江苏省苏州市2026届高三上学期期初阳光调研数学试卷

2026届苏州市高三年级期初阳光调研试卷 数学 2025.09 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题意的。 1.已知集合A={x∈Nx2-2c一3<0}，则集合A的子集个数是 (C) A.3 B.4 C.8 D.无数个 【答案】C 【解析】A={0,1,2}有8个子集，选C 2.设z=(1+i)(i为虚数单位)，则在复平面内复数z对应的点位于 (A) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】z=i-i2=1+i位于第一象限，选A. 3.若数据1,2，g，4,的方差s2=0,则01,2，亚g,4,的大小 (B A.都不相同 B.都相同 C.不都相同 D.无法确定 【答案】B 【解析】s2=0,则1，x2,c3,x4,c5的大小都相同，选B. 4.设函数f(x)=lnlx+1-lnx-1,则f(x) (D) A.是偶函数，且在(1，+o∞)单调递增 B.是奇函数，且在(-1,1)单调递减 C.是偶函数，且在(-0o,-1)单调递增 D.是奇函数，且在(-∞，一1)单调递减 【答案】D 【解析】f(x)定义域：{xx≠士1}，f(-x)=n-x+1-ln-x-1=nx-1-nx+1= -f(x),∴.f(x)为奇函数，排除AC.-1<x<1时，f(x)=nx+1-nl1-x,f(x)在 (-1,1)单调递增，B错，选D。 5.“a>2Y是"函数f)=am-an在xe(-平)上单调递增"的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】f()=am-tanu在xe(-至，平)上单调递增分f(四)≥0在(-至，平)恒成立a 2≥0在(-1，子)恒成立a≥2，“a>2”是“f(在xe(至)上单调递增 cos?x 的充分不必要条件，选A 6.在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，M为BC的中点，AC=3AN,AM与BN交 于点P,则cos∠MPN= (C) -第1页共8页- A、3 B.57 D.、4W1g 16 19 C.-v57 19 19 【答案】C 【解析】B丽+(1-)丽=号8C+a-1)店=受(Ad-西)+8-1)=号AC+ (传-1A通，即F=m5=A+=-m+号C,侵em六-号 (m=3 :廊-或，丽-丽=(-Ad+号4C)=}硒+24C,P=号丽- 1A店+士AC,os∠MPN= PM.PN PPW四.57 M 7.已知tan(a+B)=3,tan(a-B)=5,则4tana+tanB= A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】C 【解析】tana+tanB=3-3 tanatanB,即5tan+5tanB=l5-l5 tanatanB, tana-tanB =5-5tanatanB,5tana-3tanB=15+15tanatanB, .8tana+2tanB=30,..4tana +tanB=15,iC. 8.在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c,且cosA=-sinB,则+e的最小值是 a2 (A) A.4v2-5 B.4W2-4 C.2 D.4W2-3 【答案】A 【解折1osA=-i血B=cOs(B+受)，A=B+受，C=号-2B,0<B<至， csin'B+sin'C sin'B+sin(2 sin2B+cos22B a2 sin2A cos2B cos2B 1-c0sB+(2c0s2B-12_4c0sB-5c0s2B+2 =400s2B+2 cos2B cos2B cos?B -5≥2W8-5=wW2-5, 当日仅当as阳=心g即casB=(号产时报一故选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=sin2x-√3cos2x,则 (AC 一第2页共8页一 A.f(x)的值域为[-2,2] Bf()的图像关于点（号，0）对称 Cf孔)在(0，至)上单调递增 D.fm的图像可有曲线y=2sin2z向右平移号个单位得到 【答案】AC 【解析】f(m)=2sin(2m-)值域[-2,2]，A对。f()=2sin了≠0，f()不关于(，0)对 称，B错。一子<2x-青<号即一吾<<吕x,即fe)的个单调递增区问 (-品·是而(0，)(-6·品)，fa)在(0)上单调递赠，C对。y=n2=向 右平移石个单位得到f(四)，D错，选AC 10.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，则 （ACD) A.AC⊥BD B.AC与BC所成角的大小为45° C.二面角A-BD-C的正切值为2W2 D.从正方体的八个定点中任取四个点，其中四个点可以构成正四面体的概率是 35 【答案】ACD 【解析】AC⊥BD,BD∥BD,.AC1⊥BD,A对。∠DAC=60°，即AD1与AC夹角为 60°，而AD∥BC1,.AC与BC夹角为60°，B错。取BD,中点，连AE,CE,则二面角 BD-C为LAEC,AE=CE=Y5,AC=V2,c0sLAPC=芝+》2 1 2.6.6 3‘ 2 2 sin∠AEC=22,tan∠ABC=2W2,C对。8个点任取4个点有Cg=70个结果，正四面体 3 有DaA,C和ACDB两个，P=易=高，D对.选ACD 11.已知函数f(x)=x3-3x2+1. BCD A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.y=f(c+1)+1是奇函数 C.过点(0,1)可作曲线y=f(x)的两条切线 D.当a≥2W3时，f(x+a)≥f(x)恒成立 【答案】BCD 【解析】f'(x)=3x2-6x=0,x=0或2，f(x)在(-00,0)上单调递增，(0,2)上单调递减， (2,+o∞)上单调递增，A错。f(x+1)+1=x3-3x为奇函数，B对。设切点(x0,x8-3x+1), f'(x)=3ax2-6c,k=3-6r0,切线y-(8-3+1)=(3a听-6xo)(x-xo)过(0,1)，'.x=0 或号有两条切线，C对。f(x+a)≥f)←→3ar2+(3a2-6a)x+a3-3a2≥0，a=0时城立， a≠0时3a>0 {3a2-6a)-12a(a-3a≤0则a≥2W5,∴a≥25时，f(c+a)≥f),D对 一第3页共8页一 选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量d=(1,-2),=（-2,x),若a∥6，则c= 【答案】4 【解析】d∥6，.c+(-2)×(-2)=0,.x=4 13.函数f(x)=lg(2x)·lg(5x)-g2·lg5的最小值为 【答】} 【解析1a)=（(g2+ge)g5+g）-le2:g5=g+(g=(ge+2}-士≥} 即feam=士， 14.在1,2,3，…，9中随机选出一个数a,在-1，-2，-3，…，-9中随机选出一个数b,则 a2+b被3整除的概率为 【答案】片 【解析】a有9个结果，b有9个结果，a2+b共有81个结果。a=1,2,4,5,7,8时，b可取-1 ,-4,-7,此时a2+b被3整除。a=3,6,9时，b可取-3，-6，-9，此时a2+b被3整除。 P=6×3+3×3=1 81 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c,sinA+cosA=2W2sinB,且a2+c2- b2=√5ac. (1)求A: (2)若△ABC的周长为3十√+√2，求AB边上的高。 【解折】法-：12比-5→osB=号，B=吾，nA+csA=万= 2ac 2 V2sin(A+年)→im(A+)=1,A=子 4 (2)a:b:c=号：号：6+2=2：V2:W5+1),a=2,6=2,AB边上的高h= 22 4 法：(a2+c2-bP=VBac,cosB=+c-b=Y3a=Y3,又：B∈(0，x) 2ac B=若；：B=石，snA+cosA=2W5snB=V万，snA+0sA=V万sn(A+f)= V2.又：Ae(0,),A=至 (2)在△ABC中，过点C作CDLAB,∠ACD=∠A=至，∠BCD=号，设AD=,则在 △ACD中，AD=x,AC=√2x;则在△BCD中，BD=√3x,BC=2x;∴.△ABC的周长为 (3+V万+V2)=3+V5+2,2=1:i记AB边上的高为h,∴h=BCnB=2×号-1 16.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sm,且Sm=n2,正项等比数列{bn}的首项为1，Tn为其前 n项和，且T=5T3-4. 一第4页共8页一 (1)求a,bn; (2)当1>0时，若Sn≤T+1对任意的n∈N恒成立，求实数的最大值。 【解析】法-：(1)m≥2时，am=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2m-1,而a1=1也满足上式，∴.am -2m-1,设b的公比为g,然g≠1,2=5二g-11-g=5-对-4+ 1-q 1-q 4q,.g-5g2+4=0,.(g2-1)(q2-4)=0,q>0,.q=2,.bn=2"-1 综上：am=2n-1,bn=2n-1。 (2)m2≤11-2 1-2 2+1=2,A≤()，令c= n2C1-cn=,21 (n+1n2= 2n2-2n+1_2(m2-2n-,当1≤n<2时，c1<c,.c>o>ca (n+1)2n2 (n+1)2n2 当n≥3时，c1>c,∴c<c<o<…,(cm=cg=8,0<i≤8，∴=8 法二：(1)Sn=n2,∴.a=S1=1,当n≥2时，an=Sm-Sn1=n2-(n-12=2m-1, :a符合am,.an=2n-1,设{bn}的公比为q,且q>0,T=5T-4,.T-乃3= 4(T-1),.b+b4=4(b3+b2),.q2=4,:q>0,.q=2,.bn=2m-1 Sn n ②由0可知，122-，0，+令c3么+2 :61-6.=11-2-m+12n=二+2+1，当m=1,2时，6>6.：当n 2n 2m+1 2n+1 ≥3时，c1<c;当n=3时，6的最大值是号，0<≤8，实数入的品大值是 8 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F(1,0)的距离与到直线m:x=一1的距离相等， 记P的轨迹为E. (1)求E的方程： (2)直线l过点F与曲线E交于点M,N,点Q满足MQ=9QF,当直线OQ斜率最大时，求点 N的坐标. 【解析】法一：(1)P的轨迹E的方程为y=4c (2)要使OQ斜率最大，显然M在x轴上方，N在x轴下方 N 设1方程为2=m则+1，M(至），N(里功)，设Qm为，F1.0),>0, -第5页共8页- ∫x=my+1 y2=4x ÷y2-4m网-1=0，ya=-4,由0=0正→(a-乎助-- 91-owQ(0(9+f0n.kw- 1一≤ 1 9++警2/ =号，当日仅当 号=牛时，即=6时，等号成立，时=。=号，行号》 1 4 法二：(1)设动点P(c,y),则点P到点F(1,0)的距离为√(xc-1Y+y2,直线m:c=-1的距离 为x+1: :动点P到点F(1,0)的距离与到直线m:x=-1的距离相等，∴.√(x-12+y2=x+1, 整理得：y2=4c,∴.E的方程为y2=4x. (②)设Q,0,由id=9Q2,即u二91-w},得M10,-9,106: l0-yM=9(0-yo) 点M在防程E上，点10=410,0，而k=物二25十g要球0Q斜率最大 ·y0>0,k=10 256+ ≤20日，当日仅当25的头时，即的=号时，等号成 +品2/25咖头 立，M9.6,自线1g=星e-1),由1g=星(-1与寸=4联立，得寸=4（兮+1， 即9-9y-4-0,=士，即6g=4,w=号，N合，3) 18.(I7分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,ACLBC,M,N分别为PB,PC的中 点， (1)求证：MN∥平面ABC; (2)若PA=2,AC=m,BC=n,且AM与平面PBC所成角的正切值为√2， ①当m=2时，求三棱锥P-ABC的体积： ②求BC的最大值。 M >B 【解析】法一：（1)M,N分别为PB,PC的中点，.MN∥BC,,MNd平面ABC,BCC 平面ABC,.MN∥平面PBC. (2)①.PA⊥底面ABC,.PA⊥BC,又BC⊥AC,PA∩AC=A∴.BC⊥平面PAC, 一第6页共8页一 .BC⊥AN,又.当m=2时，PA=AC,AN⊥PC,∴.BC⊥平面PBC,AM与平面PBC 所成角为∠AN,tan∠AN=AN=Y2=V2,n=2, MN 6a=号×号×2x2×2=号 3 @设AMM与平面PBC所成角为8，tan8=2,sin0=Y石，记A到平面PBC的距离为h, 3 o=,→}nm中h= 3‘2mn2→h= 2m √m2+4 2m .∴.sin0= √m2+4 4m =6 √m2+n2+4 √m2+4√m2+n2+4 3 ，n2=2m-(me+4= m2+4 2 24(m2+4-4) m2+4 m+4=24（,m十m+4≤24-2W06=24-8W6,当日仅当2 =4W6,即m2=W6-4时，取等，.nmx=√24-8W6=2W6-2W6. 法二：(I)M,N分别为PB,PC的中点，.MIN∥BC,又MN4平面ABC,BCC平面 ABC,∴.MN∥平面PBC (2)①PA⊥底面ABC,.PA⊥BC,又.BC⊥AC,PA∩AC=A,.BC⊥平面PAC,又 ,ANC平面PAC,.AN⊥BC,又.PA=AC=2,N是PC的中点，∴.AN⊥PC且AN= √2.又PC∩BC=C,∴.ANL平面PBC;又.'AM与平面PBC所成角的正切值为√2， m∠a2v=器=5.即=1，B0=2a=2.6c=号5a4eAG=台× mm×2=-青，三债维P-ABC的体积是专 1 3 (2)过点A作AQ⊥PC,连接QM,在△PAC中，PA=2,AC=m,.AQ= 2m √m2+4 又AC=m,BC=n,ACLBC,AB=Vm+m.又PA1AB,AM=2PB= 号m++4.BCL平面PAC,AQc平面PAC,BC1AQ,又AQ1P0,AQL平 PBC,又：AM5平面PBC所成角的正切值为V2,m乙AMQ三Y 3 2m Wm2+4 √m2+n2+4 =6,6m2+4(m2+m2+4)=24m2,n2=2n-(m2+4)=24 3 m2+4 2 (96,+m2+4)≤24-8W6,当且仅当m2+4=4W6,即m2=4W6-4时，等号成立， m2+4 ∴.nmx=√24-8√6=2W6-26」 一第7页共8页一 QX M 19.(17分)已知函数f(c)=ac-c-blnx(a,b,c∈R) m (1)当a=b=c=1,c=-2时，求函数f(x)的最小值： (②)当a=c=1时，若函数四)存在两个极值点a,,求证：fe）+fe+号>0： (3)设a,b为函数f(x)的极值点，且a<b,若a,b,c是一个三角形的三边长，求a+b-c的 取值范围。 解折11)当a=6=6=1,c=一2时，f=+2-h(e>0,f)=1-是-女 -2-2=-2c+1,当∈0,2)时，f(m)<0,f()单调递减：当x∈(2，+0)时， x x f'(x)>0,f(x)单调递增；f(c)min=f(2)=3-ln2. (2)当a=c=1时，f)=云-是-ne,f(o)=-如上，：f)存在两个极值点1，， b>2;2-b证+1=0的两个解为，，=1，十=b:fe列+fe到+号- e-六-+e+营=e+的1-）号，e+e*>2号，到 +fe)+号>2e-。)-号，令多-t(>0,下证：e-e->0令g=e-。 2 t,:g'(t)=et-et-2在(1，+o)上单调递增，且g”(1)>0,∴g(t)=e+et-2t在 (1,+∞)上单调递增，又g(1)>0,∴.g(t)=e-et-在(1，十∞)上单调递增，又g(1)>0,∴. e-e-f>0恒成立，fe)+fe)+号>0 ③)f'o)=a十怎6=-十e,a,b为函数fo的极值点，∴az2-bm十c x2 a(x-a)(x-6),..8--a2_ =产。8=2aa<b分<a<1,b>c,又a,6,c是个 a 的边k。a+e≥6，号<a<5,,a-b-e=a+。。 2 =a3+a2+a, :y=a+a2+a单调递增，目当a=5,-1时，又2a+1=5,从而a+a=1,a+a2+a ∈（冬5-1 一第8页共8页一2026届苏州市高三年级期初阳光调研试卷 数学 2025.09 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题意的。 1.已知集合A={x∈Nx2-2c一3<0}，则集合A的子集个数是 A.3 B.4 C.8 D.无数个 2.设z=(1+)i(i为虚数单位)，则在复平面内复数x对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若数据1,2,3，x4,的方差s2=0,则1，c2,3,c4,的大小 A.都不相同 B.都相同 C.不都相同 D.无法确定 4.设函数f(x)=lnx+1-lnx-1,则f(x) A.是偶函数，且在(1，+o0)单调递增 B.是奇函数，且在(-1,1)单调递减 C.是偶函数，且在（-00，-1)单调递增 D.是奇函数，且在(-0∞，-1)单调递减 5.a>2是"函数f=a-amu在∈(-年子)上单调递增"的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，M为BC的中点，AC=3AN,AM与BN交 于点P,则cos∠MPN= A-器 B.V57 C.、57 D.419 19 19 19 7.已知tan(a+B)=3,tan(a-B)=5,则4tana+tanB= A.13 B.14 C.15 D.16 8.在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c,且cosA=-sinB,则+c2的最小值是 a2 A.4W2-5 B.4W2-4 C.2 D.4W2-3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=sin2c-√5cos2x,则 A.f(x)的值域为[-2,2] Bf(四)的图像关于点（胥，0）对称 C.f(如)在(0，)上单调递增 -第1页共4页- D.f()的图像可有曲线y=2sin2z向右平移号个单位得到 10.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，则 A.AC⊥BD B.AC与BC,所成角的大小为45° C.二面角A-BD-C的正切值为2W2 D.从正方体的八个定点中任取四个点，其中四个点可以构成正四面体的概率是，} 35 11.已知函数f(x)=3-3x2+1. A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.y=f(x+1)+1是奇函数 C.过点(0,1)可作曲线y=f(x)的两条切线 D.当a≥2W5时，f(x+a)≥f(x)恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量d=(1,-2),6=（-2,x),若d∥，则x= 13.函数f(x)=lg(2x)·g(5c)-lg2·lg5的最小值为 14.在1,2,3，…，9中随机选出一个数a,在-1，-2，-3，…，-9中随机选出一个数b,则 a2+b被3整除的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c,sinA+cosA=2W2sinB,且a2+c2- b2=√5ac. (1)求A: (2)若△ABC的周长为3+√+√2，求AB边上的高。 16.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sm,且Sn=n2,正项等比数列{b}的首项为1，Tm为其前 n项和，且T=5T-4. (1)求a,bm; (2)当A>0时，若S≤T+1对任意的n∈W恒成立，求实数的最大值。 一第2页 共4页一 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F(1,0)的距离与到直线m:x=-1的距离相等， 记P的轨迹为E (1)求E的方程； (2)直线l过点F与曲线E交于点M,N,点Q满足MQ=9QF,当直线OQ斜率最大时，求点 N的坐标. 18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,AC⊥BC,M,N分别为PB,PC的中 点， (1)求证：MN∥平面ABC; (2)若PA=2,AC=m,BC=n,且AM与平面PBC所成角的正切值为√2， ①当m=2时，求三棱锥P-ABC的体积： ②求BC的最大值。 P M N A ---------------------------------B 一第3页共4页 19.(17分)已知函数f(x)=ax-e-blnx(a,b,ceR) m (1)当a=b=c=1,c=-2时，求函数f(x)的最小值； (2)当a=c=1时，若函数f)存在两个极值点，，求证：fe+fe)+号>0： (3)设a,b为函数f(x)的极值点，且a<b,若a,b,c是一个三角形的三边长，求a+b一c的 取值范围。 一第4页共4页一