精品解析：黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2020-2021学年八年级下学期3月阶段测试数学试卷

哈工大附中八（下）数学2021年3月月考 考试时间：120分钟 分值：120分满 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是，是一元一次方程；只有当时，它才是一元二次方程；由于题目中没有明确，所以不能确定它一定是一元二次方程；不符合题意； B、方程中，含有和两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程，因为分母中含有未知数，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、方程，整理后为，这个方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；符合题意； 故选：D． 2. 以下列各组数为边长能组成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 、、 C. 、、 D. 6、8、10 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、22＋32≠42，故不能组成直角三角形； B、（）2≠（）2+（）2，故不能组成直角三角形； C、（32）2＋（42）2≠（52）2，故不能组成直角三角形； D、62＋82＝102，故能组成直角三角形．故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2＋b2＝c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方即可． 3. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】A、，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意； B、方程变形为，，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意； C、，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意； D、，则方程没有实数根，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法的步骤：①将二次项系数化为1；②将常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④利用完全平方公式完成配方，即可解答． 【详解】解：A、化为，即，此选项错误，符合题意； B、化为，即，此选项正确，不符合题意； C、化为，即，此选项正确不符合题意； D、化为，即，此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键． 5. 在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，∠B＝60°，AC＝2cm，则平行四边形ABCD的周长是（ ） A. 10cm B. 11cm C. 12cm D. 13cm 【答案】C 【解析】 【分析】可设，因为，，所以，所以，在中，利用勾股定理可求，则平行四边形的边AB，BC的长度可求，则周长可求． 【详解】如图： 设，则 在中，由勾股定理可得： 平行四边形ABCD周长为： 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质进行推理计算是解题关键． 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ∠ABD=∠BDC，OA=OC B. ∠ABC=∠ADC，AD∥BC C. ∠ABC=∠ADC，AB=CD D. ∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB 【答案】C 【解析】 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：∵∠ABD=∠BDC，OA=OC， 又∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴DO=BO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意； ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠ADC+∠BAD=180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意； ∵∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB， ∴∠ADB=∠CBD， ∴AD∥CB， ∵∠ABD=∠BDC， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意； C、∠ABC=∠ADC，AB=CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 7. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（ ） A. 13.5尺 B. 14尺 C. 14.5尺 D. 15尺 【答案】C 【解析】 【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解． 【详解】解：设绳索有x尺长，则 102+（x+1-5）2=x2， 解得：x=14.5． 故绳索长14.5尺． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 8. 如图，在平行四边形中，，，，则的长是（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质求得OA和OC的长，然后根据勾股定理逆定理求得∠BAC=90°，最后用勾股定理即可求得BC的长． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴OA=AC=1，OB=BD=2 ∴AB2=3，OA2=1，OB2=4 ∴AB2+OA2=OB2 ∴∠BAC=90° ∴BC= 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理的应用，运用勾股定理逆定理得到∠BAC=90°是解答本题的关键． 9. 学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长，宽的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为，则满足的方程是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 已知点为平面直角坐标系中一点，为原点，则线段的最小值为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 3 D. 5.76 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求最短距离问题，完全平方公式的变形应用，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键． 利用勾股定理得到，配方得，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． ∴线段的最小值为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分：共30分） 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____ 【答案】． 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义列出方程及不等式，然后求解 【详解】解：∵是一元二次方程 ∴，解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意不要遗漏一元二次方程的二次项系数不等于零是本题的解题关键． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出两根之和为-2，从而得出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为m，则1+m=-2， 解得m=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，x1•x2=． 13. 若，是一元二次方程的两个根，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3，x1x2=-5，将其代入中即可求出结论． 【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根， ∴x1+x2=-3，x1x2=-5， ∴==． 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 14. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点、分别是线段、的中点，若，的周长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出对角线互相平分，根据，求得，进而根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的对角线、相交于点，， ∴， ∵点、分别是线段、的中点， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 15. 在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学每人送出贺卡________张． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设参加活动的同学有x人，则每个人都要给其他人赠送一张贺卡，再根据共送贺卡42张列出方程求解即可． 【详解】解：设参加活动的同学有x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴参加活动的同学有7人， ∴参加活动的同学每人送出贺卡张， 故答案为：6． 16. 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围_________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．根据二次项系数非零、二次根式有意义及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 详解】解：方程有两个实数根， ， 解得且， 即的取值范围为且． 故答案为：且． 17. 已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是______________． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质等知识点，注意：等腰三角形的两腰相等．已知一元二次方程、、为常数，，①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根．分为两种情况：①、是腰，②、其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可． 【详解】解：①当、为腰时，， 、是关于的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 解得：； ∴， 解得， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ②当和3（或和是腰时，， 三角形不是等边三角形， 此时方程有两个不相等的实数根， 、是关于的一元二次方程的两个根， 把代入方程得， 解得：； ∴， 解得，， 此时三角形三边长为：、、，符合三角形三边关系， ∴或2． 故答案为：1或2． 18. 如图，在中，是的中点，且，，，则的面积为_____________________． 【答案】40 【解析】 【分析】过点D作交的延长线于点F，如图，先根据平行四边形的性质证明，进而得出三角形是直角三角形，且，然后过点D作于点G，利用等积法求出，再根据的面积的面积求解即可． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F，如图， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在三角形中，∵， ∴三角形是直角三角形，且， 过点D作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴的面积的面积=． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理以及平行四边形的面积等知识，正确作出辅助线、熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 19. 在中，，，连接，若，则线段的长为______. 【答案】4或8 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E，由直角三角形的性质得出DE＝AD＝，由勾股定理得出AE＝6，BE＝2，得出AB＝AE−BE＝4或AB＝AE＋BE＝8，即可得出答案． 【详解】解：作DE⊥AB于E，如图所示： ∵∠A＝30°， ∴DE＝AD＝， ∴AE＝DE＝6，BE＝， ∴AB＝AE−BE＝4或AB＝AE＋BE＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4或8； 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 20. 如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE=DF，∠BAG=∠ABC=45°，BC+AG=，AE=2EF，则AF=____． 【答案】12 【解析】 【分析】延长AF、BC，交于点H，先证明△ABH为等腰直角三角形，再判定△ABG≌△HAC（ASA），然后在等腰直角三角形△ABH中，由勾股定理得AB与AH的值，设EF=x，则AE=2x，判定△AGE≌△HCF（AAS），从而FH=AE=2x，解得x的值，最后根据AF=AE+EF，可得答案． 【详解】延长AF、BC，交于点H，如图： ∵AF⊥AB，∠ABC=45°， ∴∠BAH=90°，∠AHB=90°-∠ABC=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴AH=AB． ∵∠BAH=90°，∠BAG=45°，∠AHB=45°， ∴∠BAG=∠AHB=45°． ∵AC⊥BD， ∴∠ABG+∠BAC=90°． ∵∠BAC+∠HAC=∠BAH=90°， ∴∠ABG=∠HAC． 在△ABG和△HAC中， ， ∴△ABG≌△HAC（ASA）， ∴AG=HC， BH=BC+CH=BC+AG=20． 在等腰直角三角形△ABH中，AH=AB，∠BAH=90°， 由勾股定理得：AB2+AH2=BH2， ∴AB=AH=20． ∵AE=2EF， ∴设EF=x，则AE=2x． ∵DE=DF， ∴∠DEF=∠DFE， ∴∠AEG=∠HFC． ∵∠AHB=∠GAE=45°， ∴∠AGE=135°-∠HFC=∠FCH． 在△AGE和△HCF中， ， ∴△AGE≌△HCF（AAS）， ∴FH=AE=2x， ∴AH=AE+EF+FH=5x=20， 解得：x=4， ∴AF=AE+EF=3x=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21. 图（a）、图（b）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a）、图（b）中，分别画出符合要求的图形．要求：所画图形各顶点与方格纸中的小正方形顶点重合． （1）画一个周长为18，面积为12的等腰三角形； （2）画一个周长为18，面积为16的平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的周长和面积公式可取底BC为8，底边的高为3，由勾股定理求得腰AB=AC=5，找到相应的格点作图即可； （2）根据平行四边形性质和面积公式可取底EF=4，此底边的高为4，找到相应的格点，结合勾股定理求得另外两边长为5，作图即可． 【详解】解：（1）如图（a）所示； （2）如图（b）所示； 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，掌握相关性质的应用是解答的关键． 22. 一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮． （1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为 的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 　 　． （2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，2cm 【解析】 【分析】（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长cm，宽为cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程； （2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长 cm，宽为cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长cm，宽为cm的矩形, 依题意，得：． 所以可列方程：． 【小问2详解】 解：能折出底面积为的有盖盒子，理由如下： 设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长 cm，宽为cm的矩形， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）； 答：能折出底面积为有盖盒子，裁去的左侧正方形的边长为2cm． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键. 23. 如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，根据等腰三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形； （2）过点C作CG⊥AB于点G，根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B＝30°，求得∠CDA＝60°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AB//CE， ∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED， ∵F是AC中点， ∴AF＝CF， 在△AFD与△CFE中， ∴△AFD≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CE， ∴四边形ADCE是平行四边形； （2）解：过点C作CG⊥AB于点G， ∵CD＝BD，∠B＝30°， ∴∠DCB＝∠B＝30°， ∴∠CDA＝60°， 在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°， ∴， 在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，， ∴，GD＝1， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判断、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 24. 2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高。10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤． （1）求10月份到12月份大葱批发价格月平均增长率； （2）进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤，为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤，求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？ 【答案】（1）10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为20%；（2）当大葱的销售价格降低0.8元时，该超市每天销售大葱的利润为1640元． 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据10月份和12月份的大葱的批发价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设大葱的销售价格降低元，则每天可售出（）公斤，根据总利润＝每公斤的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】解：（1）设10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为20%． （2）设大葱的销售价格降低元． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 因为最大限度让利于顾客， 则y=0.8 答：当大葱的销售价格降低0.8元时，该超市每天销售大葱的利润为1640元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. （问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一． 引例：点为平行四边形中边上一点，连接和，探究和的面积关系． 小聪给出这样的解答：如图1，分别过点作，，垂足分别为，则，∴，在中，四边形是平行四边形，∴，又∵，，∴， 请运用上述引例中的结论和你所积累的等积法的经验和方法解决下列问题： （1）小测回顾探究 如图2，在平行四边形中，点分别在上，连接并相交于点，且，连接．求证：平分； （2）探究延伸 如图3，平行四边形中，为对角线，，点在边上，，，垂足分别为，连接，若，求的值； （3）迁移应用 如图4，中，平分，点在上，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键； （1）先判断出和面积相等，进而利用面积相等判断出，由可证，即可得出结论； （2）由勾股定理可求的长，由面积法可求解； （3）由“”可证，可得，由勾股定理可求，由面积法可求解． 【小问1详解】 证明：如图2，连接，，过点作于，于， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，即：， ， ， ，， 平分； 【小问2详解】 解：如图3，过点作于，连接， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图4，如图，在上截取，连接，过点作于，于， 平分，，， ，， 又，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 26. 已知平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，点为射线上一动点（不与点重合）． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，当点在线段上时，以为斜边在右侧作等腰直角，，，连接，在上取一点，连接，使得，求证：； （3）如图3，过点作轴于点，为线段中点，点在射线上，且，连接，当是直角三角形时，求相应的的值并直接写出点坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3）当时，或时， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的知识、相似三角形的知识、勾股定理的知识、等腰直角三角形的知识，有一定的难度； （1）根据平行四边形性质可求出点坐标； （2）延长到，使，连接、、，证明是的垂直平分线，垂直平分，得出，知，，可证明，，进一步证明，得出，利用平行线分线段成比例定理即可得； （3）利用分类讨论的思想，用含有的式子表示、、，然后利用勾股定理即可求出的值，进而求出点的坐标． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，，，， 、、， ， ． 【小问2详解】 证明：延长到，使，连接、、， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：为中点， ， ， ， ，， ，，， 当为直角顶点时，， ， ， 且， ， ，， 点． 当为直角顶点时， ， 解得：（舍去）或， 点； 当点为直角顶点时，, ∴， 整理得， 无解方程． 综上所述：当时，或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈工大附中八（下）数学2021年3月月考 考试时间：120分钟 分值：120分满 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长能组成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 、、 C. 、、 D. 6、8、10 3. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 5. 在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，∠B＝60°，AC＝2cm，则平行四边形ABCD的周长是（ ） A. 10cm B. 11cm C. 12cm D. 13cm 6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A ∠ABD=∠BDC，OA=OC B. ∠ABC=∠ADC，AD∥BC C ∠ABC=∠ADC，AB=CD D. ∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB 7. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（ ） A. 13.5尺 B. 14尺 C. 14.5尺 D. 15尺 8. 如图，在平行四边形中，，，，则长是（ ） A. B. C. 3 D. 5 9. 学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长，宽的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为，则满足的方程是（　　　） A. B. C. D. 10. 已知点为平面直角坐标系中一点，为原点，则线段的最小值为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 3 D. 5.76 二、填空题（每小题3分：共30分） 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____ 12. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为______． 13. 若，是一元二次方程的两个根，则 __________． 14. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点、分别是线段、的中点，若，的周长为，则的长为______． 15. 在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学每人送出贺卡________张． 16. 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围_________________． 17. 已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是______________． 18. 如图，在中，是的中点，且，，，则的面积为_____________________． 19. 在中，，，连接，若，则线段的长为______. 20. 如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE=DF，∠BAG=∠ABC=45°，BC+AG=，AE=2EF，则AF=____． 21. 图（a）、图（b）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a）、图（b）中，分别画出符合要求的图形．要求：所画图形各顶点与方格纸中的小正方形顶点重合． （1）画一个周长为18，面积为12的等腰三角形； （2）画一个周长为18，面积为16平行四边形． 22. 一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮． （1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为 的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为 　 　． （2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由． 23. 如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长． 24. 2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高。10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤． （1）求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率； （2）进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤，为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤，求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？ 25. （问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一． 引例：点为平行四边形中边上一点，连接和，探究和的面积关系． 小聪给出这样的解答：如图1，分别过点作，，垂足分别为，则，∴，在中，四边形是平行四边形，∴，又∵，，∴， 请运用上述引例中的结论和你所积累的等积法的经验和方法解决下列问题： （1）小测回顾探究 如图2，在平行四边形中，点分别在上，连接并相交于点，且，连接．求证：平分； （2）探究延伸 如图3，平行四边形中，为对角线，，点在边上，，，垂足分别为，连接，若，求的值； （3）迁移应用 如图4，中，平分，点在上，，，求长． 26. 已知平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，点为射线上一动点（不与点重合）． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，当点在线段上时，以为斜边在右侧作等腰直角，，，连接，在上取一点，连接，使得，求证：； （3）如图3，过点作轴于点，为线段的中点，点在射线上，且，连接，当是直角三角形时，求相应的的值并直接写出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $