上海市杨浦高级中学2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

2026届杨浦高级中学高三上开学摸底考数学试卷

一、填空题

1. 不等式的解集为______.

2. 已知幂函数的图象经过点，求__________.

3. 已知，则______．

4. 已知，那么____________．

5. 双曲线的两条渐近线的夹角为______.

6. 已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.

7. 已知点分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则的面积为__________.

8. 设圆，过原点作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程为__________．

9. 已知一组数据为4，7，2，15，8，19，21，3，78，22，47，63，33，76，83，则这组数据的第80百分位数为______．

10. 关于x的方程有两解，则实数a的取值范围是______．

11. 我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米．则第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系是______．

12. 平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是______.

二、单选题

13. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

14. 已知集合M、P都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题的是（    ）

A.  B. M中至多有一个元素不属于P

C. P中有不属于M的元素 D. M中有不属于P的元素

15. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（   ）

A.  B.  C.  D.

16. 在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（    ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能

三、解答题

17. 在三棱锥中，平面平面，，，

（1）若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积；

（2）求二面角的大小．

18. 已知（n为正整数）的展开式中，末三项的二项式系数的和等于67；

（1）记，则的值是多少；

（2）求展开式中系数最大的项；

19. 已知，为常数．

（1）若为偶函数，求的值；

（2）设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围．

20. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点及点的直线与椭圆交于另一点，为线段的中点，直线与直线交于点，求直线的方程；

（3）设过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，直线与直线交于点，直线与椭圆交于另一点，求面积的最大值.

21. 已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若的极大值为，求的值；

（3）当时，若，使得，求的取值范围．