精品解析：安徽省太和中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 2. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（ ） A B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C D. 5. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 6. ，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（ ）． A B. C. D. 7. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D. 两个不重合的平面的法向量分别是，，则 10. 已知四面体满足，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影为 D. 四面体的体积为 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. C. 二面角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为______． 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 14. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 17. 如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． （1）求证：平面． （2）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，. （1）求证：平面平面. （2）若为的中点，且， （ⅰ）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ⅱ）求二面角的余弦值. 19. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值． 【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为， 点关于平面的对称点为点， 所以． 故选：B． 2. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由于， 由于三点共线，所以，解得， 故, 故选：A 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 5. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 6. ，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案 【详解】 如图所示，为的中点， 则， ， 又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 7. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 8. 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即 ①． 又，所以，即 ②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D. 两个不重合的平面的法向量分别是，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据基底定义可知A错误；举特例判断B；根据向量与立体几何中的垂直与平行的关系可证得CD正确. 【详解】对于A，为空间的一组基底，不共线， ，，，共面， 不能作为空间的一组基底，A错误； 对于B，四点共面，如图，若，O为BC中点， 此时，只需即可，B错误； 对于C，，，或，C正确； 对于D，，，，D正确. 故选：CD. 10. 已知四面体满足，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影为 D. 四面体的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】构造长方体，由长方体的特征可判定A项，建立空间直角坐标系，借助空间向量可判定B、C项，利用割补法计算体积可判定D项. 【详解】 如图，构造长方体，因， 则可得，此时四面体符合题目条件. 建立空间直角坐标系，则， 对于A，由长方体的特征可知，又底面为正方形，即， 所以，故A正确； 对于B，易知， 设平面和平面的法向量分别为， 则故可取； 则，故可取. 设锐二面角的平面角为，则，故B错误； 对于C，易知， 则在上的投影为，故C错误； 对于D，由图易知四面体的体积等于长方体的体积减去四个大小相同的小三棱锥的体积， 即，故D正确. 故选：AD 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. C. 二面角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到直线与所成的角为，而为等边三角形，从而求出异面直线所成角；B选项，由于，而与相交，故B错误；C选项，作出辅助线，得到线线垂直，为二面角的平面角，求出各边长，求出；D选项，证明面面垂直，点到平面的距离等于点到的距离，即，故D正确. 【详解】对于A，如图（1），连接分别为棱的中点，， 则直线与所成的角为，而为等边三角形，则， 故直线与所成的角为，故A正确. 对于B，设为的中点，连接，如图（1），由于，而与相交， 直线异面，故B错误； 对于C，如图（2），记，则，连接， . 又四边形为正方形，， 故为二面角的平面角， 又， 在中，，故C正确. 对于D，平面即平面，显然⊥平面， 又平面，所以平面平面， 故点到平面的距离等于点到的距离，即， 在正方形中易得此距离为，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间中点到平面的距离公式计算. 【详解】，由点到平面的距离公式，可知． 故答案为：. 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 14. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分别确定题中三个平面的法向量，设直线的方向向量为，求得，利用线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】由题意可知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 设直线的方向向量为，则， 故，即，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标运算求出的值，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出； （2）根据三个向量不能构成空间的一个基底可知这三个向量共面，利用向量共面的性质列出方程求解的值. 【小问1详解】 已知，，可得,解得. 所以，则. 根据向量模的计算公式可得. 【小问2详解】 已知，，, 先求出. 因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数，使得，则. 由此可得方程组.由可得，将其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入， 可得，解得. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解； （3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可. 【小问1详解】 取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且， 又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以//平面． 【小问2详解】 底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积， 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. 【小问3详解】 因为平面平面，且其交线为， 又平面，， 所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角， 在直角梯形中，，，所以， 所以， 又，所以， 在中，， 所以，又， 解得：， 即二面角的余弦值为． 17. 如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． （1）求证：平面． （2）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，为的中点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由 ， ，根据线面垂直判定定理证明平面 ，进而得 ，在等腰梯形中，可证得 ，再利用线面垂直判定定理证明结论； （2）取 的中点，的中点，证明四边形为平行四边形，从而得证 ，进而得证. 【小问1详解】 ∵， ∴． ∵在等腰梯形中，， ∴在四棱锥中，． 又，平面， ∴平面，又平面， ∴． ∵在等腰梯形中，，，且， ∴，，， 由勾股定理得，故， ∴， ∴由勾股定理逆定理得． ∵，平面， ∴平面． 【小问2详解】 线段上存在一点，使得平面，为的中点， 证明如下： 证明：取的中点，的中点，连结，，． ∵，分别为，的中点， ∴且． ∵且， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，. （1）求证：平面平面. （2）若为的中点，且， （ⅰ）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ⅱ）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直; （2）（ⅰ）证明，为的中点，，同理，有，又底面，平面，所以,可得为四棱锥的外接球的球心, 建立空间直角坐标系，取的中点，设，求出,求出半径;（ⅱ）由（ⅰ）知，，求出平面的法向量为，求出平面的法向量为,求出余弦值. 【小问1详解】 证明：因为，所以. 因为底面，平面，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 （ⅰ）证明：连接，， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以，同理，有， 因为底面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 因此， 所以为四棱锥的外接球的球心. 按如图所示建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，易知为底面四边形外接圆的圆心.则，设， 则，，，，， 由，得，即，得，故，. 故四棱锥的外接球半径为. （ⅱ）解：由（ⅰ）知，， 设平面的法向量为， 由得 则，取，， 得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，，， 由得 解得，令，得，故. 设二面角的平面角为， 则. 故二面角的余弦值为. 19. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1） 如图，取的中点，连接，因为侧面为菱形，， 所以.又因为平面平面， 平面平面， 平面，所以平面. 又因为是的中点，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面，再利用面面垂直的判定定理得到答案； （2）建系，设，借助于空间向量表示平面与平面的夹角的余弦值，进而求出，即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为为等边三角形，则. 所以两两垂直.则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为AB=2，所以. 故， . 设，则， 即.， . 设平面的一个法向量为， 则则， 取，则，. 故平面的一个法向量为. 又由（1）可知平面的一个法向量为， 由题意可得，即. 解得. 又，所以线段CF的长为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $