精品解析：上海市杨浦高级中学2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

2026届杨浦高级中学高三上开学摸底考数学试卷 一、填空题 1. 不等式的解集为______. 2. 已知幂函数的图象经过点，求__________. 3. 已知，则______． 4. 已知，那么____________． 5. 双曲线的两条渐近线的夹角为______. 6. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______. 7. 已知点分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则的面积为__________. 8. 设圆，过原点作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程为__________． 9. 已知一组数据为4，7，2，15，8，19，21，3，78，22，47，63，33，76，83，则这组数据的第80百分位数为______． 10. 关于x的方程有两解，则实数a的取值范围是______． 11. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米．则第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系是______． 12. 平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是______. 二、单选题 13. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知集合M、P都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题的是（ ） A. B. M中至多有一个元素不属于P C. P中有不属于M的元素 D. M中有不属于P的元素 15. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（ ） A. B. C. D. 16. 在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 三、解答题 17. 在三棱锥中，平面平面，，， （1）若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 18. 已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； （1）记，则的值是多少； （2）求展开式中系数最大的项； 19. 已知，为常数． （1）若为偶函数，求的值； （2）设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 20. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. （1）求椭圆的方程； （2）过点及点的直线与椭圆交于另一点，为线段的中点，直线与直线交于点，求直线的方程； （3）设过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，直线与直线交于点，直线与椭圆交于另一点，求面积的最大值. 21. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若的极大值为，求的值； （3）当时，若，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届杨浦高级中学高三上开学摸底考数学试卷 一、填空题 1. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式变形为，然后转化为，求解即可. 【详解】，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 已知幂函数的图象经过点，求__________. 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，为常数，根据图象经过点，求出，进而求解. 【详解】设，为常数， 因为，所以，即， 所以. 故答案为：. 3. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数，求出其共轭复数，再根据复数的模长公式求出模长即可. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 4. 已知，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】由诱导公式可得，， 因此，. 故答案为：. 5. 双曲线的两条渐近线的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，即可求解. 【详解】由题意，双曲线，可得两条渐近线方程为， 设直线的倾斜角为，则，解得， 根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题. 6. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】因为是的充分不必要条件，所以对应的集合是对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等式即可. 【详解】解不等式得 记 因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以，解得. 所以的取值范围为. 7. 已知点分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆可得椭圆的左焦点，右焦点，过作倾斜角为的直线，可得直线 的方程为，设，，与椭圆的方程联立化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可求解． 【详解】由椭圆可得椭圆的左焦点、右焦点， 直线的方程为， 设，， 联立，化为， ，， 点到直线的距离 故答案为 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式，属于中档题． 8. 设圆，过原点作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵∠OPC=90°，动点P在以M(,0)为圆心，OC为直径的圆上， ∴所求点的轨迹方程为. 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程． ④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 9. 已知一组数据为4，7，2，15，8，19，21，3，78，22，47，63，33，76，83，则这组数据的第80百分位数为______． 【答案】69.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第80百分位数的定义求解. 【详解】该组数据从小到大排列为，共15个数据， 由，得这组数据的第80百分位数为． 故答案为：69.5 10. 关于x的方程有两解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用对数的运算性质把原方程转化为，再将方程转化为一元二次函数在有两个零点的问题，结合二次函数图象可得，求解即可. 【详解】由题意可得， 原方程可化为：， 即，令， 如要函数在有两个零点，则需：，解得，， 故答案为：. 11. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米．则第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，列式变形即可得解. 【详解】依题意， ，所以. 故答案为： 12. 平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设O为的重心，由重心性质化简可得，可知在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【详解】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当，，都在线段上时，等号成立， 又， 当且仅当、、在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到在以点O为圆心，为半径的圆上，由此即可利用数形结合顺利得解. 二、单选题 13. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式和概率的性质逐项判断即可. 【详解】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件， 故，故AB错误； ，故C正确； ,故D错误. 故选：C 14. 已知集合M、P都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题的是（ ） A. B. M中至多有一个元素不属于P C. P中有不属于M的元素 D. M中有不属于P的元素 【答案】D 【解析】 【分析】命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题,则命题的否定是真命题，即可得出结论. 【详解】因为命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题， 则命题的否定“存在M中的元素，不是P中的元素”是真命题, 即M中有不属于P的元素. 故选D 【点睛】本题主要考查了命题与命题的否定，命题真假的判断，属于中档题. 15. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为，即种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶，即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次， 选择出现2次的种类：种，分配位置：将4个位置中选2个给该种类，剩余2个位置分别给另外两种：种，总符合条件的情况数：种， 因此，总概率为. 故选：C． 16. 在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】在平面中过点作交于点，在平面中过作，连接、，即可证明平面，从而得到在 的边上，即可判断轨迹三角形的形状. 【详解】解：如图，在平面中过点作交于点， （当在时恰为点，当在点时点也恰为点，满足点（即）使得）， 在平面中过作，连接、， 由正方体的性质可得，平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 平面，所以，所以， ，平面，所以平面， 因为，所以，又动点在正方体表面上运动，所以在 的边上， 显然，所以，所以为等腰三角形， 又，所以不可能为直角三角形或钝角三角形； 故选：A 三、解答题 17. 在三棱锥中，平面平面，，， （1）若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为， 平面， 所以⊥平面， 体积为 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，根据面面垂直，得到线面垂直，并利用锥体体积公式求出答案； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出，进而求出二面角的大小. 【小问1详解】 因为，所以⊥，，， 故， ，由勾股定理得， 又⊥平面， 三棱锥的体积； 【小问2详解】 由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 故， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的大小为. 18. 已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67； （1）记，则的值是多少； （2）求展开式中系数最大的项； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数性质以及赋值法计算即可求出结果； （2）利用展开式通项构造不等式，根据系数最大解不等式可求出符合题意的项. 【小问1详解】 展开式末三项的二项式系数分别为 则，即； 整理可得， 解得：（舍）或， 令， 故， 故 【小问2详解】 由（1）知，则展开式通项为 设第项即为系数最大的项， 所以，整理可得， 解得； 因此系数最大的项为或． 19. 已知，为常数． （1）若为偶函数，求的值； （2）设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，可得参数值； （2）由，可得，结合对勾函数单调性可得参数范围. 【小问1详解】 由已知函数为偶函数， 则， 即恒成立， 化简可得，即， 又不恒为， 所以； 【小问2详解】 由以， 当时，， 此时， 又，则函数在上单调递减， 由在上单调递减， 所以， 解得，即. 20. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. （1）求椭圆的方程； （2）过点及点的直线与椭圆交于另一点，为线段的中点，直线与直线交于点，求直线的方程； （3）设过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，直线与直线交于点，直线与椭圆交于另一点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设，易得，结合点在椭圆上及参数关系求椭圆方程； （2）由题意求点B、N的坐标，进而确定直线，最后求Q坐标，即可得所求直线； （3）设，设直线并联立椭圆，应用韦达定理及同（2）过程求出Q纵坐标，作差法判断，最后由，结合基本不等式及点在椭圆上求最值. 【小问1详解】 由，且轴，则，即， 又，（负值舍） 所以. 【小问2详解】 由题设，直线， 联立，得， 整理得，（舍），故， 而，所以，直线， 将代入，可得，即. 所以，直线. 【小问3详解】 由题设，直线斜率必存在，令， 联立，则， 整理得， 所以，即， 设，则， 显然斜率存在，令， 将代入，可得， 所以 ， 所以，故， 故， 当且仅当时等号成立. 所以面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，设直线并联立椭圆求出相关点坐标，进而确定Q纵坐标，利用作差法及韦达定理判断是关键. 21. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若的极大值为，求的值； （3）当时，若，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解切线方程； （2）对函数求导后，由，得或，然后分，和三种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值，使极大值为可求出； （3）将问题转化为在上的值域是在的值域的子集，由（2）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，然后分，和三种情况讨论即可. 【小问1详解】 ，则， 因为，所以切点即， 所以切线为. 【小问2详解】 ， 因为，令，解得或， ①当时，即时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，不符合题意； ②当时，即时，，在上单调递增，无极大值； ③当时，即时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以极大值为，，符合题意． 综上所述，． 【小问3详解】 由题意得当时，在上的值域是在的值域的子集， 由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，， ①当时，即时，当时，单调递增，， 又因为当时，， 因为，所以当时，使得， ②当时，即时， 当时，单调递增，， 当时，， 若满足题意，只需，即， ③当时，即时， 当时，在上单调递减，上单调递增， 所以函数的最小值为， 所以， 又因为时，， 若满足题意，只需，即， 因为，所以，所以无解， 所以不合题意 综上，实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：此题第（3）问解题的关键是转化问题为当时，在上的值域是在的值域的子集，进一步转化求函数的值域问题，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $