微专题集训57 两个基本计数原理、排列与组合-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训57　两个基本计数原理、排列与组合 一、单项选择题 1．把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有(　　) A．4种 B．6种 C．21种 D．35种 2．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有(　　) A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 3．(2025·江苏南通如皋中学阶段考试)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个四位数为(　　) A．2301 B．2304 C．2305 D．2310 4．某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F 6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有(　　) A．240种 B．180种 C．120种 D．150种 5．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖．若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有(　　) A．432种 B．420种 C．176种 D．72种 6．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某学习小组有甲、乙、丙、丁4人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为(　　) A．1560 B．2160 C．2640 D．4140 二、多项选择题 7．身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则下列说法正确的是(　　) A．A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与C同学不相邻，共有种站法 C．A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，C不在排尾，共有＋种站法 8．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　) A．若每人都安排一项工作，则不同的安排方法数为45 B．若每项工作至少有1人参加(每个人都被安排)，则不同的安排方法数为 C．每项工作至少有1人参加(每个人都被安排)，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法数为＋ D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为＋ 三、填空题 9．某校从8名教师中选派4名教师去4个偏远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是________．(用数字作答) 10．(2024·哈尔滨六中检测)学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力．现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给图中的小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有________种不同的涂色方法． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训57　两个基本计数原理、排列与组合 1．B　2.C 3．A　首位为1的有＝60(个)，前两位为20的有＝12(个)，前两位为21的有＝12(个)，所以第85个数字是前两位为23的最小数，即2301.故选A. 4．A　6位同学参加接力赛跑，D和F的顺序不能相邻，先排其他四人，顺序数有种，再将D和F进行插空，则共有种顺序，在所有符合条件的顺序中，A要安排在B之前与A要安排在B之后的数量一样多，所以符合要求的安排共有＝240(种)．故选A. 5．A　第1步，将高一年级的2名同学、高二年级的3名同学、高三年级的3名同学分别看成一个整体，即3个元素任意排成一排有种排法；第2步，将高一年级的2名同学、高二年级的3名同学、高三年级的3名同学分别每个小集体的内部任意排列，分别有种排法，所以共有＝432(种)排法，故选A. 6．A　6种算法资料，不重不漏分给4个人，可分为2种情况，①一人收集3种算法资料，其余3人各收集一种算法资料，分配方案有＝480(种)；②有2人各收集2本算法资料，其余2人各收集一本算法资料，分配方案有＝1080(种)，所以共有480＋1080＝1560(种)分配方案． 7．ABD　对于A，6个人全排列有种方法，A，C，D全排列有种方法，所以A，C，D从左到右按高到矮的排列有＝120(种)方法，故A正确；对于B，先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，所以共有种方法，故B正确；对于C，A，C，D必须排在一起且A在C，D中间的排法有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有种方法，所以共有＝48(种)方法，故C错误；对于D，6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当C在排尾时，有方法，当A在排头且C在排尾时，有种方法，所以A不在排头，C不在排尾的情况共有＋种，故D正确．故选ABD. 8．AC　对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则共有45种安排方法，故A正确； 对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，则共有种安排方法，故B错误； 对于C，分2种情况讨论；①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则共有＋种安排方法，故C正确； 对于D，先将5人分成3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则共有种安排方法，故D错误． 9．解析：分为两步，第一步，先选4名教师，第一步又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有＝10(种)不同的选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有＝15(种)不同的选法．所以选4名教师，不同的选法有10＋15＝25(种)．第二步，4名教师去4个偏远地区支教，有＝24(种)分配方法．所以不同的选派方案的种数是25×24＝600. 答案：600 10．解析：可分四类：第一类，当选择两种颜色时，因为橄榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有－1＝5(种)选法，因此不同的涂色方法有5×2＝10(种)；第二类，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中时，有2种选法，因此不同的涂色方法有2×2×2＝8(种)；第三类，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中时，有2种选法，因此不同的涂色方法有2×3×2×(2＋1)＝36(种)；第四类，当选择四种颜色时，不同的涂色方法有2×2×2＋2×2＝12(种)．所以共有10＋8＋36＋12＝66(种)不同的涂色方法． 答案：66 学科网（北京）股份有限公司 $