精品解析：江苏省启东市建新中学2020-2021学年八年级2月学业水平测试数学试题

启东市建新中学2020-2021学年度2月份学业水平测试 八年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：150分） 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值等于0，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 纳米是非常小的长度单位，纳米是米，将用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则括号内应填的代数式是（ ）． A. B. C. D. 6. 下列因式分解正确的是（　　） A. 12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c） B. ﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x） C. 4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2 D. a2+ab+b2＝（a+b）2 7. 分式方程＝1的解为（　　） A. x=﹣2 B. x=﹣3 C. x=2 D. x=3 8. 已知=3，则代数式的值是（　　） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，有两点，现另取一点，满足：的值最小．则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 10. 如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（11、12题3分，13-18题4分，共30分） 11. 计算：的结果是____． 12. 已知点和关于y轴对称，则的值为__________． 13. 一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长是__________ 14. 若，则的值为________． 15. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、，若的周长为，的周长为，则为___________． 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DF⊥BC于点F，且BD＝BC＝AD，则∠CDF的度数为_____． 17. 如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 18. 把展开后得，则_____________． 三、解答题（共90分） 19. 计算： ； 20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 21. （1）先化简，再求值：，其中． （2）因式分解：． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC． 23. 某超市预测某饮料会畅销，先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若两次购进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？ 24. 已知，∠BAC＝90º，AB＝AC，D为AC边上的中点，AN⊥BD于M，交BC于N．求证： 25. (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上： x2+4x+4＝　 　，16x2+24x+9＝　 　，9x2﹣12x+4＝　 　 (2)观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c(a＞0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系． ①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系； ②解决问题：若多项式x2﹣2(m﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m的值． 26. 如图，中，，为的中点，绕点旋转，分别与边交于两点 ⑴求证：是等腰直角三角形； ⑵求证：； ⑶若的长为16，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市建新中学2020-2021学年度2月份学业水平测试 八年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：150分） 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2. 若分式的值等于0，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得：ａ+1=0且a≠0，解得：a=-1， 故选A. 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是要熟记分式值为0时，分子为0且分母不为0. 3. 纳米是非常小的长度单位，纳米是米，将用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项：不是同类项，故不能合并； B选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘； D选项：同底数幂相除，底数不变，指数相减； 【详解】A选项：不是同类项，不能合并，故是错误的； B选项：，故是正确的； C选项：，故是正确的； D选项：，故是错误的； 故选BC. 【点睛】考查了同底数幂的乘、除法和幂的乘方的运算，解题关键是牢记运算法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5. 若，则括号内应填的代数式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式进行分解因式，即可得到答案. 【详解】解：； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用平方差公式因式分解，解题的关键是掌握平方差公式进行因式分解. 6. 下列因式分解正确的是（　　） A. 12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c） B. ﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x） C. 4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2 D. a2+ab+b2＝（a+b）2 【答案】B 【解析】 【分析】各项分解得到结果，即可作出判断． 【详解】A、原式＝4a（3ab﹣2c+1），不符合题意； B、原式＝（1+2x）（1﹣2x），符合题意； C、原式不能分解，不符合题意； D、原式不能分解，不符合题意， 故选B． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7. 分式方程＝1的解为（　　） A. x=﹣2 B. x=﹣3 C. x=2 D. x=3 【答案】B 【解析】 【分析】先去分母转化为整式方程，然后求解，注意结果要检验． 【详解】解：去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查解分式方程，掌握解题步骤正确计算是解题关键． 8. 已知=3，则代数式的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得出，即，整体代入原式，计算可得. 【详解】 ， ， ， 则原式. 故选：. 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用. 9. 在平面直角坐标系中，有两点，现另取一点，满足：的值最小．则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称－最短路线问题和一次函数的知识，根据已知作出点A关于直线的对称点是解题的关键． 先作出点A关于直线的对称点，再连接，求出直线的函数解析式，再把代入即可得到答案． 【详解】解：作点A关于的对称点，连接交直线于C，则,此时的值最小． 设直线的解析式为，把代入得到， 则， 解得：， 故直线的函数解析式为：， 把C的坐标代入解析式可得，． 解得． 故选：B． 10. 如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上判定与性质是解题的关键，①根据角度之间的计算和角平分线的性质即可得到答案；②由平行线的性质和全等三角形的判定与性质可证得答案；③利用平行四边形的判定与性质即可证得答案；④根据平行四边形的性质和全等三角形的性质即可证得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故④正确， 综上所述，①②③④均正确， 故选：A． 二、填空题（11、12题3分，13-18题4分，共30分） 11. 计算：的结果是____． 【答案】-1 【解析】 【分析】先把分式的分母利用相反数的意义进行整理，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】解：原式 = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是利用相反数的意义进行转化． 12. 已知点和关于y轴对称，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，代数式求值，根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，求出a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解：点和关于y轴对称， ，， ， 故答案为：． 13. 一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长是__________ 【答案】15或者18 【解析】 【分析】分4cm为等腰三角形的腰和7cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长． 【详解】解：当4cm为等腰三角形的腰时， 三角形的三边分别是4cm，4cm，7cm符合三角形的三边关系， ∴周长为:4+4+7=15cm； 当7cm为等腰三角形的腰时， 三边分别是，7cm，7cm，4cm，符合三角形的三边关系， ∴周长为：7+7+4=18cm， 故答案为：15或18． 【点睛】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类考虑是解本题的关键． 14. 若，则的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】将变形，用含b的式子表示a，将变形后的式子代入所求的代数式中进行化简即可． 【详解】解：由得， 将代入，得： ． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了代数式求值及合并同类项．解题的关键是利用了整体代入的思想，准确计算． 15. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、，若的周长为，的周长为，则为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意可得垂直平分，则，，即可求解． 【详解】解：由题意可得垂直平分， 则，， 的周长为， 的周长为， 则，即， 故答案为：5 【点睛】此题考查了尺规作图－线段垂直平分线，以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的基础知识． 16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点D作DF⊥BC于点F，且BD＝BC＝AD，则∠CDF的度数为_____． 【答案】18° 【解析】 【分析】设∠A＝α，可得∠ABD＝α，∠C＝∠BDC＝2α，∠ABC＝2α，再根据△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，即可得到∠C的度数，再根据DF⊥BC，即可得出∠CDF的度数． 【详解】解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD， ∴∠ACB＝∠ABC，∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC， 设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠C＝∠BDC＝2α，∠ABC＝2α， ∵△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠C＝72°， 又∵DF⊥BC， ∴Rt△CDF中，∠CDF＝90°﹣72°＝18°， 故答案为18°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等． 17. 如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是___秒． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：4． 18. 把展开后得，则_____________． 【答案】365 【解析】 【分析】由题意可列出式子：(x2-x+1)6=a12x12+a11x11+…+a2x2+a1x1+a0，再将x=1及x=-1代入式子，即可得出两个多项式，再将两多项式相加即可求解． 【详解】解：∵(x2-x+1)6=a12x12+a11x11+…+a2x2+a1x1+a0， ∴当x=1时，(x2-x+1)6=a12+a11+…+a2+a1+a0=1①； 当x=-1时，(x2-x+1)6=a12-a11+…+a2-a1+a0=36=729② ①+②，得2(a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0)=730， ∴a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0=365． 故答案为：365． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，主要是要找对x=1及x=-1这两个特殊的值． 三、解答题（共90分） 19. 计算： ； 【答案】（1） 3x-2y；（2）-4x+26． 【解析】 【分析】（1）根据多项式除以单项式的运算法则，即可得到答案； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并同类项，即可得到答案. 【详解】解：（1） =15x2y÷5xy-10xy2÷5xy =3x-2y； （2） ＝4x2-4x+1﹣（4x2﹣25） ＝-4x+26； 【点睛】本题考查了整式混合运算，以及多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算. 20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出关于轴对称的； （3）写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示； （2）如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了建立坐标系、轴对称变换、坐标与图形等知识，正确建立坐标系是解题关键． （1）易得轴在的右边一个单位，轴在的下方3个单位，即可获得答案； （2）作出三点关于轴对称的三点，顺次连接即可； （3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）点的坐标为． 21. （1）先化简，再求值：，其中． （2）因式分解：． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，因式分解，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分括号内，再运算除法，化简得，再把代入进行计算，即可作答． （2）先结合多项式乘多项式展开，再合并同类项，最后运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：（1） ， 把代入，得； （2） ． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC． 【答案】 AD是BC边上的中线， 又 【解析】 【分析】因为根据等腰三角形三线合一的性质可得：根据可得进而证明 【详解】略 23. 某超市预测某饮料会畅销，先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若两次购进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）第一批饮料进货单价为4元 （2）销售单价至少为7元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键． （1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可； （2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于2700元，列不等式进行求解即可得． 【小问1详解】 解：设第一批饮料进货单价为元， 依题意，， 解得：， 经检验：当时，， 故是分式方程的解，且符合题意； 答：第一批饮料进货单价为4元． 【小问2详解】 解：由（1）得第一批饮料进货单价4元， 则（元）， ∴第二批饮料进货单价6元， 依题意，， 设销售单价为元， 则：， 解得：， 答：销售单价至少为7元． 24. 已知，∠BAC＝90º，AB＝AC，D为AC边上的中点，AN⊥BD于M，交BC于N．求证： 【答案】见详解 【解析】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 延长至，使得．得出，再根据，，得出，从而证出，，再根据所给的条件得出，即可得出． 【详解】证明：如图，过点C作，交延长线于，． ，， ∴ ， 在与中， ， ， ∵为边上的中点， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ， ， ∴． 25. (1)分解下列因式，将结果直接写在横线上： x2+4x+4＝　 　，16x2+24x+9＝　 　，9x2﹣12x+4＝　 　 (2)观察以上三个多项式的系数，有42＝4×1×4，242＝4×16×9，(﹣12)2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c(a＞0)是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系． ①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系； ②解决问题：若多项式x2﹣2(m﹣3)x+(10﹣6m)是一个完全平方式，求m的值． 【答案】(1)（x+2）2，（4x+3）2，（3x﹣2）2；（2）①b2=4ac，②m=±1 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式分解即可； （2）①根据已知等式得出b2=4ac，即可得出答案； ②利用①的规律解题． 【详解】（1）x2+4x+4=（x+2）2，16x2+24x+9=（4x+3）2，9x2-12x+4=（3x-2）2， 故答案为（x+2）2，（4x+3）2，（3x-2）2； （2）①b2=4ac， 故答案为b2=4ac； ②∵多项式x2-2（m-3）x+（10-6m）是一个完全平方式， ∴[-2（m-3）]2=4×1×（10-6m）， m2-6m+9=10-6m m2=1 m=±1． 【点睛】本题考查了对完全平方公式的理解和应用，能根据完全平方公式得出b2=4ac是解此题的关键． 26. 如图，中，，为的中点，绕点旋转，分别与边交于两点 ⑴求证：是等腰直角三角形； ⑵求证：； ⑶若的长为16，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）32． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，得到∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，然后利用ASA证明三角形全等，即可得到结论； （2）由（1）可知，AE＝CF，然后得到结论成立； （3）由（1）可知，利用全等三角形面积相等，即可求出四边形的面积. 【详解】（1）证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点， ∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD， ∵∠MDN＝90°， ∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF． 在△AED与△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（ASA）， ∴ED＝FD．； （2）由（1）得，△AED≌△CFD， ∴AE＝CF， ∴BE+CF＝BE+AE=AB=AC； （3）∵△AED≌△CFD， ∴S四边形AEDF＝S△ADE+ S△ADF ＝S△CDF+ S△ADF = S△ADC = AD2． 由已知可得，AD＝BD＝CD=8 ∴S四边形AEDF＝= AD2==32． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及全等三角形面积相等，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质进行解题.注意利用面积的等量代换进行解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $