微专题集训65 三角函数与解三角形(选择题&填空题压轴)-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

第二部分　高频难点提升练 微专题集训65　三角函数与解三角形(选择题&填空题压轴) 1．A　2.C 3．B　∵，∴2c cos A－b cos A＝a cos B，由正弦定理可得2sin C cos A－sin B cos A＝sin A cos B，可得2sin C cos A＝sin A cos B＋sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin C，∵sin C≠0，∴cos A＝.由余弦定理可得12＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，又sin A＝，∴S△ABC＝bc sinA，因此，当b＝2时，△ABC的面积取得最大值3.故选B. 4．D　函数f(x)的周期T＝，由点C是f(x)图象的一个对称中心，得C为BD的中点，即有，于是＝·＝·＝|PC|2－|BC|2. 如图，连接PC，过点P作PE⊥x轴于点E，则|PE|＝A＝＝2＝. 由k≥4，得点B不会超过点C右侧的第一个最高点，则|BC|2，因此＝|PC|2－|BC|2≥＝8，所以ω＝.故选D. 5．B　由题意得f(x)＝2cos2x－sin2x＝cos 2x－sin 2x＋1＝2cos ＋1.由f(A)＝2cos ＋1＝－1得cos ＝－1，又0<A<π，即<2A＋<，所以2A＋＝π，所以A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－3bc，又bc2，当且仅当b＝c时取等号，所以a2＝(b＋c)2－3bc≥，又a＝，所以6，得b＋c2.又a<b＋c，所以2<a＋b＋c3，故选B. 6．D　f(x)＝m sin x＋n cos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝，∵f(x)在x＝处取得最大值2，∴(m＋n)＝，解得m＝n＝2，∴函数f(x)＝2sin x＋2cos x＝2sin .将f(x)的图象向左平移h(h>0)个单位长度后得到函数y＝2sin 的图象．由题知k＝2，且h＋＝2tπ，t∈Z，则h的最小值为，故k＋h的最小值为2，故选D. 7．B　设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为T.由题意，得T＝，所以ω＝2.因为f＝0，所以tan ＝0，所以φ＝kπ－(k∈Z)．又0＜，所以k＝0，φ＝－，所以f(x)＝.所以方程tan ＝sin ，即＝sin ，则sin ＝0，得＝0或cos ＝1.当x∈[0，π]时，2x－∈.当sin ＝0时，2x－＝0或2x－＝π，得x＝或x＝.当cos ＝1时，2x－＝0，得x＝.所以所有解的和为.故选B. 8．D　f(x)＝sin ωx－sin ωx＋cos ωx＝sin ，∵π<x<2π，0<ω<1，∴ωπ<ωx<2ωπ，ωπ＋<ωx＋<2ωπ＋. 函数f(x)在区间(π，2π)上没有零点，分两种情况讨论： ①(，2ωπ＋)⊆(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z，则k∈Z，则k∈Z，取k＝0， ∵0<ω<1，∴0<ω； ②(，2ωπ＋)⊆(2kπ＋π，2kπ＋2π)，k∈Z，则k∈Z，则k∈Z，取k＝0，得.综上，ω的取值范围是∪，故选D. 9．AB　设△ABC的面积为S.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A．因为a2＋b2＋c2＝8，所以2bc cos A＝8－2a2，即bc cos A＝4－a2.由2S＝bc sin A，两式平方后相加可得b2c2＝(4－a2)2＋4S2.由基本不等式，得b2c22＝2，所以(4－a2)2＋4S22，所以4S22－(4－a2)2＝－2＋，所以S2，即S，当且仅当a2＝b2＝c2＝时等号成立．故选A、B. 10．BCD　由题知直线x＝为函数f(x)图象的对称轴， 所以f(0)＝f，故选项B正确． 由题知整理得 解得ω＝1＋2k(k∈Z)，故选项C正确． 因为f(x)在上单调，所以－，得ω8.当 ω＝1时，f(x)＝sin (x＋φ)，因为＝0，所以φ＝，即f(x)＝sin ，此时f(x)在上单调递增，但f(x)不是偶函数；当ω＝3时，f(x)＝sin (3x＋φ)，因为f＝0，所以φ＝，即f(x)＝sin ，此时f(x)在上单调递增，但f(x)不是偶函数；当ω＝5时，f(x)＝sin (5x＋φ)，因为＝0，所以φ＝－，即f(x)＝sin ，此时f(x)在上不单调，故ω＝5不合题意；当ω＝7时，f(x)＝sin (7x＋φ)，因为f＝0，所以φ＝－，即f(x)＝sin ，此时f(x)在上不单调，故ω＝7不合题意．综上，选项A错误，选项D正确．故选BCD. 11．ABD　由题意得在锐角△ABC中，c－b＝2b cos A，∴由正弦定理可得sin C－sin B＝2sin B cos A，又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，故sin A cos B＋cos A sin B－sin B＝2sin B cos A，即sin A cos B－sin B cos A＝sin B，∴sin (A－B)＝sin B．∵A，B，C为锐角，∴A－B∈，∴A－B＝B，即A＝2B，故A正确；在锐角△ABC中，0<A＝2B<，0<π－3B<，∴<B<，故B正确；＝2cos B∈，故C错误；2sin A＋＝2sin A＋＋2sin A＝＋2sin A，又<A＝2B<，∴<sin A<1，令t＝sin A，则<t<1，令f(t)＝＋2t，则f(t)＝＋2t在<t<1时单调递增，所以<f(t)<＋2×1＝3，故2sin A＋＋2sin A∈，故D正确． 12．ABD　f(x)＝2cos －2sin 2ωx＝ cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin .结合图象可得f＝2，即2sin ＝2，所以＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋6k(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，因此f(x)＝2sin .由题意知g(x)＝2sin ＝2cos x，根据周期公式可得函数f(x)的最小正周期T＝＝2π，所以选项A正确；假设存在点P满足题意，设切点为P(x0，y0)，因为g′(x)＝－2sin x，所以在P(x0，y0)处的切线的斜率k＝g′(x0)＝－2sin x0，又与直线x－2y＋1＝0垂直，所以－2sin x0＝－2，得x0＝＋2kπ(k∈Z)，假设成立，所以选项B正确；y＝g(x)·sin x＝2cos x sin x＝sin 2x，其图象的对称轴为直线2x＝＋kπ(k∈Z)，即对称轴为直线x＝kπ(k∈Z)，所以选项C不正确；g＝2cos ，根据余弦函数的单调递减区间，可得2kπ2x＋π＋2kπ(k∈Z)，即－＋kπx＋kπ(k∈Z)，所以选项D正确．故选ABD. 13．解析：由正弦定理及a2－b2＝c2可得sin2A－sin2B＝sin2C， 又C＝，所以sinC＝，B＝π－A－C＝－A， sin B＝sin ＝sin cos A－cos sin A＝cos A＋sin A，所以sin2B＝cosA＋2＝(cos2A＋2sinA cos A＋sin2A)， 所以sin2A－(cos2A＋2sinA cos A＋sin2A)＝2， 即－cos2A－sin 2A＝，所以sin ＝－1， 因为0<A<，所以<2A＋<，故2A＋，故A＝. 答案： 14．解析：因为c＝3，a sin B＝，所以S△ABC＝ac sin B＝，又S△ABC＝bc sin A＝，所以b×3×sin ，得b＝2.令＝x，0x1，则AD＝3x，CE＝2x，AE＝2－2x，在△ADE中，由余弦定理得DE2＝AD2＋AE2－2AD·AE cos ＝19x2－14x＋4，0x1，易知当x＝－∈[0，1]时，DE2取得最小值，所以DE的最小值为. 答案： 15．解析：∵a sin (A＋C)＝b sin ， ∴b sin ＝a sin (π－B)，即b cos ＝a sin B， 由正弦定理可得sin B cos ＝sin A sin B，又sin B>0， ∴cos ＝sin A，∴cos ＝2sin cos . ∵A∈(0，π)，∴∈，cos >0， ∴sin ，∴，∴A＝. 设△ABC内切圆的半径为r， ∵△ABC内切圆的面积为4π，∴πr2＝4π，解得r＝2， ∴S△ABC＝bc sin ×2(a＋b＋c)， 即a＋b＋c＝bc. 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos ≥2bc－bc＝bc， 当且仅当b＝c时取等号，∴a≥，∴，解得bc≥48，当且仅当a＝b＝c＝4时取等号，∴△ABC周长的最小值为. 答案：12 16．解析：因为函数f(x)两相邻零点之间的距离小于π，所以<π，即<π，解得ω>1.又f(x)＝sin ωx＋m cos ωx＝sin (ωx＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，因为x＝为函数f(x)的极大值点，所以＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3－＋12k，k∈Z.因为f＝，所以sin ＝sin (π－φ＋4kπ)＝sin φ＝，k∈Z，即，所以m＝.所以cos φ＝，sin φ＝，则φ＝＋2nπ，n∈Z，所以ω＝3－＋12k＝1＋12(k－n)，k∈Z，n∈Z，又ω>1，所以ωmin＝13. 答案：13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二部分　高频难点提升练 微专题集训65　三角函数与解三角形(选择题&填空题压轴) 一、单项选择题 1．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．已知ab cos (A－B)＝a2＋b2－c2，tan A＝2，a＝，则b＝(　　) A． B． C．或 D． 2．已知函数f(x)＝2·cos cos x－2sin2x.若f(x)在区间上单调递减，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C． D． 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则当△ABC的面积取得最大值时，b＝(　　) A． B．2 C．3 D．4 4．(2024·重庆南开中学质量检测)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图，其中A＝，点C是f(x)图象的一个对称中心，点P在C左侧的图象上，是与C相邻的最高点，直线l经过点C且与f(x)图象交于B，D两点，已知直线l的斜率k≥4，若的最小值为8，则ω＝(　　) A． B． C． D． 5．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c ，角A满足f(A)＝－1，若a＝，则△ABC的周长的取值范围为(　　) A． B． C． D． 6．已知函数f(x)＝m sin x＋n cos x(m，n为常数，m·n≠0，x∈R)在x＝处取得最大值2，将 f(x)的图象向左平移h(h>0)个单位长度后得到的图象与函数y＝k sin x(k>0)的图象重合，则k＋h的最小值为(　　) A． B． C． D． 7．函数f(x)＝tan (ωx＋φ)某相邻两支图象与坐标轴分别交于点A，则方程f(x)＝sin ，x∈[0，π]所有解的和为(　　) A． B． C． D．π 8．已知函数f(x)＝cos2sinωx－(0<ω<1，x∈R)．若函数f(x)在区间(π，2π)上没有零点，则ω的取值范围是(　　) A． B．∪ C． D．∪ 二、多项选择题 9．(2025·江苏淮安模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2＋b2＋c2＝8，则三角形的面积可能为(　　) A． B． C． D． 10．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(其中ω>0，)，f＝0，f(x)上单调，则下列说法正确的是(　　) A．存在φ，使得f(x)是偶函数 B．f(0)＝f C．ω是奇数 D．ω的最大值为3 11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b ，c，且c－b＝2b cos A，则下列结论正确的有(　　) A．A＝2B B．B∈ C．的取值范围为 D．2sin A＋的取值范围为 12．函数f(x)＝2cos －2sin 2ωx(0<ω<1)的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数g(x)的图象上存在点P，使得在点P处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直 C．函数y＝g(x)·sin x的图象关于直线x＝对称 D．函数g在上单调递减 三、填空题 13．(2025·江苏南京模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝，则A＝________． 14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，c＝3，a sin B＝.D，E分别为线段AB，AC上的动点，，则DE的最小值为________． 15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a sin (A＋C)＝b sin ，且△ABC内切圆的面积为4π，则△ABC周长的最小值是________． 16．辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中a≠0，b∈R，tan φ＝.已知函数f(x)＝sin ωx＋m cos ωx(m>0，ω>0)的图象的两相邻零点之间的距离小于π，x＝为函数f(x)的极大值点，且＝，则实数ω的最小值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $