1.5 等腰三角形 导学案 2025-2026学年苏科版八年级上册数学

课题：1.5 等腰三角形（第1课时） ——等腰三角形的性质 班级： 姓名： 【课标要求】 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理. 【学习目标】 1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理，发展推理能力. 2.经历“折纸一猜想一证明”的过程，利用轴对称性和全等三角形研究等腰三角形，培养几何直观. 【重点和难点】 重点：理解等腰三角形的性质定理. 难点：等腰三角形性质定理的推理过程. 【创设情境】 如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征? 【探究活动】 等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？ 知识梳理： 1.等腰三角形的概念: 有 条边 的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作 ，等腰三角形中两个相等的角叫作 ． 2.等腰三角形的性质定理1： 等腰三角形的两底角 ，简称“ ”. 性质定理1符号语言： 等腰三角形的性质定理2： 等腰三角形的 、 及 互相重合（简称“ ”）. 性质定理2符号语言： 【例题讲解】 例1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证：∠ADB＝∠BAC. 变式：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC=AD，求△ABC的各角度数. 【当堂检测】 1.（1）如果等腰三角形的周长为10，底边长为4，那么腰长为 . 　（2）如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 . （3）已知等腰三角形的一个角为80°，则它有另外两个角为 . 2.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 . 3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=24°，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD，则∠D的度数为 . （3） （4） 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF=3，则ED的长为 ． 5.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE. 【拓展提升】 已知在等腰三角形中，有一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数是 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 课题：1.5 等腰三角形（4） 班级： 姓名： 【课标要求】 探索并掌握直角三角形的性质定理. 【学习目标】 1.经历操作、观察、猜想、证明的完整过程，探索直角三角形的性质定理，发展合情推理与演绎推理能力. 2.掌握直角三角形的性质定理的证明及应用，发展有条理的思考与表达能力. 【重点和难点】 重点：理解直角三角形的性质定理. 难点：证明直角三角形的性质定理. 【创设情境】 如图，取一张直角三角形纸片，先对折一条直角边，再对折另一条直角边，你有什么发现？ 【探究活动】 直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的 等于 的一半. 符号语言： 【例题讲解】 例.例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，∠B＝25°. 求∠ACD的度数． 例2.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点． 求证：MN⊥BD． 【当堂检测】 1.如图,公路AC、BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km， 则M,C两点之间的距离为 (　 　) A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km （1） （3） （4） 2.一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为 . 3.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，若∠BCD=75°，则∠BDE= 度. 4.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，点P是BD的中点， 若 AD=6，则 CP 的长为 . 5.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD＝AB，E、F分别是AC、BD的中点，AC＝6，求EF的长. 【拓展提升】 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD∥BC，∠CBE＝∠ABE，求证：ED＝2AB. 学科网（北京）股份有限公司 $ 课题：1.5 等腰三角形（第2课时） ——等腰三角形的判定 班级： 姓名： 【课标要求】 探索并掌握等腰三角形的判定定理. 【学习目标】 1.探索并掌握等腰三角形的判定定理，发展推理能力. 2.会利用基本作图作三角形:已知底边及底边上的高作等腰三角形，发展几何直观. 【重点和难点】 重点：等腰三角形的判定定理. 难点：掌握利用等腰三角形的判定定理进行尺规作图. 【创设情境】 等腰三角形的两底角相等的逆命题是 . 【探究活动】 已知：如图，在△ABC 中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． 知识梳理： 等腰三角形的判定定理: 有两个角 的三角形是等腰三角形(简称“ ”). 符号语言： 【例题讲解】 例1.如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC. 求证：AB＝AC. 变式：如图，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？请证明你的结论. 例2.如图，已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边 BC=a，高AD=h. 探究：如果三角形中从一个顶点出发的中线、高线、角平分线有两条重合，那么这个三角形是否一定是等腰三角形? 【当堂检测】 1.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60° C．∠A=40°，∠B=70° D．∠A=40°，∠B=80° 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC=60°，BD=4，则AD长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 （2） （3） 3.将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，若AB=6cm,CB=5cm,则AC= cm. 4.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过O点，且MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.求证：MN＝BM＋CN. 【拓展提升】 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，射线AH⊥BC于点D，点M为射线AH上一点，如果点M满足三角形ABM为等腰三角形，则∠ABM的度数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 课题：1.5 等腰三角形（第3课时） ——等边三角形 班级： 姓名： 【课标要求】 探索并掌握等边三角形的性质定理和判定定理. 【学习目标】 1.从一般到特殊，探索等边三角形的性质定理及判定定理，感悟特殊与一般的思想，发展推理能力. 2.通过操作、观察、证明，探索直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，发展合情推理与演 绎推理能力. 【重点和难点】 重点：等边三角形的性质定理及判定定理. 难点：证明直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半. 【创设情境】 若将两个相同三角板(含30°角)拼成△ABC，它是什么特殊三角形？ 【探究活动】 等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的一切性质，还具有哪些特殊的性质？ 等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°．反过来，当一个三角形的边、角具备哪些条件时，它就是等边三角形呢？ 知识梳理： 1.等边三角形的概念: 的三角形叫作等边三角形. 2.等边三角形的性质定理: 等边三角形的各角都等于 . 符号语言： 3.等边三角形的判定方法: （1）三边都 的三角形是等边三角形.(定义) （2）三个角都 的三角形是等边三角形.（定理） （3）有一个角是 的 三角形是等边三角形.（定理） 符号语言： 4.含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 是 的一半． 符号语言： 【例题讲解】 例1.如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC．求证：△ADE是等边三角形． 【当堂检测】 1.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° （1） （2） （3） （4） 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC=60°，BC=4，则AD长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3.如图，在一个池塘旁有一条笔直公路MN，池塘对面有一个建筑A，小明在公路一侧点B处测得∠ABN=60°，为了得到他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB=60°，并测得他走了48米，则AB为 米． 4.如图，等边三角形纸片ABC的边长为2cm,点D，E分别在BC，AC上，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C′处，且点C′在△ABC的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 cm. 5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BD⊥AC，垂足为D．求证：CA＝4DA． 【拓展提升】 如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ． 求证：（1）AD=BE； （2）△APC≌△BQC （3）△PCQ是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $