《1.5等腰三角形（二）》导学案 暑假预习手册12-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册12-《1.5等腰三角形（二）》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理 “ 等角对等边 ” ，能运用该定理进行简单的证明和计算。 2.通过观察、实验、猜想、论证等过程，体会等腰三角形判定定理的推导过程，发展逻辑思维能力和推理能力。 3.能够利用等腰三角形的判定定理解决实际问题，提升数学应用意识和解决问题的能力。 ) ( 一、 预习内容 （一） 复习回顾 1. 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 。 2. 等腰三角形的性质： （ 1） 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等 。例如在 △ ABC中，若AB = AC，则 ∠ B = ∠ C 。 （ 2） 性质2（三线合一）：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 。即在 △ ABC中，AB = AC，AD是底边BC上的中线，那么AD也是底边BC上的高线和 ∠ BAC的平分线，可表示为AD ⊥ BC， ∠ BAD = ∠ CAD 。 3.等腰三角形是轴对称图形。 （二） 等腰三角形的判定定理推导 【 思考 】 ：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边是否相等呢？ 【 实验探究 】 ： 在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于A.量一量，线段AB与AC相等吗？你发现了什么规律？ AB=AC 【 猜想 】 ： 【 理论证明 】 ： 已知： △ ABC中， ∠ B= ∠ C.求证：AB=AC. 【结论】 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成 “ 等角对等边 ” ）。 【 几何语言 】 在 △ ABC中， ∵∠ B= ∠ C（已知）， ∴ AC=AB（在同一个三角形中，等角对等边）， 即 △ ABC为等腰三角形. ) ( （三） 拓展思考 【 思考 】 除了 “ 等角对等边 ” ，还有哪些方法可以判定一个三角形是等腰三角形 。 （四） 探究等腰三角形的判定与性质的区别和联系： 1. 区别： （1） 性质是由边相等得出角相等（等边对等角），判定是由角相等得出边相等（等角对等边）； （2） 性质是已知等腰三角形，得出相关角和线的关系，判定是通过条件判断一个三角形是否为等腰三角形。 2. 联系：它们都围绕等腰三角形展开，在解决等腰三角形相关问题时，常常需要综合运用性质和判定 。 （ 五 ） 判定定理的应用 例1 .如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且∠ADB=∠BAC. 求证:AD=BD. 例2. 从 ① AB=DC； ② BE=CE； ③∠ B= ∠ C； ④∠ BAD= ∠ CDA四个等式中选出两个作为条件，证明 △ AED是等腰三角形(写出一种即可). 例3. 如图，AD平分 ∠ BAC，AD ⊥ BD，垂足为点D，DE ∥ AC. 求证： △ BDE是等腰三角形. 例4 . 如图， △ ABC是等腰三角形，AB=AC， ∠ A=36 ° . (1)尺规作图：作 ∠ B的角平分线BD，交AC于点D(保留作图痕迹，不写作法)； (2)判断 △ DBC是否为等腰三角形，并说明理由. ) ( 例5 . 如图，已知C是AB上一点，点D、E分别在AB两侧，AD ∥ BE，且AD=BC，BE=AC.连接DE，交AB于点F，猜想 △ BEF的形状，并给予证明. 例 6 ．如图 ① ， △ ABC 中， AB=AC ， ∠ B ， ∠ C 的平分线交于 O 点，过 O 点作 EF ∥ BC 交 AB ， AC 于 E ， F ． (1) 图中有几个等腰三角形 ? 猜想： EF 与 BE ， CF 之间有怎样的关系，并说明理由． (2) 如图 ② ，若 A B ≠ AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗 ? 如果有，分别指出它们在第 (1) 问中 EF 与 BE ， CF 间的关系还存在吗 ? (3) 如图 ③ ，若 △ ABC 中 ∠ B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O ，过 O 点作 OE ∥ BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．这时图中还有等腰三角形吗 ? EF 与 BE ， CF 关系又如何 ? 说明你的理由． ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 ．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且 △ ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（　　）个． A．7 B．8 C．9 D．10 2 ．如图，在 △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，以BC为边画等腰 △ BCP，使点P在 △ ABC的边上，则符合条件的点P有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,过点P作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N,那么下列结论:①BP=CP;②MN=BM+CN;③△BMP和△CNP都是等腰三角形;④△AMN的周长=AB+AC.其中正确的有( )(　　) A.4个　　　　B.3个　　　　C.2个　　　　D.1个 4 ．已知 △ ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为 △ ABC的对称轴的是（　　） A． △ ABC的边BC上的中线所在的直线 B． ∠ ACB的平分线所在的直线 C． △ ABC的边AB的垂直平分线 D． △ ABC的边AC上的高所在的直线 ) ( 5 ． 如图，在 5 × 5 的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接 AC 和 BC ，使 △ ABC 是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 6.如图，在 △ ABC中， ∠ C=90 ° ， ∠ A=15 ° ，点D是AC上一点，连接 BD， ∠ DBC=60 ° ，BD=4，则AD长是( ) A．4 B．5 C．6 D．8 7． 将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若 ∠ ABC = ∠ ACB,AB=10cm，则AC的长为( ) A. 10cm B.11cm C.12cm D.13cm 8 ，如图，D是 △ ABC内部的一点，AD=CD, ∠ BAD= ∠ BCD.下列结论: ①∠ DAC= ∠ DCA: ② AB=AC: ③ BD ⊥ AC: ④ BD平分 ∠ ABC.其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④ （ 二）填空题 9 .在△ABC中,∠A=80°,当∠B的度数为 　　　　 时,△ABC是等腰三角形. 10 .一个等腰三角形的底角是40°,则它的顶角的度数 是_________. 11 .如图D为AC边上的一点,CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E,∠DAB=∠ABD, AC=24,△BCD的周长为34,则BD的长 是_________. 12 .已知等腰三角形的两边长a,b满足|2a-3b+5|+(2a+3b-13) 2 =0,则此等腰三角形的周长为 _________. （三）解答题 13 .如图,在△ABC中,AB=BC,点D在边AB的延长线上,过点D作DF⊥AC于F,交BC于E,求证:BD=BE. ) ( 14. 如图在 △ ABC中,AB=AC=BD,BE=CD.求证: △ ADE是等腰三角形. 15. 如图，在 △ ABC中， ∠ ABC＝2 ∠ C， ∠ BAC的平分线AD交BC于D， 过B作BE ⊥ AD交AD于F，交AC于E. (1)求证： △ ABE为等腰三角形； (2)已知AC＝11，AB＝6，求BD长. 16.定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD. (1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由; (2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由; (3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC. 图1 图2 图3 ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 .下列三角形中,等腰三角形的个数是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2 .如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=36°,D,E是BC上的两点,且∠BAD=∠DAE=∠EAC,则图中等腰三角形的个数是(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 3 ．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得 △ ABP为等腰三角形，则点P的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4 . 已知在△ABC中,AB=AC,且∠B=α,则α的取值范围是(　　) A.α≤45°　　　　B.0°<α<90° C.α=90°　　　　D.90°<α<180° 5 .如图,在△ABC中,∠B=65°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于 AC的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,交BC于点D,连结AD,则∠BAD的度数为(　　) A.45°　　　　B.55°　　　　C.60°　　　　D.65° 6 .如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的垂直平分线,BM平分∠ABC,l与BM相交于点P.若∠BAC=60°,∠ACP=24°,则∠ABP=(　　) A.24°　　　　B.30°　　　　C.32°　　　　D.36° 7 .在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=(　　) A.16°　　　　B.28° C.44°　　　　D.45° 8 ．如图， △ ABC中， ∠ A=36°，AB=AC，BD平分 ∠ ABC，下列结论错误的是（　　） A． ∠ C=2 ∠ A B．BD=BC C． △ ABD是等腰三角形 D．点D为线段AC的中点 ) ( 9 ．对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　） A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等 B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 D．以上说法都是正确的 10 ． 如图，在 △ ABC中， ∠ ABC和 ∠ ACB的平分线相交于点O，过点O作EF ∥ BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD ⊥ AC于D，下列四个结论：①EF=BE + CF； ② ∠ BOC=90° + ∠ A；③点O到 △ ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE + AF=n，则S △AEF =mn． 其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二．填空题 11 ． 如图 ，D 为△ABC内一点 ，CD 平分∠ACB ，BD ⊥ CD， ∠A＝∠ABD.若AC＝5 ，BC ＝3 ， 则BD的长为 ________. 12 .如图5,△ABC沿DE折叠后,点A落在BC边上的点A'处.若D为AB边的中点,∠B=50°,则∠BDA'=________°.  13 ． △ ABC中， ∠ B＝ ∠ C，CD是AB边上的高， ∠ ACD＝20 ° ，则 ∠ B＝ 　 　 ° ． 14 ．如图，在 △ ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作 △ AEC，使EA＝EC．若 ∠ BAE＝90 ° ， ∠ B＝45 ° ，则 ∠ DAC的度数为 　 　 ． 15 ．在等腰三角形ABC中， ∠ B＝40 ° ，若AB＜BC，则 ∠ C＝ 　 　 ． 1 6 ．如图，在 △ ABC中， ∠ ABC＝ ∠ C， ∠ A＝100 ° ，BD平分 ∠ ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若 △ DEC是直角三角形，则 ∠ BDE的度数是 　 　 ． 1 7 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ， ∠ A＝52 ° ，以点B为圆心、以BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则 ∠ ADC的度数为 　 　 ． 1 8 ．如图， △ ABC中，AB＝AC， ∠ B＝40 ° ，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作 ∠ ADE＝40 ° ，DE交线段AC于E．以下四个结论： ①∠ CDE＝ ∠ BAD； ② 当D为BC中点时，DE ⊥ AC； ③ 当 △ ADE为等腰三角形时， ∠ BAD＝20 ° ； ④ 当 ∠ BAD＝30 ° 时，BD＝CE．其中正确的结论是 　 （把你认为正确结论的序号都填上）． ) ( 1 9 ．已知等腰三角形的一个外角等于130 ˚ ，则它的顶角等于 　 　 ． 20 ．如图，在 △ ABC中，AB＝AC，P是BC边上的一点，PE ⊥ AB，PF ⊥ AC，BD是AC边上的高，若PE＝5cm，PF＝3cm，则BD＝ 　 　 ． 三．解答题（60分） 21. 如图，在 △ ABC中，AD平分 ∠ BAC，EG ∥ AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明. 22 . 如图，在 △ ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交 ∠ DAC的平分线于E，交BC于G，且AE ∥ BC. (1)求证： △ ABC是等腰三角形； (2)若AE＝8cm，AB＝10cm，GC＝2BGcm，求 △ ABC的周长. 23 ．如图，在等腰Rt △ ABC 中， ∠ ACB =90°，D为BC的中点，DE ⊥ AB，垂足为E，过点B作BF ∥ AC交DE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AD ⊥ CF； （2）连接AF，试判断 △ ACF的形状，并说明理由． ) ( 2 4 . 如图，E在线段CD上，EA、EB分别平分 ∠ DAB和 ∠ CBA， ∠ AEB＝90 0 ，设 AD＝x ， BC＝y ，且 (x ﹣ 3) 2 ＋|y ﹣ 4|＝0 ； (1)求AD和BC的长； (2)认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论； (3)能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由。 25 .如图,已知等腰△ABP中,AP=BP,∠P<90°,BD⊥AP交AP于点D,AC平分∠BAP,AC与BD交于点E,与PB交于点C. (1)当∠P=40°时,求∠BEC的度数; (2)猜想∠P与∠BEC之间的数量关系,并说明理由; (3)当△BEC是等腰三角形时,求∠P的度数. 26. 如图，点O是等边 △ ABC内一点，D是 △ ABC外的一点， ∠ AOB＝110 ° ， ∠ BOC＝ α ， △ BOC ≌△ ADC， ∠ OCD＝60 ° ，连接OD． （1）求证： △ OCD是等边三角形； （2）当 α ＝150 ° 时，试判断 △ AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当 α 为多少度时， △ AOD是等腰三角形． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册12-《1.5等腰三角形（二）》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理 “ 等角对等边 ” ，能运用该定理进行简单的证明和计算。 2.通过观察、实验、猜想、论证等过程，体会等腰三角形判定定理的推导过程，发展逻辑思维能力和推理能力。 3.能够利用等腰三角形的判定定理解决实际问题，提升数学应用意识和解决问题的能力。 ) ( 一、 预习内容 （一） 复习回顾 1. 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 。 2. 等腰三角形的性质： （ 1） 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等 。例如在 △ ABC中，若AB = AC，则 ∠ B = ∠ C 。 （ 2） 性质2（三线合一）：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 。即在 △ ABC中，AB = AC，AD是底边BC上的中线，那么AD也是底边BC上的高线和 ∠ BAC的平分线，可表示为AD ⊥ BC， ∠ BAD = ∠ CAD 。 3.等腰三角形是轴对称图形。 （二） 等腰三角形的判定定理推导 【 思考 】 ：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边是否相等呢？ 【 实验探究 】 ： 在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于A.量一量，线段AB与AC相等吗？你发现了什么规律？ AB=AC 【 猜想 】 ： 在三角形中等角对等边 【 理论证明 】 ： 已知： △ ABC中， ∠ B= ∠ C.求证：AB=AC. 证明：作 △ ABC的角平分线AD.在 △ ABD和 △ ACD中， ∵∠ B= ∠ C， ∠ 1= ∠ 2，AD=AD， ∴△ ABD ≌△ ACD（AAS）， ∴ AB=AC（全等三角形对应边相等）. ∴△ ABC是等腰三角形（定义）. 也可以作BC边上的高AD，利用AAS证明 △ ABD ≌△ ACD 。 【结论】 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成 “ 等角对等边 ” ）。 【 几何语言 】 在 △ ABC中， ∵∠ B= ∠ C（已知）， ∴ AC=AB（在同一个三角形中，等角对等边）， 即 △ ABC为等腰三角形. ) ( （三） 拓展思考 【 思考 】 除了 “ 等角对等边 ” ，还有哪些方法可以判定一个三角形是等腰三角形 。 例如： （1） 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2） 如果三角形一边上的中线和高线重合，那么这个三角形是等腰三角形（由线段中垂线的性质即得）。 （3） 如果三角形的一条角平分线与这个角对边上的高线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 （四） 探究等腰三角形的判定与性质的区别和联系： 1. 区别： （1） 性质是由边相等得出角相等（等边对等角），判定是由角相等得出边相等（等角对等边）； （2） 性质是已知等腰三角形，得出相关角和线的关系，判定是通过条件判断一个三角形是否为等腰三角形。 2. 联系：它们都围绕等腰三角形展开，在解决等腰三角形相关问题时，常常需要综合运用性质和判定 。 （ 五 ） 判定定理的应用 例1 .如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且∠ADB=∠BAC. 求证:AD=BD. 证明 　∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠ADB=∠C+∠CAD.∵∠BAC=∠BAD+∠CAD, ∠ADB=∠BAC.∴∠C=∠BAD.∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角),∴∠B=∠BAD, ∴AD=BD(等角对等边). 例2. 从 ① AB=DC； ② BE=CE； ③∠ B= ∠ C； ④∠ BAD= ∠ CDA四个等式中选出两个作为条件，证明 △ AED是等腰三角形(写出一种即可). 解：选择的条件是： ③∠ B= ∠ C ④∠ BAD= ∠ CDA(或 ①③ ， ②③ , ①④ )； 证明：在 △ BAD和 △ CDA中， ∵ ， ∴△ BAD ≌△ CDA(AAS)， ∴∠ BDA= ∠ CAD ∴△ AED是等腰三角形 例3. 如图，AD平分 ∠ BAC，AD ⊥ BD，垂足为点D，DE ∥ AC. 求证： △ BDE是等腰三角形. 证明： ∵ AD平分 ∠ BAC， ∴∠ BAD= ∠ DAC， ∵ DE ∥ AC， ∴∠ ADE= ∠ DAC. ∴∠ BAD= ∠ ADE， ∵ AD ⊥ BD， ∴∠ ADB=90 ° ， ∴∠ BAD＋ ∠ B=90 ° . ∵∠ BDE＋ ∠ ADE=90 ° ， ∴∠ B= ∠ BDE， ∴ BE=DE， ∴△ BDE是等腰三角形. ) ( 例4 . 如图， △ ABC是等腰三角形，AB=AC， ∠ A=36 ° . (1)尺规作图：作 ∠ B的角平分线BD，交AC于点D(保留作图痕迹，不写作法)； (2)判断 △ DBC是否为等腰三角形，并说明理由. 解：(1)如图所示：BD即为所求； (2) ∵ AB=AC， ∴∠ ABC= ∠ C， ∵∠ A=36 ° ， ∴∠ ABC= ∠ ACB=(180 °﹣ 36 ° ) ÷ 2=72 ° ， ∵ BD平分 ∠ ABC， ∴∠ ABD= ∠ DBC=36 ° ， ∴∠ BDC=36 ° +36 ° =72 ° ， ∴ BD=BC， ∴△ DBC是等腰三角形. 例5 . 如图，已知C是AB上一点，点D、E分别在AB两侧，AD ∥ BE，且AD=BC，BE=AC.连接DE，交AB于点F，猜想 △ BEF的形状，并给予证明. 解： △ BEF为等腰三角形，理由如下：连CE， ∵ AD ∥ BE， ∴∠ A= ∠ B，在 △ ADC和 △ BCE中， ， ∴△ ADC ≌△ CBE， ∴∠ DCF= ∠ BEC，CD=CE， ∵ CD=CE， ∴∠ CDF= ∠ CED， 又 ∠ BFE= ∠ CDF+ ∠ DCF， ∠ BEF= ∠ BEC+ ∠ CED， ∴∠ BFE= ∠ BEF， ∴ BF=BE，即 △ BEF为等腰三角形. 例 6 ．如图 ① ， △ ABC 中， AB=AC ， ∠ B ， ∠ C 的平分线交于 O 点，过 O 点作 EF ∥ BC 交 AB ， AC 于 E ， F ． (1) 图中有几个等腰三角形 ? 猜想： EF 与 BE ， CF 之间有怎样的关系，并说明理由． (2) 如图 ② ，若 A B ≠ AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗 ? 如果有，分别指出它们在第 (1) 问中 EF 与 BE ， CF 间的关系还存在吗 ? (3) 如图 ③ ，若 △ ABC 中 ∠ B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O ，过 O 点作 OE ∥ BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．这时图中还有等腰三角形吗 ? EF 与 BE ， CF 关系又如何 ? 说明你的理由． 解： (1) 图中有 5 个等腰三角形， EF=BE+CF ， ∵△ BEO ≌△ CFO ，且这两个三角形均为等腰三角形，可得 EF=EO+FO=BE+CF ； (2) 还有两个等腰三角形，为 △ BEO ， △ CFO ，如图 ② 所示， ∵ EF ∥ BC ， ∴∠ 2= ∠ 3 ，又 ∵∠ 1= ∠ 2 ， ∴∠ 1=3 ， ∴△ BEO 为等腰三角形，在 △ CFO 中，同理可证． ∴ EF=BE+CF 存在． (3) 有等腰三角形： △ BEO ， △ CFO ，此时 EF=BE － CF ， ∵ 如图 ③ 所示， OE ∥ BC ， ∴∠ 5= ∠ 6 ，又 ∠ 4= ∠ 5 ， ∴∠ 4= ∠ 6 ， ∴△ BEO 是等腰三角形，在 △ CFO 中，同理可证 △ CFO 是等腰三角形， ∵ BE=EO ， OF=FC ， ∴ BE=EF+FO=EF+C F ， ∴ EF=BE － C F ． ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 ．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且 △ ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（　　）个． A．7 B．8 C．9 D．10 【 答案】 B 【 解析】 如图所示： ① AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个； ② AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．所以符合条件的点C共有8个．故选：B． 2 ．如图，在 △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ，以BC为边画等腰 △ BCP，使点P在 △ ABC的边上，则符合条件的点P有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【 答案】 C 【 解析】 如图，以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB，AC分别为P 2 ，P 1 ，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AB于P 3 ，作BC的垂直平分线交AB于P 4 ，故选：C． 3.如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,过点P作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N,那么下列结论:①BP=CP;②MN=BM+CN;③△BMP和△CNP都是等腰三角形;④△AMN的周长=AB+AC.其中正确的有( )(　　) A.4个　　　　B.3个　　　　C.2个　　　　D.1个 【 答案】 B　∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P,∴∠MBP=∠PBC,∠PCN=∠PCB. ∵MN∥BC,∴∠PBC=∠MPB,∠NPC=∠PCB,∴∠MBP=∠MPB,∠NPC=∠PCN,∴BM=MP,PN=CN,∴MN=MP+PN=BM+CN,△BMP和△CNP都是等腰三角形,故②③正确.∵△AMN的周长=AM+AN+MN,MN=BM+CN,∴△AMN的周长=AB+AC,故④正确.当∠ABC≠∠ACB时,2∠PBC≠2∠PCB,∴∠PBC≠∠PCB,∴BP≠CP,故①错误.故选B. 4 ．已知 △ ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为 △ ABC的对称轴的是（　　） A． △ ABC的边BC上的中线所在的直线 B． ∠ ACB的平分线所在的直线 C． △ ABC的边AB的垂直平分线 D． △ ABC的边AC上的高所在的直线 【答案】A 【解析】 ∵ m=AB+BC+AC，. ∴ .BC=m-2AB = AB+BC+AC-2AB, ∴ AB=AC. ∴ . ∧ ABC的边BC上的中线所在的直线是 △ ABC的对称轴，故答案为A、 ) ( 5 ． 如图，在 5 × 5 的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接 AC 和 BC ，使 △ ABC 是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】 D 【解析】 如图所示，一共有8个点C符合题意，故答案为：D． 6.如图，在 △ ABC中， ∠ C=90 ° ， ∠ A=15 ° ，点D是AC上一点，连接 BD， ∠ DBC=60 ° ，BD=4，则AD长是( ) A．4 B．5 C．6 D．8 【答案 】 A 【 解析 】 : ∵∠ DBC=60 ° , ∠ C=90 ° ， ∴∠ BDC=90 ° -60 ° =30 ° ， ∴∠ BDC= ∠ A+ ∠ ABD, ∠ A=15 °∠ ABD=15 ° ， ∴∠ ABD= ∠ A. ∴ AD=BD=4.故答案为:A. 7． 将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若 ∠ ABC = ∠ ACB,AB=10cm，则AC的长为( ) A. 10cm B.11cm C.12cm D.13cm 【答案】A 【解析】 ∵∠ ABC= ∠ ACB,AB =10cm， ∴ AC=10cm.故答案为:A. 8 ，如图，D是 △ ABC内部的一点，AD=CD, ∠ BAD= ∠ BCD.下列结论: ①∠ DAC= ∠ DCA: ② AB=AC: ③ BD ⊥ AC: ④ BD平分 ∠ ABC.其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④ 【答案】 C 【解析】 ∵ AD=CD， ∴∠ DAC= ∠ DCA,故 ① 符合题意: ∵∠ BAD= ∠ BCD, ∴ . ∠ BAD+ ∠ DAC= ∠ BCD+ ∠ DCA,即 ∠ BAC= ∠ BCA, ∴ AB=BC,故 ② 不符合题意: ∵ AB =BC,AD=DC, ∴ BD垂直平分AC，故 ③ 符合题意:BD平分 ∠ ABC，故 ④ 符合题意:故答案为:C. ) ( （ 二）填空题 9 .在△ABC中,∠A=80°,当∠B的度数为 　　　　 时,△ABC是等腰三角形. 【 答案 】 　20°或50°或80° 【 解析 】 　①若∠A是顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=50°.②若∠A是底角,∠B也是底角,则∠B=∠A=80°.③若∠A是底角,∠B是顶角,则∠A=∠C=80°,∴∠B=180°-80° ×2=20°.∴当∠B的度数为20°或50°或80°时,△ABC是等腰三角形.故答案为20°或50°或80°. 10 .一个等腰三角形的底角是40°,则它的顶角的度数 是_________. 【 答案】 100° 【 解析】 ∵ 一个等腰三角形的底角是40°,等腰三角形的两底角相等, ∴ 它的顶角=180°-40°-40°=100°. 11 .如图D为AC边上的一点,CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E,∠DAB=∠ABD, AC=24,△BCD的周长为34,则BD的长 是_________. 【 答案】 14 【 解析】 ∵ CE平分 ∠ BCD且CE ⊥ BD于点E, ∴∠ BCE= ∠ DCE, ∠ BEC= ∠ DEC=90°.又 ∵ CE=CE, ∴ △BEC ≌△ DEC, ∴ BC=DC. ∵∠ DAB= ∠ ABD, ∴ AD=BD. ∵ AC=AD+DC=BD+DC=24,△BCD的周长=DC+BD+BC=34, ∴ BC=34-24=10, ∴ DC=10, ∴ BD=24-10=14.故选C. 12 .已知等腰三角形的两边长a,b满足|2a-3b+5|+(2a+3b-13) 2 =0,则此等腰三角形的周长为 _________. 【 答案】 7或8 【 解析】 ∵ |2a-3b+5|+(2a+3b-13) 2 =0, ∴ 解得 当a为底边长时,三角形的三边长分别为2,3,3,则周长为8;当b为底边长时,三角形的三边长分别为2,2,3,则周长为7. （三）解答题 13 .如图,在△ABC中,AB=BC,点D在边AB的延长线上,过点D作DF⊥AC于F,交BC于E,求证:BD=BE. 证明　∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90°.∵AB=BC,∴∠A=∠C, ∴∠EFC-∠A=∠DFA-∠C.∵∠D=∠EFC-∠A,∠CEF=∠DFA-∠C, ∴∠D=∠CEF.∵∠BED=∠CEF,∴∠D=∠BED,∴BD=BE. 14. 如图在 △ ABC中,AB=AC=BD,BE=CD.求证: △ ADE是等腰三角形. 证明: ∵ AB=AC, ∴∠ B= ∠ C.在 △ BED和 △ CDA中, ∵ ∴△ BED ≌△ CDA, ∴ DE=AD, ∴△ ADE是等腰三角形. ) ( 15. 如图，在 △ ABC中， ∠ ABC＝2 ∠ C， ∠ BAC的平分线AD交BC于D， 过B作BE ⊥ AD交AD于F，交AC于E. (1)求证： △ ABE为等腰三角形； (2)已知AC＝11，AB＝6，求BD长. 解：(1)证明： ∵ BE ⊥ AD， ∴∠ AFE＝ ∠ AFB＝90 ° ，又 ∵ AD平分 ∠ BAC， ∴∠ EAF＝ ∠ BAF，又 ∵ 在 △ AEF和 △ ABF中 ∠ AFE＋ ∠ EAF＋ ∠ AEF＝180 ° ， ∠ AFB＋ ∠ BAF＋ ∠ ABF＝180 °∴∠ AEF＝ ∠ ABF， ∴ AE＝AB， ∴△ ABE为等腰三角形； (2)连接DE， ∵ AE＝AB，AD平分 ∠ BAC， ∴ AD垂直平分BE， ∴ BD＝ED， ∴∠ DEF＝ ∠ DBF， ∵∠ AEF＝ ∠ ABF， ∴∠ AED＝ ∠ ABD，又 ∵∠ ABC＝2 ∠ C， ∴∠ AED＝2 ∠ C， 又 ∵△ CED中， ∠ AED＝ ∠ C＋ ∠ EDC， ∴∠ C＝ ∠ EDC， ∴ EC＝ED， ∴ CE＝BD. ∴ BD＝CE＝AC ﹣ AE＝AC ﹣ AB＝11 ﹣ 6＝5. 16.定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD. (1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由; (2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由; (3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC. 图1 图2 图3 解 : (1)AB∥CD.理由:∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,∴∠OCD=∠ODC= (180°-∠COD), ∠OAB=∠OBA= (180°-∠AOB),∴∠OCD=∠OAB.∵A,O,C三点共线,∴AB∥CD. (2) AC=BD,AC⊥BD.理由:如图,设BD交AC于点M,交OC于点J. ∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD. 在△AOC和△BOD中, ∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD,∠OCM=∠ODJ. ∵∠DJO=∠CJM,∴∠CMJ=∠DOJ=90°,即AC⊥BD. (3)证明:如题图3,∵E为AD中点,∴AE,DE,在△AEG和△DEO中, ∴△AEG≌△DEO(SAS),∴AG=OD,∠G=∠DOE,∴AG∥OD,∴∠OAG+∠AOD=180°. ∵∠COD=∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOC=180°,∴∠GAO=∠COB.∵OD=OC,∴AG=OC. 在△GAO和△COB中, ∴△GAO≌△COB(SAS),∴∠AOG=∠OBC. ∵∠AOG+∠BOF=90°,∴∠OBC+∠BOF=90°,∴∠BFO=90°,即EF⊥BC. ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 .下列三角形中,等腰三角形的个数是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【 答案】 B　 【 解析】 第一个三角形中有两边相等,故第一个三角形是等腰三角形;第二个三角形中的三个角分别为50 ° ,35 ° ,95 ° ,故第二个三角形不是等腰三角形;第三个三角形中的三个角分别为100 ° ,40 ° ,40 ° ,故第三个三角形是等腰三角形;第四个三角形中的三个角分别为90 ° ,45 ° ,45 ° ,故第四个三角形是等腰三角形. 2 .如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=36°,D,E是BC上的两点,且∠BAD=∠DAE=∠EAC,则图中等腰三角形的个数是(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 【 答案】 C　 【解析】 ∵AB=AC,∠ABC=36°,∴∠BAC=108°,∠C=36°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°, ∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°,∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△ADE,△ACE, △ACD,△ABE,共有6个.故选C. 3 ．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得 △ ABP为等腰三角形，则点P的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【 答案】 D 【 解析】 如图，分情况讨论： ① AB为等腰 △ ABC的底边时，符合条件的C点有4个； ② AB为等腰 △ ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：D． 4 . 已知在△ABC中,AB=AC,且∠B=α,则α的取值范围是(　　) A.α≤45°　　　　B.0°<α<90° C.α=90°　　　　D.90°<α<180° 【 答案】 B　 【 解析】 ∵在△AB C 中,AB=AC,∠B=α,∴∠B=∠C=α,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B+ ∠C<180°,即2α<180°,∴α<90°,又由题意可知α>0°,∴0°<α<90°,故选B. 5 .如图,在△ABC中,∠B=65°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于 AC的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,交BC于点D,连结AD,则∠BAD的度数为(　　) A.45°　　　　B.55°　　　　C.60°　　　　D.65° 【 答案】 B　 【 解析】 在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠C=85°,由作图可得MN是线段AC的垂直平 分 线,∴AD=CD,∴∠DAC=∠C=30°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=55°.故选B. ) ( 6 .如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的垂直平分线,BM平分∠ABC,l与BM相交于点P.若∠BAC=60°,∠ACP=24°,则∠ABP=(　　) A.24°　　　　B.30°　　　　C.32°　　　　D.36° 【 答案】 C　 【 解析】 ∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠CBP,∵点P在BC的垂直平分线上,∴PB=PC, ∴∠PBC=∠PCB,∴∠ABP=∠CBP=∠PCB,∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∴3∠ABP+ ∠A+∠ACP=180°,∴∠ABP=(180°-60°-24°)÷3=32°.故选C. 7 .在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=(　　) A.16°　　　　B.28° C.44°　　　　D.45° 【 答案】 C　 【 解析】 如图,延长ED,交AC于F,∵△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∴∠A=∠ACB =28°,∵AB∥DE,∴∠CFD=∠A=28°,∵∠CDE=∠CFD+∠FCD=72°,∴∠ACD=72°-28°=44°.故选C. 8 ．如图， △ ABC中， ∠ A=36°，AB=AC，BD平分 ∠ ABC，下列结论错误的是（　　） A． ∠ C=2 ∠ A B．BD=BC C． △ ABD是等腰三角形 D．点D为线段AC的中点 【 答案】D 【 解析 】 ∵∠ A=36°，AB=AC， ∴∠ ABC= ∠ C=72°， ∴∠ C=2 ∠ A，故（A）正确； ∵ BD平分 ∠ ABC， ∴∠ ABD=36°， ∴∠ BDC=36° + 36°=72°， ∴∠ BDC= ∠ C， ∴ BD=BC，故（B）正确； ∵∠ A= ∠ ABD=36°， ∴△ ABD是等腰三角形，故（C）正确； ∵ BD ＜ CD， ∴ AD ＞ CD， ∴ D不是AC的中点，故（D）错误．故选：D 9 ．对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（　　） A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等 B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 D．以上说法都是正确的 【 答案】C 【 解析 】“等角对等边”是等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等的简写形式，意思是：在一个三角形中，如果有两个角相等， ) ( 那么它们所对的边也相等．故C正确；A、B可以举反例说明，如图：DE ∥ BC， ∠ ADE= ∠ B，但AE ≠ AC．故A、B都错误；故D也错误．故选C． 　 10 ． 如图，在 △ ABC中， ∠ ABC和 ∠ ACB的平分线相交于点O，过点O作EF ∥ BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD ⊥ AC于D，下列四个结论：①EF=BE + CF； ② ∠ BOC=90° + ∠ A；③点O到 △ ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE + AF=n，则S △AEF =mn． 其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【 答案】A 【 解析 】 ∵ 在 △ ABC中， ∠ ABC和 ∠ ACB的平分线相交于点O， ∴∠ OBC= ∠ ABC， ∠ OCB= ∠ ACB， ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB=180°， ∴∠ OBC + ∠ OCB=90°﹣ ∠ A， ∴∠ BOC=180°﹣ （ ∠ OBC + ∠ OCB）=90° + ∠ A；故②正确； ∵ 在 △ ABC中， ∠ ABC和 ∠ ACB的平分线相交于点O， ∴∠ OBC= ∠ OBE， ∠ OCB= ∠ OCF， ∵ EF ∥ BC， ∴∠ OBC= ∠ EOB， ∠ OCB= ∠ FOC， ∴∠ EOB= ∠ OBE， ∠ FOC= ∠ OCF， ∴ BE=OE，CF=OF， ∴ EF=OE + OF=BE + CF，故①正确；过点O作OM ⊥ AB于M，作ON ⊥ BC于N，连接OA， ∵ 在 △ ABC中， ∠ ABC和 ∠ ACB的平分线相交于点O， ∴ ON=OD=OM=m， ∴ S △AEF =S △AOE + S △AOF = AE•OM + AF•OD= OD•（AE + AF）= mn；故④错误； ∵ 在 △ ABC中， ∠ ABC和 ∠ ACB的平分线相交于点O， ∴ 点O到 △ ABC各边的距离相等，故③正确．故选A． 二．填空题 11 ． 如图 ，D 为△ABC内一点 ，CD 平分∠ACB ，BD ⊥ CD， ∠A＝∠ABD.若AC＝5 ，BC ＝3 ， 则BD的长为 ________. 【 答案】 1　 【 解析 】延长BD交AC于点E. ∵∠ A ＝∠ABD ， ∴ BE ＝AE. ∵ CD ⊥ BD，CD 平分∠ACB ，BC ＝3 ， ∴ EC ＝BC＝3 ，BD ＝DE.又∵AC＝5 ， ∴ AE ＝2. ∴ BE ＝2.∴BD＝1. 12 .如图5,△ABC沿DE折叠后,点A落在BC边上的点A'处.若D为AB边的中点,∠B=50°,则∠BDA'=________°.  【 答案】 80　 【 解析】 ∵ △ABC沿DE折叠后,点A落在BC边上的点A'处,D为AB边的中点, ∴ BD=AD=A'D, ∴∠ BA'D= ∠ B=50°, ∴∠ BDA'=180°-5 0°×2=80°. ) ( 13 ． △ ABC中， ∠ B＝ ∠ C，CD是AB边上的高， ∠ ACD＝20 ° ，则 ∠ B＝ 　 　 ° ． 【 答案】 35或55 【 解析】 当D在线段AB上时，如图 ① ， ∵ CD是AB边上的高， ∴∠ ADC＝90 ° ， ∵∠ ACD＝20 ° ， ∴∠ BAC＝90 °﹣∠ ACD＝90 °﹣ 20 ° ＝70 ° ， ∵∠ BAC+ ∠ B+ ∠ ACB＝180 ° ， ∠ B＝ ∠ ACB， ∴∠ B＝ (180 °﹣∠ BAC)＝ × (180 °﹣ 70 ° )＝55 ° ；当D在线段AB延长线上时，如图 ② ， ∵ CD是AB边上的高， ∴∠ ADC＝90 ° ， ∵∠ ACD＝20 ° ， ∴∠ CAD＝90 °∠ ACD＝90 ° ＝20 ° ＝70 ° ， ∴∠ BAC＝180 °﹣∠ CAD＝180 °﹣ 70 ° ＝110 ° ， ∵∠ BAC+ ∠ B+ ∠ ACB＝180 ° , ∠ B＝ ∠ ACB， ∴∠ B＝ (180 °﹣∠ BAC)＝ × (180 °﹣ 110 ° )＝35 ° ；综上所述： ∠ B＝35 ° 或55 ° ，故答案为：35或55． 14 ．如图，在 △ ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作 △ AEC，使EA＝EC．若 ∠ BAE＝90 ° ， ∠ B＝45 ° ，则 ∠ DAC的度数为 　 　 ． 【 答案】 45 ° 【 解析】 ∵ EA＝EC， ∴∠ EAC＝ ∠ C， ∵ BA＝BD， ∴∠ BAD＝ ∠ BDA， ∴∠ ADB＝ ∠ BAD＝ （180 °﹣ 45 ° ）＝67.5 ° ， ∵∠ BAE＝90 ° ， ∠ B＝45 ° ， ∵∠ AEB＝ ∠ B＝45 ° ， ∠ EAC＝ ∠ C， ∴∠ EAC＝22.5 ° ， ∴∠ DAE＝ ∠ DAE+ ∠ EAC＝45 ° ，故答案为：45 ° ． 15 ．在等腰三角形ABC中， ∠ B＝40 ° ，若AB＜BC，则 ∠ C＝ 　 　 ． 【 答案】 40 ° 【 解析】 ∵ AB＜BC， ∴∠ B是底角， ① 当 ∠ B＝ ∠ A＝40 ° 时， ∠ C＝100 ° ，此时AB＞BC，不符合题意； ② 当 ∠ B＝ ∠ C＝40 ° 时，条件成立；综上， ∠ C＝40 ° ．故答案为：40 ° ． 1 6 ．如图，在 △ ABC中， ∠ ABC＝ ∠ C， ∠ A＝100 ° ，BD平分 ∠ ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若 △ DEC是直角三角形，则 ∠ BDE的度数是 　 　 ． 【 答案】 30 ° 或70 ° 【 解析】 ∵ 在 △ ABC中， ∠ ABC＝ ∠ C， ∠ A＝100 ° ， ∴∠ ABC＝ ∠ C＝40 ° ， ∵ BD平分 ∠ ABC， ∴∠ DBC＝20 ° ，当 ∠ EDC＝90 ° 时， ∠ BDE＝180 °﹣ 20 °﹣ 40 °﹣ 90 ° ＝30 ° ；当 ∠ DEC＝90 ° 时， ∠ BDE＝90 °﹣ 20 ° ＝70 ° ．故 ∠ BDE的度数是30 ° 或70 ° ．故答案为：30 ° 或70 ° ． 1 7 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ ACB＝90 ° ， ∠ A＝52 ° ，以点B为圆心、以BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则 ∠ ADC的度数为 　 　 ． 【 答案】 109 ° 【 解析】 在Rt △ ABC中， ∵∠ ACB＝90 ° ， ∠ A＝52 ° ， ∴∠ B＝90 °﹣∠ A＝90 °﹣ 52 ° ＝38 ° ， ∵ BC＝BD， ∠ BCD+ ∠ BDC+ ∠ B＝180 ° ， ∴∠ BCD＝ ∠ BDC＝ （180 °﹣∠ B）＝ （180 °﹣ 38 ° ）＝71 ° ， ∴∠ ADC＝ ∠ BCD+ ∠ B＝71 ° +38 ° ＝109 ° 故为：109 ° ． ) ( 1 8 ．如图， △ ABC中，AB＝AC， ∠ B＝40 ° ，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作 ∠ ADE＝40 ° ，DE交线段AC于E．以下四个结论： ①∠ CDE＝ ∠ BAD； ② 当D为BC中点时，DE ⊥ AC； ③ 当 △ ADE为等腰三角形时， ∠ BAD＝20 ° ； ④ 当 ∠ BAD＝30 ° 时，BD＝CE．其中正确的结论是 　 （把你认为正确结论的序号都填上）． 【 答案】 ①②④ 【 解析】 ①∵ AB＝AC， ∴∠ B＝ ∠ C＝40 ° ， ∴∠ BAD＝180 °﹣ 40 °﹣∠ ADB， ∠ CDE＝180 °﹣ 40 °﹣∠ ADB， ∴∠ BAD＝ ∠ CDE；故 ① 正确； ②∵ D为BC中点，AB＝AC， ∴ AD ⊥ BC， ∴∠ ADC＝90 ° ， ∴∠ CDE＝50 ° ， ∵∠ C＝40 ° ， ∴∠ DEC＝90 ° ， ∴ DE ⊥ AC，故 ② 正确； ③∵∠ C＝40 ° ， ∴∠ AED＞40 ° ， ∴∠ ADE ≠∠ AED， ∵△ ADE为等腰三角形， ∴ AE＝DE或AD＝DE当AE＝DE时， ∴∠ DAE＝ ∠ ADE＝40 ° ， ∵∠ BAC＝180 °﹣ 40 °﹣ 40 ° ＝100 ° ， ∴∠ BAD＝60 ° ，当AD＝DE时，则 ∠ DAE＝ ∠ AED＝70 ° ， ∵∠ BAC＝100 ° ， ∴∠ BAD＝30 ° ，故 ③ 错误， ④∵∠ BAD＝30 ° ， ∴∠ CDE＝30 ° ， ∴∠ ADC＝70 ° ， ∴∠ CAD＝180 °﹣ 70 °﹣ 40 ° ＝70 ° ， ∴∠ DAC＝ ∠ ADC， ∴ CD＝AC， ∵ AB＝AC， ∴ CD＝AB， ∴△ ABD ≌△ DCE（ASA）， ∴ BD＝CE；故 ④ 正确；故答案为： ①②④ ． 1 9 ．已知等腰三角形的一个外角等于130 ˚ ，则它的顶角等于 　 　 ． 【 答案】 50 ° 或80 ° 【 解析】 ∵ 等腰三角形的一个外角等于130 ˚ ， ∴ 与其相邻的内角为50 ° ．当50 ° 为顶角时，其他两角为65 ° 、65 ° ；当50 ° 为底角时，其他两角为50 ° 、80 ° ．所以等腰三角形的顶角可以是50 ° ，也可以是80 ° ．故答案为：50 ° 或80 ° ． 20 ．如图，在 △ ABC中，AB＝AC，P是BC边上的一点，PE ⊥ AB，PF ⊥ AC，BD是AC边上的高，若PE＝5cm，PF＝3cm，则BD＝ 　 　 ． 【 答案】 8cm 【 解析】 连接AP． ∵ AB＝AC， ∴ S △ ABC ＝S △ ABP +S △ ACP ＝ AB • PE+ AC • PF＝ AC • BD， ∴ PF+PE＝BD， ∵ PE＝5cm，PF＝3cm， ∴ BD＝8cm，故答案为：8cm． 三．解答题（60分） 21. 如图，在 △ ABC中，AD平分 ∠ BAC，EG ∥ AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明. 解： △ AEF是等腰三角形.证明如下： ∵ AD平分 ∠ BAC， ∴∠ BAD＝ ∠ CAD. ∵ EG ∥ AD， ∴∠ E＝ ∠ CAD， ∠ EFA＝ ∠ BAD， ∴∠ E＝ ∠ EFA， ∴△ AEF是等腰三角形. ) ( 22 . 如图，在 △ ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交 ∠ DAC的平分线于E，交BC于G，且AE ∥ BC. (1)求证： △ ABC是等腰三角形； (2)若AE＝8cm，AB＝10cm，GC＝2BGcm，求 △ ABC的周长. 解： (1)证明： ∵ AE ∥ BC， ∴∠ B＝ ∠ DAE， ∠ C＝ ∠ CAE. ∵ AE平分 ∠ DAC， ∴∠ DAE＝ ∠ CAE， ∴∠ B＝ ∠ C， ∴△ ABC是等腰三角形.(2) ∵ F是AC的中点， ∴ AF＝CF.在 △ AFE和 △ CFG中， ∵∠ C＝ ∠ CAE，AF＝FC， ∠ AFE＝ ∠ GFC， ∴△ AEF ≌△ CFG， ∴ AE＝GC＝8. ∵ GC＝2BG， ∴ BG＝4， ∴ BC＝12， ∴△ ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32. 23 ．如图，在等腰Rt △ ABC 中， ∠ ACB =90°，D为BC的中点，DE ⊥ AB，垂足为E，过点B作BF ∥ AC交DE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AD ⊥ CF； （2）连接AF，试判断 △ ACF的形状，并说明理由． 解 ： （1）证明：在等腰直角三角形ABC中， ∵∠ ACB=90°， ∴∠ CBA= ∠ CAB=45°．又 ∵ DE ⊥ AB， ∴∠ DEB=90°． ∴∠ BDE=45°．又 ∵ BF ∥ AC， ∴∠ CBF=90°． ∴∠ BFD=45°= ∠ BDE． ∴ BF=DB．又 ∵ D为BC的中点， ∴ CD=DB．即BF=CD．在 △ CBF和 △ ACD中， ， ∴△ CBF ≌△ ACD（SAS）． ∴∠ BCF= ∠ CAD．又 ∵∠ BCF + ∠ GCA=90°， ∴∠ CAD + ∠ GCA=90°．即AD ⊥ CF． （2） △ ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知： △ CBF ≌△ ACD， ∴ CF=AD， ∵△ DBF是等腰直角三角形，且BE是 ∠ DBF的平分线， ∴ BE垂直平分DF， ∴ AF=AD， ∵ CF=AD， ∴ CF=AF， ∴△ ACF是等腰三角形． 2 4 . 如图，E在线段CD上，EA、EB分别平分 ∠ DAB和 ∠ CBA， ∠ AEB＝90 0 ，设 AD＝x ， BC＝y ，且 (x ﹣ 3) 2 ＋|y ﹣ 4|＝0 ； (1)求AD和BC的长； (2)认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论； (3)能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由。 解：(1) ∵ AD＝x，BC＝y，且(x ﹣ 3) 2 ＋|y ﹣ 4|＝0， ∴ AD＝3，BC＝4； (2)AD ∥ BC．理由是： ∵ 在 △ AEB中， ∠ AEB＝90 ° ， ∴∠ EAB＋ ∠ EBA＝90 ° ， 又 ∵ EA、EB分别平分 ∠ DAB和 ∠ CBA， ∴∠ DAB＋ ∠ ABC＝180 °∴ AD ∥ BC； (3)能．如图，延长AE、BC交于点F可证明 △ ADE ≌△ FCE 得：CF＝AD＝3 ∴ BF＝BC＋CF＝4＋3＝7再证明 △ ABE ≌△ FBE ∴ AB＝BF＝7. ) ( 25 .如图,已知等腰△ABP中,AP=BP,∠P<90°,BD⊥AP交AP于点D,AC平分∠BAP,AC与BD交于点E,与PB交于点C. (1)当∠P=40°时,求∠BEC的度数; (2)猜想∠P与∠BEC之间的数量关系,并说明理由; (3)当△BEC是等腰三角形时,求∠P的度数. 解 ： (1)∵AP=BP,∠P=40°,∴∠PAB=∠PBA= =70°,∵BD⊥AP,∴∠BDA=90°,∵AC平分∠BAP,∴∠PAE= ∠BAP=35°,∴∠BEC=∠AED=90°-∠PAE=55°. （ 2） ∠BEC=45°+ . 理由 :∵AP=BP,∴∠ABP=∠BAP= =90°- ,∵BD⊥AP, ∴∠BDA=90°,∵AC平 分 ∠BAP,∴∠PAE= ∠PAB=45°- ,∴∠BEC=∠AED=90°-∠PAE =90°- =45°+ . （ 3） 易知∠CBE=90°-∠P,由(2)知∠BCE=∠P+∠PAC=∠P+45°- =45°+ , ∠BEC=45°+ .分情况讨论:①若EC=BC,则∠BEC=∠CBE,∴45°+ =90°-∠P,解得∠P=36°;②若BE=CE,则∠BCE=∠CBE,∴45°+ =90°-∠P,解得∠P= °;③若BC=BE,则∠BEC=∠BCE,∴45°+ =45°+ ,解得∠P=0°(不符合题意,舍去). ∴当△BEC是等腰三角形时,∠P的度数为36°或 . 26. 如图，点O是等边 △ ABC内一点，D是 △ ABC外的一点， ∠ AOB＝110 ° ， ∠ BOC＝ α ， △ BOC ≌△ ADC， ∠ OCD＝60 ° ，连接OD． （1）求证： △ OCD是等边三角形； （2）当 α ＝150 ° 时，试判断 △ AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当 α 为多少度时， △ AOD是等腰三角形． 解：（1） ∵△ BOC ≌△ ADC， ∴ OC＝DC， ∵∠ OCD＝60 ° ， ∴△ OCD是等边三角形． （2） △ AOD是直角三角形． 理由如下： ∵△ OCD是等边三角形， ∴∠ ODC＝60 ° ， ∵△ BOC ≌△ ADC， α ＝150 ° ， ∴∠ ADC＝ ∠ BOC＝ α ＝150 ° ， ∴∠ ADO＝ ∠ ADC ﹣∠ ODC＝150 °﹣ 60 ° ＝90 ° ， ∴△ AOD是直角三角形． （3） ∵△ OCD是等边三角形， ∴∠ COD＝ ∠ ODC＝60 ° ． ∵∠ AOB＝110 ° ， ∠ ADC＝ ∠ BOC＝ α ， ∴∠ AOD＝360 °﹣∠ AOB ﹣∠ BOC ﹣∠ COD＝360 °﹣ 110 °﹣ α ﹣ 60 ° ＝190 °﹣ α ， ∠ ADO＝ ∠ ADC ﹣∠ ODC＝ α ﹣ 60 ° ， ∴∠ OAD＝180 °﹣∠ AOD ﹣∠ ADO＝180 °﹣ （190 °﹣ α ） ﹣ （ α ﹣ 60 ° ）＝50 ° ． ① 当 ∠ AOD＝ ∠ ADO时，190 °﹣ α ＝ α ﹣ 60 ° ， ∴ α ＝125 ° ． ② 当 ∠ AOD＝ ∠ OAD时，190 °﹣ α ＝50 ° ， ∴ α ＝140 ° ． ③ 当 ∠ ADO＝ ∠ OAD时， α ﹣ 60 ° ＝50 ° ， ∴ α ＝110 ° ． 综上所述：当 α ＝110 ° 或125 ° 或140 ° 时， △ AOD是等腰三角形． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$