定最小值. 【详解】（1），， 所以， ，， ， 所以. （2）最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素． 可以构造如下集合：，这个集合的元素均为素数， 中最大的元素为，则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同， 从而集合由该数字的所有大于1的因数组成， 所以中元素个数的最大值为31． 最小值：不妨设，取，显然有， 则， 则至少有11个元素． 可以构造如下集合：， 此时，所以中元素个数的最小值为11． 综上所述，中元素个数的最大值为31，最小值为11. 【点睛】方法点睛： 对于根据新定义求集合的问题，关键是要准确理解定义中各个符号的含义和运算规则，然后按照规则对给定集合的相关情况进行逐一分析和计算. 求集合元素个数的最值问题，对于最大值，通常可以从集合的基本性质（如子集个数）出发进行分析，通过构造特殊集合来验证；对于最小值，需要根据题目条件（如元素的性质、大小关系等）进行推理，同样通过构造合适的集合来验证.在构造集合时，要充分考虑如何满足题目要求，使构造的集合能够清晰地说明最值的情况. $可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01集合及其运算 题型归纳·内容导航 题型1判断元素能否构成集合 题型11判断两个集合是否相等 题型2判断元素与集合的关系 题型12根据两个集合相等求参数（常考点） 题型3利用集合元素的互异性求参数（重点） 题型13空集及其应用（重点） 题型4求集合中元素的个数 题型14交集的运算（重点) 题型5根据集合中元素的个数求参数 题型15并集的运算（重点) 题型6判断集合的子集（真子集）的个数（常考点）：题型16补集的运算（重点） 题型7子集（真子集）的个数的应用（难点） 题型17交并补的混合运算（重点） 题型8求子集（真子集）（重点） 题型18Venn图（重点） 题型9判断两个集合的包含关系（重点） 题型19容斥原理及其应用 题型10根据集合的包含关系求参数（重点） 题型20集合新定义（难点） 题型通关·靶向提分 题型一判断元素能否构成集合（共3小题） 1.(24-25高一上·湖北期中)下列各组对象不能构成集合的是() A.中国古代四大发明 B.所有无理数 C.2024年高考数学难题 D.小于的正整数 2.(24-25高一上广西南宁期中)下列对象能组成集合的是() A.非常接近0的数 B.身高很高的人 C.绝对值为5的数 D.著名的数学家 3.(24-25高一上四川南充期中)下列选项中，能够构成集合的是() A.南充高中高2024级个子较高的学生B.高中数学人教A版必修第一册中的难题 C.关于x的方程x2-1=0的所有实根 D.无限接近于的所有实数 题型二判断元素与集合的关系（共3小题） 1/11 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25高一上湖南邵阳·期中)下列关系中正确的是() A. )∈Q B.2R C.OEN* D.πeZ 5.(24-25高一上·上海·期中)以下选项中，是集合A={(x,y)y3x-5}的元素的是() A.(1,-2) B.(2,-1) c.(3,5) D.(4,8) 6.(24-25高-上天津南开期中)给出下列关系：①-2：N:②0gZ;③2∈Q:④-3∈R:⑤ 1.2ieQ.其中错误的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 题型三利用集合元素的互异性求参数（共3小题） 7.(24-25高一上江苏扬州期中)集合{x,x2-1,2中的x不能取的值是() A.0 B.1 C.2 D.3 8.（24-25高一上山东威海期中)己知集合A={4,x-4,x-7},若7∈A,则x=_ 9.(24-25高一上湖北期中)己知集合A={1,2,3,B={1,m,m+2},若2-m∈A,则实数 m- 题型四求集合中元素的个数（共3小题） 10.（24-25高一上福建福州期中)己知集合A={1,2,3,B={3,5),则C={xx=2a-b,a∈A,b∈B中的 元素个数为() A.3 B.4 c.5 D.6 11.(24-25高一上浙江杭州期中)设集合A={《x,yx2+y2≤2，xeN,yeN},则A中元素的个数为 12.(24-25高一上河南期中)若集合A={0,1,3},B={xyx0A,y∈A,则B的元素个数为 题型五根据集合中元素的个数求参数（共3小题） 13.(24-25高一上·上海期中)若集合{xbx2+4x+1=0只含有一个元素，则实数b的取值范围为一 14.(24-25高一上湖南邵阳·期中)已知集合A={xax2+4x+1=0,aeR},若A中只有一个元素，则a的 2/11 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 值构成的集合为 15.(24-25高一上四川内江期中)已知集合A={xax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}. (1)若1∈A,求a的值； (2)若A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求Q的取值范围. 题型六判断集合的子集（真子集）的个数（共3小题） 16.(24-25高一上江苏常州期中)满足{1≤A1,2,3的集合A的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 17.（24-25高一上·安徽蚌埠·期中)集合A={x∈N0<x<4的子集个数为() A.3 B.4 C.7 D.8 18.(24-25高一上广东广州期中)己知集合B={-1,1,4,满足条件0MB的集合M的个数为() A.3 B.6 C.7 D.8 题型土子集（真子集）的个数的应用（共2小题） 19.(24-25高一上广东广州期中)已知集合S={a2,2a,0,若4∈S,若集合A是S的子集且A有两个元 素，则A=一 20.(24-25高一上.上海期中)已知集合A={x ax2-2 x-3=x恰有两个子集，则实数取值集合为」 题型八求子集（真子集）（共3小题） 21.(24-25高一上·浙江衢州期中)若集合P={0,1},则集合M={AAP}可用列举法表示为() A.{0,1 B.{0,0,1 c.{0,{0,1 D.{0,{0,{1,{0,1} 22.(24-25高一上四川成都期中)集合M={1,3,5,7}的所有子集中的元素之和为() A.126 B.128 C.130 D.132 3/11 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23.(24-25高一上广西南宁期中)写出集合A={a,b,c的所有子集和真子集. 题型九判断两个集合的包含关系（共3小题） 24。(24-5商一上赏州贵阳期中)已知集合M==2k-1ke乙，N==套eZ,则() A.MCN B.NCM C.MON=0 D.M=N 25.(24-25高一上·贵州贵阳·期中)（多选）已知集合A={x2+x=0，则下列选项正确的是() A.-1∈A B.0cA C.0∈A D.A 26.(24-25高一上江苏南京期中)（多选）设集合A={xy=Vx-1,B={y川y=x2+1, C={(x,y)川y=x,D=x,y 2x-y=1 则下列关系中正确的是() x+4y=5 A.A=B B.BCC C.DC D.AnC=0 题型土根据集合的包含关系求参数（共3小题） 27.(24-25高一上广东期中)（多选）已知集合A={x2a≤x≤3a-1},B={xx2-12x+32<0,且A是 B的真子集，则a的值可以是() A.月 B.1 C.2 D. 2 28.(24-25高一上上海期中)若集合A={xx2-4=0，B={xx-1=0，且BcA,则实数a组成的集 合是 29.(24-25高一上四川眉山期中)已知集合A={x1<0≤3}，B={xa01≤x≤a+2,且B≤A,则实数 a的取值范围为 题型十一判断两个集合是否相等（共3小题） 30.(24-25高一上福建期中)集合M={xx=7k-2,k∈N,P={xx=7n+5,n∈N, S={xx=14m+5,m∈N的关系是() A.S∈PSMB.S=PSM C.S∈P=M D.P=M CS 4/11 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 31.(23-24高一上湖北十堰期末)集合M={xx=5k-2,k∈Z},P={xx=5n+3,n∈Z}, S={x|x=10m+3,m∈Z的关系是() A.SCPCM B.S=P C M C.SC P=M D.P=M∈S 32.(24-25高一上广东阳江期中)（多选）下列各组中M,N表示不同集合的是() A.M={4,-3},N={(4,-3)} B.M={(3,2},N={2,3} C.M={yy=x-2,x≥2，N={(x,y)y=x-2,x≥2 D.M={yy=2k+1,k∈Z,，N={yy=2k-1,k∈Z 题型土二根据两个集合相等求参数（共3小题） 33.(24-25高一上·贵州贵阳·期中)已知集合A={1,a,b},B={a2,a,ab},若A=B,则a2025+b2024=() A.-1 B.0 C.1 D.2 34。（2425商-上淘期已如集合4-学小，8=+，若4=8.则2x+y=一 35.（24-25高一上安徽期中) 题型士三空集及其应用（共3小题） 36.(23-24高一上·贵州黔东南期中)（多选）下列关系式正确的为() A.{0=g B.0∈{0 c.0∈{ D.0c{0 37.(24-25高一上北京期中)下列集合：①{0；②M={xx0n2+1,x<0,n∈R;③{0}；④0；⑤ {(0,0)}；©方程x2+1=0的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为】 38.（24-25高一上·上海期中)若A={xm0+2mx+2<0=0,则m的取值范围为 题型土四交集的运算（共5小题） 5/11 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 39.(24-25高一上海南儋州期中)设A={xx≤t,B={x1≤x≤3，且A∩B=0,则实数t的取值范围 为() A.t<1 B.t≤1或t23 C.t<1或t>3 D.t≤1 40.(24-25高一上安微蚌埠.期中)已知集合A={x3≤x≤7，B={xm-1<x<3m+1},若4∩B=A,则 () A.-3≤m≤4B.3<m<4 C.2<m<4 D.2<m≤4 41.(24-25高一上·湖南邵阳·期中)若A={1,2,6},B={2,3,4,5,6,则集合A⌒B中元素的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 42.(24-25高一上福建福州期中)集合B=1,2,5,C={3,4,5，则BnC=（) A.{2,3,5 B.{5 C.{1,2,3,4,5 D.{3,4,5} 43.(24-25高一上福建三明·期中)已知集合A={x-2<x<1,B={x-1≤x<2,则A∩B=() A.{x-2<x<2B.{x-1≤x<1C.{x-1≤x≤1 ，D.{x-1≤x<2 题型士五并集的运算（共5小题）_ 44.(24-25高一上河南开封期中)已知集合A={xx2-1≤0，B={xx-1≥0，则() A.AUB={xx≥-1 B.A∩B=O C.AUB={xx≤1 D.A∩B=A 45.(24-25高一上四川眉山期中)己知集合A={1,2,3},B={0,2,3},则AUB=() A.{0,1,2,3 B.{1,2,3 C.{0,2,3 D.{2,3 46.(24-25高一上甘肃临夏期末)已知集合A={xx2-x-2<0,B={x0<x<5列，则AUB=() A.0,2 B.（-2,5 C.（0,1 D.（-1,5) 47.(24-25高一上·安微池州期中)已知集合A={x(x-2)(x-5)≤0，B={xa-1≤x≤2a+1}. (1)若A∩B=A,求实数a的取值范围； 6/11 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AUB=A,求实数a的取值范围 48.(24-25高一上广东深圳期中)设集合A={x-1<x<3},集合B=x2-a<x<2+a. (1)若a=2,求AUB和AnB; (2)AUB=A,求实数a的取值范围， 题型土六补集的运算（共3小题） 49.(23-24高一上·黑龙江佳木斯期末)已知全集U={-2,-1,1,2},A={x|x2-x-2=0},则gA=() A.{-2,1 B.{1,-2} C.{-2,-1,1,2 D.{-2,2 50.(24-25高一上安徽宿州期中)已知全集U={xx①4}，集合A={x-2Qx<3},B={x-3位x≤2}， 求： (1)A∩B; (2)A UB (3)A0(B). 51.(24-25高一上·湖南株洲期中)己知集合A={x3≤x<7,B={x2<x<10,求AUB), RAnB),（RA∩B,AU(RB. 题型士士交并补的混合运算（共3小题） 52.(24-25高一上安徽滁州期中)设全集U={x∈N-2≤x≤4，A={1,2,B={2,3),则 (vAUB=() A.0 B.{0,4 C.{1,2,3 D.{-2,-1,0,4 53.(24-25高一上福建福州期中)（多选）全集U=R,A={x-1≤x≤5列，B={xx2+2x-8≤0， C={xa-5≤x≤2a+3},则下列判断正确的有() A.AUB={x-4≤x≤5 7/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.u（AnB)={xx≤-1或x22 C.若Cn(AnB)=2,则a≤-2或a≥7 7 D.若Ce(AUB),则a<-2或a>10 54.(24-25高一上天津南开期中)已知全集为R,集合A={xx<-1或x>6},B={x1-m≤x≤1+m}. (1)若m=2,求RB)UA; (2)若(RA)UB=RA,求实数m的取值范围. 题型土八Venn图（共3小题） 55.(24-25高一上吉林长春期末)已知集合A={x0≤x≤2，B={xx<0或x>1,则图中的阴影部分表 示的集合为() A.{xx≤1或x>2 B.{xx<0或1<x<2 C.{x1≤x<2 D.{x1<x≤2 56.(24-25高一上江西南昌阶段练习)如图，三个圆形区域分别表示集合A,B,C用集合U,A,B,C 表示图中I、Ⅱ、Ⅲ、V、V、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是() U VIⅢ B VI VⅢ A.图形I表示的集合为A∩B∩C B.图形Ⅲ表示的集合为AnCn(uB) C.图形V表示的集合为An(uB)n(uC 8/11 可学科网·上好课 上好每一堂课 D.图形Ⅷ表示的集合为B0(4)0(uC 57.（24-25高一上·福建泉州期中)（多选）设全集为U,集合M,N如图所示，则() U M A.MCN B.NM C.MUN=N D.(MUN=U 题型土九容压原理及其应用（共3小题） 58.(24-25高一上·重庆期中)求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其 中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理 社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社 和动漫社，己知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有() 人 A.16 B.18 C.20 D.24 59.（24-25高一上四川眉山期中)高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》， 两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（) A.16人 B.18人 C.20人 D.24人 60.（24-25高一上·云南昆明·期中)（多选)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆， 向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”， 有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加 的有3人，“4人足球和羽毛球"都参加的有3人，则() A.三项都参加的有1人 B.只参加拔河的有3人 C.只参加4人足球的有2人 D.只参加羽毛球的有4人 题型二士集合新定义（共5小题） 61.(24-25高一上山西·期中)（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德 国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论 建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第 9/11 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一次大危机将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MUN=Q,M∩N=,M中的每一 个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,)为戴德金分割.则下列结论正确的是( A.若M={x∈Qx<1},N={x∈Qx>1,则(M,N)是一个戴德金分割 B.若M={x∈Qx<元，N={x∈Qx>元，则(M,N)是一个戴德金分割 C.若M中有最大元素，N中没有最小元素，则(M,N)可能是一个戴德金分割 D.若M中没有最大元素，N中没有最小元素，则(M,N)可能是一个戴德金分割 62.(24-25高一上广东期中)设P,Q为非空实数集，定义P⑧Q={zz0xy,x∈P,yeQ,则() A.P⑧{1=P B.P⑧Q)⑧R=P⑧08R C.P⑧{0∈P D.P⑧Q=P∩g 63.(24-25高一上四川眉山期中)已知集合A是实数集R的非空子集，若x,y∈A,x+y∈A,x-y∈A, 则称集合A为闭集合。 (1)若集合A,B均是闭集合.求证：A⌒B是闭集合； (2)若集合A,B均是闭集合.集合AUB一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例： (3)若A,B均是闭集合，且A,B都是R的真子集.求证：存在常数ceR,但ceAUB. 64.(24-25高一上浙江杭州期中)设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，3，z∈A, 使得x-y=y-z,则称A为“等差集”. (1)若集合A={2,3,4,6,B三A,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B; (2)若集合A={5-m2,1+m,2m2-3是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数n≥3，证明：{x,x2,x,…,x}不是“等差集”. 65.(24-25高一上辽宁鞍山期中)对任意的非空数集A,定义：2(A)={π(X)X位A,X≠0，其中 π(X)表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果X={x,规定π(X)=x. (1)若4={2,3,5，A={ 2 请写出集合2(A,)和2(A2). (2)若A={a1,a2,a3,a4,a},其中a,是正整数(i=1,2,3,4,5),求集合2(A中元素个数的最大值和最小值，并 说明理由. 10/11