微专题集训47 直线和圆的方程-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

第七单元　解析几何 微专题集训47　直线和圆的方程 一、单项选择题 1．已知直线mx－3y＝0的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的两倍，则m＝(　　) A．－3 B．－ C． D．3 2．直线l1：ax＋(a＋1)y－1＝0，l2：(a＋1)x－2y＋3＝0，则“a＝2”是“l1⊥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x＋2)2＋y2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－2)2＝1 4．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y－4＝0 5．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 6．(2025·河北石家庄二十八中模拟)过点A(－1，1)，B(3，－3)，半径最小的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋1)2＝8 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝8 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝32 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝32 7．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 8．(2024·江苏省苏锡常镇四市教学情况调研)莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－4)，则该三角形的Lemoine线的方程为(　　) A．2x－3y－2＝0 B．2x＋3y－8＝0 C．3x＋2y－22＝0 D．2x－3y－32＝0 二、多项选择题 9．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是(　　) A．(2，0) B．(0，2) C．(－2，0) D．(0，－2) 10．一束光线沿着直线y＝－3x＋3a2－4a－2射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝－射出，则实数a可以为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 11．已知直线l的方程为(a2－1)x－2ay＋2a2＋2＝0，a∈R，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　　) A．若|OP|2，则点P一定不在直线l上 B．若点P在直线l上，则|OP|≥2 C．直线l上存在定点P D．存在无数个点P不在直线l上 12．下列结论正确的是(　　) A．若点A(1，2)在圆C：x2＋y2＋mx－2y＋2＝0外，则实数m的取值范围为(－3，＋∞) B．光线由点P(2，3)射到x轴上，反射后过点Q(1，1)，则反射光线所在直线方程是4x＋y－5＝0 C．点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)在同一个圆上 D．若圆x2－2x＋y2＝0与圆M关于直线x＋y＝0对称，则圆M的方程为x2＋y2＋2y＝0 三、填空题 13．(2025·上海宝山模拟)已知在△ABC中，B(1，4)，C(6，3)，∠BAC的平分线所在直线的方程为x－y＋1＝0，则A点的坐标为________． 14．已知函数f(x)＝ex－e2-x，所有满足f(a)＋f(b)＝0的点(a，b)中，有且只有一个在圆C上，则圆C的标准方程可以是________．(写出一个满足条件的圆的标准方程即可) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元　解析几何 微专题集训47　直线和圆的方程 1．A　直线y＝x＋1的斜率为，则其倾斜角为.因为直线mx－3y＝0的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的两倍，所以直线mx－3y＝0的倾斜角为，所以直线mx－3y＝0的斜率为－，解得m＝－3.故选A. 2．A 3．A　设圆的圆心为(a，0)，则＝1，解得a＝2，所以圆的标准方程是(x－2)2＋y2＝1.故选A. 4．A　设P(x，y)为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，且该对称点在直线x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.故选A. 5．B　由得即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1. 6．A　过点A(－1，1)，B(3，－3)且半径最小的圆，即以AB为直径的圆，则圆心为线段AB的中点(1，－1)，半径为，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝8.故选A. 7．A　设圆心为C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A. 8．B　设该三角形的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得 解得所以该圆的方程为x2＋y2＋3y－4＝0， 即x2＋2＝.如图，不妨设A(0，1)，B(2，0)，C(0，－4)，易知该圆在A处的切线方程为y＝1，在C处的切线方程为y＝－4，直线BC的方程为＝1，令y＝1得x＝，所以.直线AB的方程为＋y＝1，令y＝－4得x＝10，所以R(10，－4)．所以该三角形的Lemoine线的方程为，即2x＋3y－8＝0，故选B. 9．AD　设C(x，y)，线段AB的垂直平分线方程为y＝－x，△ABC的外心为欧拉线x－y＋2＝0与直线y＝－x的交点M(－1，1)，∴|MC|＝|MA|＝，∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10　①，由A(－4，0)，B(0，4)，△ABC的重心为，代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x－y－2＝0　②，由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2.故选AD. 10．AD　由题知，直线y＝－3x＋3a2－4a－2与直线y＝－关于直线x＋y＝0对称．在直线y＝－上任意取一点A(x0，y0)，其关于直线x＋y＝0对称的点为(－y0，－x0)， 则整理得3a2－4a－4＝0，解得a＝－或a＝2，故选AD. 11．BD　坐标原点O到直线l的距离为＝2，所以l与圆x2＋y2＝4相切．对于A，当点P为l与圆x2＋y2＝4的切点时，满足|OP|2，但点P在直线l上，故A不正确；对于B，若点P在直线l上，则|OP|≥2，故B正确；对于C，直线l的方程可化为(x＋2)a2－2ya－x＋2＝0，若直线l过定点，则无解，所以直线l上不存在定点，故C不正确；对于D，由上述分析可知，圆x2＋y2＝4内(不含边界)的所有点都不在直线l上，故D正确．综上所述，选BD. 12．BD　因为圆C的方程为x2＋y2＋mx－2y＋2＝0，所以m2＋(－2)2－4×2>0，所以m>2或m<－2，又点A(1，2)在圆C：x2＋y2＋mx－2y＋2＝0外，所以12＋22＋m×1－2×2＋2>0，解得m>－3，所以－3<m<－2或m>2，故A错误； 设点P(2，3)关于x轴的对称点为点T，则点T的坐标为(2，－3)，由光学性质可得点T(2，－3)，Q(1，1)都在反射光线上，所以反射光线所在直线的斜率k＝＝－4，所以反射光线所在直线的方程为y－1＝－4(x－1)，即4x＋y－5＝0，故B正确； 设过点(0，0)，(4，0)，(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0， 由已知可得解方程可得 所以过点(0，0)，(4，0)，(4，2)的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，将点(－1，1)代入得(－1)2＋12－4×(－1)－2×1＝4>0，所以点(－1，1)在圆x2＋y2－4x－2y＝0外，所以点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)不在同一个圆上，故C错误； 设圆x2－2x＋y2＝0的圆心为N，半径为r，由已知得N的坐标为(1，0)，r＝1，因为圆M与圆N关于直线x＋y＝0对称，所以点M与点N关于直线x＋y＝0对称，且圆M的半径为1，设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，由已知可得×(－1)＝－1，且＝0，所以a＝0，b＝－1，所以圆M的方程为x2＋(y＋1)2＝1，即x2＋y2＋2y＝0，故D正确． 13．解析：设B(1，4)关于直线x－y＋1＝0的对称点为B′(a，b)，则解得 ∴B′(3，2)，又C(6，3)，∴直线CB′的方程为x－3y＋3＝0. 由角平分线以及对称可知B′(3，2)一定在直线AC上， 由解得∴A(0，1)． 答案：(0，1) 14．解析：f(x)＝ex－e2-x＝，由f(a)＋f(b)＝0，得＝0，整理得(ea＋b－e2)(ea＋eb)＝0，∴ea＋b－e2＝0，a＋b＝2.依题意知，直线x＋y＝2与圆C相切，可取圆C的圆心为坐标原点(0，0)，则圆C的半径r＝，故圆C的方程为x2＋y2＝2. 答案：x2＋y2＝2(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $