2023-2024学年四川省成都实验外国语学校八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年四川省成都实验外国语学校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 3.下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 4.一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是(    ) A. B. C. D. 5.如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值(    ) A. 不变 B. 缩小 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 6.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论正确的是(    ) A. ≌ B. C.  与的周长相等 D. 7.某地发生地震后，受灾地区急需大量物资.某帐篷生产企业接到任务后，加大生产投入，提高效率，实际每天生产帐篷比原计划多100顶.已知现在生产2000顶帐篷所用的时间与原计划生产1500顶的时间相同.设该企业现在每天生产帐篷x顶，可列出方程为(    ) A. B. C. D. 8.在一节数学探究课中老师布置以下任务：在正五边形每个内角相等，每条边相等内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，学生小成和小实分别写出如下作法： 小成：如图1，连接BD、CE，两条线段相交于P点，则P即为所求； 小实：如图2，先取CD的中点M，连接AM，再以A为圆心，AB长为半径画弧交AM于点P，则P即为所求. 对于小成和小实的作法，以下判断正确的是(    ) A. 两人都正确 B. 两人都错误 C. 小成正确，小实错误 D. 小成错误，小实正确 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.若分式的值为0，则x的值是______. 10.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______. 11.在平面直角坐标系中，轴，，若点，点B在点A的上方，则点B的坐标是______. 12.如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为______. 13.如图，BD是的角平分线，，，那么与的面积之比为______. 14.若，则的值为______. 15.七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成，如图，这是一个由正方形纸板制作的七巧板，其中平行四边形图中⑥的面积，则原正方形纸板的面积是______ 16.已知关于x的分式方程有正数解，则a的取值范围为______. 17.如图，四边形ABCD中，，，点E是BC上一点，连接AE，DE，，若，，则DE的长度为______. 18.我们规定：若直线l的表达式中满足，且m，n为整数，则直线l称为“和顺直线”；若“和顺直线”l上存在点，满足，x，y为整数，则点P称为“顺遂点”，则： 直线上______“顺遂点”填“存在”或“不存在” 所有“顺遂点”P的坐标为______. 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题16分 化简：； 解不等式组：； 解分式方程：； 解方程： 20.本小题6分 如图，在平面直角坐标系中，已知点，， 画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； 将中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标. 21.本小题8分 已知，是关于x的方程的两个实数根. 当关于x的方程的一个根是时，求m的值； 当时，求代数式的值. 22.本小题8分 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE交BC于点G，连接OG、 求证：； 当，时，求的度数. 23.本小题10分 在中，，，点P是AB上一点，连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转得到线段CQ，连接AQ， 如图1，若，求AQ的长度； 如图2，取AQ的中点O，连接CO，求证：； 如图3，取AQ的中点O，连接CO，BO，当四边形COBQ是平行四边形时，求BO的长度. 24.本小题8分 在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2024年5月21日是第五个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值.某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜40元；用800元购买乙种茶叶礼盒数量与用640元购买甲种茶叶礼盒数量相同. 求甲、乙两种茶叶的单价； 某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1500元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒. 25.本小题10分 如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，直线：与交于点C，与y轴交于点G，若a，b满足，平移线段BC，点B，点C的对应点D，E分别在直线和y轴上，连接 求直线的表达式及点E的坐标； 若的面积等于，求k的值； 如图2，作点E关于直线的对称点F，连接GF，AF，取GF中点M，连接EM，当最大时，求出此最大值及此时点F的坐标. 26.本小题12分 如图1，中，，DE是的中位线，点P为射线ED上的一个动点不与点E重合，作交BC边于点F，连结AP， 求证：四边形AEFP是平行四边形； 如图2，当点P在射线ED上使得四边形AEFP为菱形时，若，求PD的长； 若在ED延长线上可以与点D重合存在一点P，使得四边形AEFP为矩形，直接写出度数的取值范围. 1.【答案】D  【解析】解：原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义是解答本题关键． 2.【答案】D  【解析】解：A、该方程含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、该方程中，当时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 故选： 判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意， 故选： 根据因式分解的方法解答即可． 本题考查的是提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：由题意得：这个不等式的解集为：， A、，解得：，故A不符合题意； B、，解得：，故B符合题意； C、，解得：，故C不符合题意； D、，解答：，故D不符合题意； 故选： 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：把分式中的x和y都扩大2倍， 即， 故分式的值不变． 故选： 把分式中的分子，分母中的x，y都同时变成原来的2倍，就是用2x，2y分别代替式子中的x，y，看得到的式子与原式子的关系即可． 本题考查了对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小n倍，只要将原数乘以或除以n，再代入原式求解是关键． 6.【答案】D  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，，， ，故D正确，符合题意； 与BD不一定相等，故B错误，不符合题意； 与AD不一定相等，故 与的周长不一定相等，故C错误，不符合题意， 和不一定全等，故A错误，不符合题意； 故选： 根据平行四边形的性质进行判断即可． 本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 7.【答案】D  【解析】解：设该企业现在每天生产帐篷x顶，则原计划每天生产顶帐篷． 由题意得： 故选： 关键描述语为：“现在生产2000顶帐篷所用的时间与原计划生产1500顶的时间相同”；等量关系为：现在生产2000顶帐篷时间=原计划生产1500顶帐篷时间，由此可设出未知数，列出方程． 本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：如图1中，由作图可知，， 四边形ABPE是平行四边形． 故小成的作法正确； 如图2中，若四边形ABPE是平行四边形，则有， ，都是等边三角形，显然与题目条件矛盾， 故小实的作法错误． 故选： 根据平行四边形的判定判断即可． 本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定，正多边形与圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9.【答案】2  【解析】解：分式的值为0， 且， 解得： 故答案为： 直接利用分式的值为零，则分子为零，再利用分式有意义的条件，其分母不为零，进而得出答案． 此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，注意分式有意义的条件是解题关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【解答】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得 故答案为： 11.【答案】  【解析】解：因为点，点B在点A的上方且，所以点B的坐标为 故答案为： 因为轴，所以点B的横坐标与点A相同．又因为且点B在点A的上方，所以点B的纵坐标为 本题考查了平面直角坐标系的简单计算，理解平面直角坐标系的坐标特征是解题关键． 12.【答案】  【解析】解：由旋转得， ，， ， ， 旋转角的度数为 故答案为： 由题意得，由旋转得，则，即可知旋转角的度数为 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 13.【答案】3：5  【解析】解：过D作于H， 是的角平分线，， ， 的面积，的面积， 与的面积之比：：： 故答案为：3： 由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到与的面积之比：： 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出 14.【答案】7  【解析】解：， ， ， 故答案为： 由已知条件易得，然后将原式利用完全平方公式变形后代入数值计算即可． 本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 15.【答案】16  【解析】解：七巧板中，平行四边形图中⑥的面积占原正方形面积的 已知平行四边形面积是， 设原正方形纸板面积为S，则， 解得 所以，原正方形纸板的面积是 故答案为： 可根据七巧板各板块面积与原正方形面积的关系来求解． 本题考查正方形的性质，七巧板，平行四边形的性质，解题的关键是理清图之间的关系和掌握相关知识的运用． 16.【答案】且  【解析】解：， 去分母，得， 整理，得， 关于x的分式方程有正数解， 且 且 故答案为：且 先解分式方程，再根据分式方程你有正数解得不等式，求解不等式得结论． 本题主要考查了分式方程，掌握分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点是解决本题的关键． 17.【答案】14  【解析】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到， 则，，， 在四边形ABCD中， ，， 十， ，， 点C，D，三点共线．由旋转的性质得， ， ， 四边形是等腰梯形， ， 过点A作于点F，过点作于点G， 则四边形是矩形， ，，， 同理可得， 过点D作于点 ，，， ， ， 故答案为： 如图，将绕点A 逆时针旋转得到，则，，，在四边形ABCD中，根据，，得出十，则，，所以点C，D，三点共线．由旋转的性质得，因为，推出，，所以四边形是等腰梯形，则，过点A作于点F，过点作于点G，则四边形是矩形，则因为，，，同理可得，则过点D作于点因为，则，所以，则，则，所以 本题考查四边形内角和定理及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18.【答案】不存在；     【解析】解：由题知， 因为直线满足， 所以此直线为“和顺直线”． 若直线上存在“顺遂点”， 则， 解得， 因为不是整数， 所以直线上不存在“顺遂点”． 故答案为：不存在． 因为直线是“和顺直线”， 所以 因为是“顺遂点”， 所以， 则， 所以 又因为m，x为正整数， 所以， 则， 所以，， 则所有“顺遂点”P的坐标为 故答案为： 根据“顺遂点”的定义，得出关于x的方程，再进行计算即可． 根据题意，得出关于x的方程，再结合m及x为整数进行判断即可． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 19.【答案】；   ；   无解；    【解析】原式 ； ， 由①得：， ， ， ， 由②得：， ， ， ， ， 不等式组的解集为； ， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ， 检验：当时，， 原分式方程无解； ， ， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 先把括号内的分式通分，再相减，把分子和分母分解因式，除法化成乘法进行约分即可； 先求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式解集的口诀进行判断即可； 按照解分式方程的一般步骤进行解答，然后检验即可； 利用一元二次方程的求根公式求出方程的解即可． 本题主要考查了分式的混合运算，解二元一次不等式组、解一元二次方程和解分式方程，解题关键是熟练掌握解各种方程的一般步骤和分式的通分与约分． 20.【答案】画图见解答；点的坐标为   点的坐标为  【解析】如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， 点的坐标为 根据旋转的性质作图，即可得出答案． 根据平移的性质可得答案． 本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 21.【答案】；     【解析】将代入原方程得：， 解得：， 的值为； 当时，原方程为， ，是关于x的方程的两个实数根， ，， 将代入原方程，可得出，解之即可得出m的值； 代入，可找出原方程为，利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”；利用根与系数的关系，找出与的值． 22.【答案】证明见解析；     【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， 、F分别为OB、OD的中点， ，， ， ，， ≌， ， ； 解：， ， 由知， ， 垂直平分AC， ， 是等腰直角三角形， 由平行四边形的性质推出，，判定≌，得到，即可证明； 判定OG垂直平分AC，推出，因此是等腰直角三角形，得到 本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是判定≌，推出，判定是等腰直角三角形． 23.【答案】；   证明见解析；     【解析】解：将线段CP绕点C逆时针旋转得到线段CQ， ，， ，， ，，， 在和中， ， ≌， ，， ， 在中，； 证明：如图，取AB的中点D，连接OD， 点O是AQ的中点， 是的中位线， ， 由知≌， ，， 是的中线，， 平分， ， 在和中， ≌， ， ， ，O，D三点共线． ，D是AB边的中点， ， ， 解：四边形COBQ是平行四边形， 由知，，， 由知， 在中， 点O是AQ的中点， 由旋转易证≌，进而可得，从而利用勾股定理求出AQ即可； 取AB的中点D，连接OD，证C、O、D三点共线，利用即可得证； 易得，再推，里用勾股定理求出AQ，进而即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质、直角三角形的性质、中位线性质定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24.【答案】甲种茶叶礼盒的单价是160元，乙种茶叶礼盒的单价是200元；   最少需购买3盒甲种茶叶礼盒．  【解析】设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元 答：甲种茶叶礼盒的单价是160元，乙种茶叶礼盒的单价是200元； 设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为 答：最少需购买3盒甲种茶叶礼盒． 设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元，利用数量=总价单价，结合用800元购买乙种茶叶礼盒数量与用640元购买甲种茶叶礼盒数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲种茶叶礼盒的单价，再将其代入中，即可求出乙种茶叶礼盒的单价； 设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒，利用总价=单价数量，结合总价不超过1500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 25.【答案】直线的表达式为，；   ；   的最大值为，此时F的坐标为  【解析】， ，， 即点，点， 设，代入，可得， 即直线的表达式为， 由平移可知，且， 四边形BCED为平行四边形， ， 由直线：可知， 故 设， 由可知四边形BCED为平行四边形， ， ，此时， 把代入直线：中，可得 取EG中点，连接AN、FN，如图2所示， 由E、F关于直线对称可知，又M为GF中点， 故FN、EM也关于直线对称， 从而， ，当且仅当N、A、F三点共线时取等号， ， 的最大值为， 此时F在AN上，由待定系数法可知直线AN的表达式为， 可设，且F、E关于直线对称， 故， 从而有，即， 解得负值舍去， 故 即点F的坐标为 由非负数的性质即可得，，即点，点，设，代入，可得，即直线的表达式为，由平移可知四边形BCED为平行四边形，从而，由直线：可知，故； 设，由可知四边形BCED为平行四边形，所以，可解得，此时，把代入直线：中，可得； 取EG中点，连接AN、FN，如图2所示，由对称性质可知，故，当且仅当N、A、F三点共线时取等号．又，故的最大值为，此时F在AN上，再求出直线AN的表达式为，设，且F、E关于直线对称， 故，从而有，即，解得负值舍去，故，进而可得F点坐标． 本题考查了轴对称性质，一次函数的性质，平行四边形的判定与性质，两点间距离公式，三角形三边关系求最值，非负数性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． 26.【答案】证明过程详见解答；   ；     【解析】证明：是的中位线， ， ， 四边形AEFP是平行四边形； 解：如图1， 连接AF， 四边形AEFP是菱形， ，，， 是的中位线， ，，， ， ，， ， ， ，， ，， ； 解：如图， 当点F在B处时， 四边形AEFP是矩形， ， ， ， ， 如图， 当点P在点D处时， 连接AF， 四边形AEFP是矩形， ， 是的中位线， ，， ，， ， ，， ， ， 根据三角形的中位线性质得出，进而得出结论； 连接AF，根据菱形的性质和三角形中位线的性质得出，进而解和，从而得出AF，BF和CF的值，进而得出BC和DE的值，进一步得出结果； 当点F在B处时，可推出，从而得出；当点P在点D处时，连接AF，可推出是等腰直角三角形，进一步得出结果． 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$