微专题集训76 函数新情境素养专练-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训76　函数新情境素养专练 一、单项选择题 1．在某款计算器上计算logab时，需依次按下“log”，“(”，“a”，“，”，“b”，“)”6个键．某同学使用该计算器计算logab(a>1，b>1)时，误将“log”，“(”，“b”，“，”，“a”，“)”这6键依次按下，所得到的值是正确结果的倍，则(　　) A．2a＝b B．a2b＝1 C．a3＝b D．a3＝b2 2．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测．在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg Xn＝n lg (1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778，10-0.25≈0.562)(　　) A．22.2% B．43.8% C．56.02% D．77.8% 3．若函数f(x)在其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”．已知函数f(x)＝9x－m·3x－3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D．[－2，＋∞) 4．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一；次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”记这个人原来持金为a斤，设f(x)＝则f(a)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 5．水平放置的碗口朝上的半球形碗内，假设放入一根粗细均匀的筷子，在力的作用下，筷子在碗内及碗沿可无摩擦自由活动直到筷子处于平衡(即筷子质心G最低)．此时若经过筷子作与水平面垂直的轴截面如图，其中半圆O(表示半球碗截面)半径为1，线段AB(表示筷子)长为3，则线段AB的中点G离碗口平面距离最大时，直线AB与水平面夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 6．(2025·湖北黄冈质检)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”．则下列关于“优美函数”的说法中正确的有(　　) ①函数f(x)＝(ex＋e－x)tan x可以是某个圆的“优美函数”； ②f(x)＝3sin ＋1(x∈R)可以同时是无数个圆的“优美函数”； ③函数f(x)＝可以是无数个圆的“优美函数”； ④若函数y＝f(x)是“优美函数”，则函数y＝f(x)的图象一定是中心对称图形． A．①② B．①④ C．①②③ D．②③ 二、多项选择题 7．济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数f(x)＝，其中a>0，则下列关于悬链线函数f(x)的性质判断正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的单调递减区间为(－∞，0) D．f(x)的最大值是a 8．(2025·湖北鄂西北六校期中联考)已知函数y＝f(x)在[m，n]上的图象的两个端点分别为M(m，f(m))，N(n，f(n))，设A(a，f(a))是y＝f(x)图象上任意一点，其中a＝μm＋(1－μ)n(0<μ<1)，.若不等式k恒成立，则称函数y＝f(x)在[m，n]上为“k”函数．若函数y＝3x＋在[1，4]上为“k”函数，则下列能够满足条件的k的值有(　　) A． B．1 C． D．2 9．若以曲线y＝f(x)上任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于点M的点N(x′，y′)，使得以点N为切点作切线l′满足l∥l′，则称曲线y＝f(x)具有“可平行性”．下列各曲线具有“可平行性”的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝x3－x C．y＝sin x D．y＝(x－2)2＋ln x 三、填空题 10．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4这个生物链中，若能使H4获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为________kJ. 11．(2024·辽宁锦州第二次考试)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，锦州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为1.8 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，锦州环保部门为了保护好锦州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过0.3 mg/cm3，若要使该化工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为________．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477) 12．(基于高等数学命题)若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x都成立，则称f(x)是一个“λ～特征函数”．下列结论中所有正确结论的序号是________． ①f(x)＝0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f(x)＝2x＋1不是“λ～特征函数”；③f(x)＝x2是“λ～特征函数”；④若函数f(x)既是“1～特征函数”，又是“－1～特征函数”，则f(x)＝0. 13．定义在区间[1，＋∞)上的函数的图象是一条连续不断的曲线，f(x)在区间[2k－1，2k]上单调递增，在区间[2k，2k＋1]上单调递减，k＝1，2，….给出下列四个结论： ①若{f(2k)}为递增数列，则f(x) 存在最大值； ②若{f(2k＋1)}为递增数列，则f(x)存在最小值； ③若f(2k)f(2k＋1)>0，且f(2k)＋f(2k＋1)存在最小值，则|f(x)|存在最小值； ④若f(2k)f(2k＋1)<0，且f(2k)－f(2k＋1)存在最大值，则|f(x)|存在最大值． 其中所有错误结论的序号为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训76　函数新情境素养专练 1．C　2.D 3．D　根据“局部奇函数”的定义，知f(－x)＝－f(x)有解，即方程9－x－m·3－x－3＝－(9x－m·3x－3)有解，则9x＋9－x－m(3x＋3－x)－6＝0有解，即(3x＋3－x)2－m(3x＋3－x)－8＝0有解．设t＝3x＋3－x，则t≥2(当且仅当x＝0时，等号成立)． 原方程有解等价于t2－mt－8＝0在[2，＋∞)上有解，所以m＝t－在[2，＋∞)上有解．因为y＝t－在[2，＋∞)上单调递增，所以t－≥－2，所以m≥－2.故选D. 4．C　由题意，这个人原来持金为a斤，第一关收税金为a斤；第二关收税金为·a＝a斤；第三关收税金为·a＝a斤，以此类推可得的，第四关收税金为a斤，第五关收税金为a斤，所以a＝1，即a＝a＝1，解得a＝.又f(x)＝所以f＝f＝＝－1.故选C. 5．B　如图，记半球碗截面的左侧为点N，线段AB与半球碗截面的右侧交于点M.设直线AB与水平面的夹角为θ，线段AB的中点G离碗口平面的距离为h(θ)．因为∠NAM＝90°，MN＝2，所以AM＝2cos θ，则GM＝2cos θ－，此时h(θ)＝GM sin θ＝sin θ＝sin 2θ－sin θ，θ∈，则h′(θ)＝2cos 2θ－cos θ＝4 cos2θ－cosθ－2，令h′(θ)＝0，解得cos θ＝，因为θ∈，所以cos θ>0，所以cos θ＝，设cos θ0＝，则h′(θ)，h(θ)随θ的变化如下． θ (0，θ0) θ0 h′(θ) ＋ 0 － h(θ) 单调递增 极大值 单调递减 当θ＝θ0时，h(θ)取得最大值，所以线段AB的中点G离碗口平面距离最大时，直线AB与水平面夹角的余弦值为，故选B. 6．C　对于①：函数f(x)的定义域为，因为f(－x)＝－(e－x＋ex)tan x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)＝(ex＋e－x)·tan x可以是单位圆的“优美函数”，故①正确． 对于②：函数f(x)＝3sin ＋1，令2x－＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数f(x)＝3sin ＋1图象的对称中心为，k∈Z，所以以，k∈Z为圆心，R为半径的圆都能被函数f(x)＝3sin ＋1(x∈R)的图象平分，即f(x)＝3sin ＋1(x∈R)可以同时是无数个圆的“优美函数”，故②正确． 对于③：f(x)＝＋1，x∈R，令g(x)＝，因为g(－x)＝＝－g(x)，x∈R，所以函数g(x)为奇函数．又函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向上平移一个单位长度得到的，所以函数f(x)图象的对称中心为(0，1)，所以以(0，1)为圆心，R(R>0)为半径的圆都能被函数f(x)＝的图象平分，即函数f(x)＝ 可以是无数个圆的“优美函数”，故③正确． 对于④：若y＝f(x)的图象是中心对称图形，则此函数一定是“优美函数”，但“优美函数”的图象不一定是中心对称图形，如图所示，故④错误．故选C. 7．AC　由题知函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，故A正确，B错误；又f′(x)＝在R上单调递增，且f′(0)＝0，则当x>0时，则f′(x)>0，当x<0时，则f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，故C正确；由C知f(x)≥f(0)＝a，即f(x)的最小值是a，故D错误．故选AC. 8．BCD　由题意得A，M(1，7)，N(4，13)，则直线MN的方程为y＝2x＋5，a＝μ＋4(1－μ)＝4－3μ.由，得点B在线段MN上(除M，N)，且4－xB＝μ(4－1)，得xB＝4－3μ＝a，所以A，B两点横坐标相同，则＝＝.因为0<μ<1，所以a＝4－3μ∈(1，4)．设h(a)＝a＋－5，由对勾函数性质知，h(a)在(1，2)上为减函数，在(2，4)上为增函数，且h(1)＝0，h(4)＝0，h(2)＝－1，所以当a∈(1，4)时，h(a)∈[－1，0)，则＝1.因为不等式k恒成立，所以k≥1，即k的取值范围是[1，＋∞)，故选BCD. 9．AC　由题意得，曲线具有“可平行性”的充要条件是关于x的方程y′＝a(a是导数值)至少有两个根．对于A，y′＝1－＝a(x≠0，a＜1)，即x2＝，因为＞0，所以此方程有两个不同的根，A符合题意；对于B，y′＝3x2－1＝a，当a＝－1时，方程只有一个根x＝0，B不符合题意；对于C，由y′＝cos x和三角函数的周期性知，cos x＝a(－1a1)的解有无穷多个，C符合题意； 对于D，y′＝2x－4＋(x＞0)，令2x－4＋＝a，则有2x2－(4＋a)x＋1＝0，当Δ＝0时，方程只有一个根，D不符合题意．故选AC. 10．解析：由题意，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，若能使H4获得10 kJ的能量，则需要H3提供＝100 kJ的能量，需要H2提供＝1000 kJ的能量，需要H1提供＝10 000 kJ＝104 kJ的能量． 答案：104 11．解析：法一：设该污染物排放前需要过滤的次数为n(n∈N*)，则由题意得1.8×(1－20%)n0.3，即n≥6，所以lg n≥lg 6，n lg ≥lg 2＋lg 3，n(1－3lg 2)≥lg 2＋lg 3，所以n≥.因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以＝7.77， 所以n≥7.77.因为n∈N*，所以n的最小值为8. 法二：设该污染物排放前需要过滤的次数为n(n∈N*)，则由题意得1.8×(1－20%)n0.3，即n≥6，可以让n从1开始检验，寻找满足n≥6的第一个最小的n的值．可借助二项展开式n＝＋＋2＋…＋n，经验证n的最小值为8. 答案：8 12．解析：对于①，设f(x)＝1，则函数f(x)＝1是“－1～特征函数”， 所以f(x)＝0不是常数函数中唯一的“λ～特征函数”，所以①不正确． 对于②，若f(x＋λ)＋λf(x)＝2(x＋λ)＋1＋λ(2x＋1)＝0对任意的实数x都成立，则2(λ＋1)x＝－3λ－1对任意的实数x都成立， 所以2(λ＋1)＝－3λ－1＝0，无解，所以不存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意的实数x都成立，所以函数f(x)＝2x＋1不是“λ～特征函数”，所以②正确． 对于③，若f(x＋λ)＋λf(x)＝(x＋λ)2＋λx2＝0对任意的实数x都成立，则(1＋λ)x2＋2λx＋λ2＝0对任意的实数x都成立，则1＋λ＝2λ＝λ2＝0，无解，所以函数f(x)＝x2不是“λ～特征函数”，所以③不正确． 对于④，若函数f(x)既是“1～特征函数”，又是“－1～特征函数”，则f(x＋1)＋f(x)＝0，且f(x－1)－f(x)＝0，由f(x－1)＝f(x)得f(x)＝f(x＋1)，所以f(x)＝－f(x)，则f(x)＝0，所以④正确．故填②④. 答案：②④ 13．解析：①由条件可知，函数f(x)在区间[2k－1，2k]上单调递增，在区间[2k，2k＋1]上单调递减，k＝1，2，…，那么在区间[2k－1，2k＋1]上，函数的最大值是f(2k)．若数列{f(2k)}为递增数列，则函数f(x)不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数f(x)在区间[2k－1，2k]上单调递增，在区间[2k，2k＋1]上单调递减，若{f(2k＋1)}为递增数列，那么在区间[2k－1，2k＋1]的最小值是f(2k－1)，且{f(2k＋1)}为递增数列，所以函数f(x)在区间[1，＋∞)的最小值是f(1)，故②正确；③若f(2k)f(2k＋1)>0，取k∈N*，则f(2k)＋f(2k＋1)＝2k，存在最小值，但此时|f(x)|的最小值是|f(2k＋1)|＝的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若f(2k)f(2k＋1)<0，取则f(2k)－f(2k＋1)＝2恒成立，则f(2k)－f(2k＋1)有最大值，但|f(x)|的最大值是|f(2k)|＝2－的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误．故答案为①③④. 答案：①③④ 学科网（北京）股份有限公司 $