1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（1）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究 距离、夹角问题 KAI的小炸鸡 1. 用空间向量研究距离问题 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 回顾 1. 向量的数量积 2. 投影向量 ＝||cos<,> 向量在向量上的投影向量： A A1 D C B1 则 ＝( 2 导入 问题1：空间中有哪些距离问题？如何研究距离问题？ 点到平面的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 点到直线的距离 两点间的距离 空间两点间的距离 空间中其它距离 空间向量的模 投影向量/勾股定理 垂直 新知 1. 两点间的距离 已知空间中任意两点， 1. 坐标运算 空间两点间的距离公式 2. 基底运算 4 新知 2. 点到直线的距离 问题2：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.设，如何利用这些条件求点到直线的距离？ 是在直线上的投影向量， 则 . 点P到直线l的距离为. 5 总结 求点到直线的距离步骤 ① 建立适当的空间直角坐标系，写出点坐标； ②求所求点与直线上某一点所构成的向量； ③求直线的单位方向向量； ④代入点线距公式求距离. 单位方向向量 d= 新知 3. 平行线之间的距离 追问1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 对于两条平行直线l、m, 可在其中一条直线m上任取一点P, 则两条平行直线间的距离就等于点P到直线l的距离. 点到直线的距离 两条平行线l、m之间的距离为： . 7 新知 4. 点到平面的距离 问题3：已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，如何用空间向量求点P到平面α的距离？ α 点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度. 8 总结 求点到平面的距离步骤 ① 建立适当的空间直角坐标系，写出点坐标； ②求所求点与平面上某一点所构成的向量； ③求平面的单位法向量； ④代入点面距公式求距离. α 新知 5. 平行线面之间的距离 追问1：类比点到平面的距离的求法，如何求平行线与面之间的距离？ 如果一条直线m与一个平面α平行, 可在直线m上任取一点P, 将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 点到平面的距离 α d 10 新知 6. 平行面之间的距离 追问1：类比点到平面的距离的求法，如何求平行面之间的距离？ 如果两个平面α, β互相平行, 可在平面β内任取一点P, 将面面距离转化为点P到平面α的距离求解. 点到平面的距离 α d 11 例题 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 解：以为原点，,,所在直线为,,轴，建立空间直角坐标系. 取， 12 例题 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F ，，，，， 则 因为， 所以，即平面. 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 13 例题 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 设平面的法向量为， 则， 取，则 ∴是平面的一个法向量 ∴点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. 14 总结 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论. （化为向量问题） （进行向量运算） （回到几何问题） 练习 书本P35 1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 点A到平面B1C的距离等于_____； 直线DC到平面AB1的距离等于_______ ； 平面DA1到平面CB1的距离等于_______. 1 1 1 B A A1 B1 C1 D1 C D x y z 16 练习 书本P35 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; (2) 求直线FC1到直线AE的距离; (3) 求点A1到平面AB1E的距离; (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 17 练习 书本P35 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (2) 求直线FC1到直线AE的距离; B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 18 练习 书本P35 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (3) 求点A1到平面AB1E的距离; B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 19 练习 书本P35 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 20 练习 书本P35 3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与 平面D1CB1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D 21 总结 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 单位方向向量 d= α 两点间的距离 22 $