课时分层检测(五十一) 空间直线、平面的垂直（Word试题版）-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

**基本信息** 聚焦空间垂直关系，整合2026年多地模拟题与教材改编题，分层设计助力一轮复习知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单项选择|6|线面垂直判定与性质、面面垂直、圆锥线面角、折叠问题|基础概念辨析，结合反例与几何模型| |多项选择|2|圆柱线面关系、折叠四面体（萨默维尔四面体）|多结论判断，综合空间想象与逻辑推理| |填空|2|三角形外心/垂心判定、空间四边形距离计算|教材改编题，空间垂直与平面几何结合| |解答|2|斜三棱柱面面垂直证明、三棱柱线面垂直探究|综合应用，含动态问题与存在性探究，匹配高考命题趋势|

课时分层检测（五十一） 空间直线、平面的垂直 知识过关 一、单项选择题 1. 下列命题正确的是（ ） A. 如果直线不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于直线 B. 如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线平行于平面 C. 如果直线垂直于平面，那么平面内一定不存在直线平行于直线 D. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 2. 已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ， 3. 若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 如图，在斜三棱柱中，，，则点在底面上的射影必在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 内部 （2026·北京模拟） 5. 正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. （2026·泗水调研） 6. 已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥则在折叠过程中，不可能出现（ ） A. B. C. 三棱锥的体积为 D. 平面平面BCD 二、多项选择题 （2026·石家庄模拟） 7. 如图，在圆柱中，轴截面ABCD为正方形，点F是的上一点，M为BD与轴的交点．E为MB的中点，N为A在DF上的射影，且平面AMN，则下列选项正确的有（ ） A. 平面AMN B. 平面DBF C. 平面AMN D. F是的中点 （2026·云南昆明一模） 8. 如图，长方形的长为，宽为2，，，，分别为长方形四条边中点，沿，，，，折叠，使长方形的四个顶点重合于点，所得四面体称为“萨默维尔”四面体，在此四面体中，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 直线与平面所成角为 D. 平面与平面的夹角为 三、填空题 （苏教必修P187T11改编） 9. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，． （1）若，则点是的______心． （2）若，，，垂足都为，则点是的______心． 10. 如图所示，在空间四边形中，是中点，且，若二面角的大小为，则点到点的距离为______. 四、解答题 （2026·张家口、保定模拟） 11. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面上的射影恰好是的中点，且. （1）求证：平面平面； （2）求证：. 素养提升 12. 如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． （1）证明：平面； （2）设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 课时分层检测（五十一） 空间直线、平面的垂直 知识过关 一、单项选择题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可判断ABD，由线面垂直的性质定理可判断C. 【详解】对于A，如图直线平面，直线平面，但直线直线，故A错误； 对于B，如果平面垂直于平面，那么平面内存在直线平行于平面， 如图，直线平面，平面平面，可得平面平面，故B错误； 对于C，如果直线垂直于平面，那么直线垂直平面内所有直线， 故C正确； 对于D，如果平面平面，那么平面内存在直线不垂直于平面， 如图， 平面平面，直线平面，可得平面平面，故D错误. 故选： C正确． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误； 对于B，若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 因此相交，不一定垂直，B错误； 对于C，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误； 对于D，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 又，于是，因此，D正确. 故选：D 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得圆锥母线，底面半径和高的关系，再根据线面角的正切值，即可求解. 【详解】设该圆锥的底面圆半径和母线长分别为，母线与底面所成角为，由题意可得， 由勾股定理可得圆锥的高，所以圆锥的母线与底面所成角的正切值． 故选：A 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，得到平面平面，从而得到点在底面上的射影的位置. 【详解】连接，如图所示. ∵， ∴. ∵，，平面， ∴平面. 又平面， ∴平面平面. 又∵平面平面， ∴点在底面上的射影必在直线上. 故选：C （2026·北京模拟） 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，得到为二面角的平面角，所以，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案. 【详解】连接，相交于点，则为正方形的中心， 故⊥底面， 取的中点，连接，则，， 故为二面角的平面角，所以， 故， 所以该四棱锥的体积为. 故选：D （2026·泗水调研） 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由线面垂直的性质定理即可判断AB，由三棱锥的体积公式即可判断C，由二面角的定义即可判断D. 【详解】对于A，若，因为，面ABC，所以，而，即直角边长与斜边长相等，显然不对，故A错； 对于B，取BD中点O，因为，AO 所以面AOC，所以，故B对； 对于C，当折叠所成的二面角时，顶点A到底面BCD的距离为，此时 ，故C对； 对于D，当沿对角线折叠成直二面角时，有平面平面，故D对； 故选:A 二、多项选择题 （2026·石家庄模拟） 【7题答案】 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面关系即可判断A；利用线面垂直的判断定理和性质定理，即可判断BC；利用图形，结合垂直关系和平行关系的转化，即可判断D. 【详解】A.由题意可知，点是的中点，所以点三点共线， 所以点平面，所以平面， 则直线与平面不平行，故A错误； B.因为平面，平面，所以， 且，，且平面， 所以平面，且平面， 且平面平面， 因为，所以平面，故B正确； C.由平面，平面，所以， 因为轴截面ABCD为正方形，点是的中点，所以， ，且平面，所以平面，故C正确； D. 平面，平面，所以，且点是的中点， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以，且是的中点， 所以，且,所以， 则，点F是的中点，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查线线，线面，面面的位置关系，本题的关键是能从几何体中抽象出线线，线面的位置关系，以及根据几何图形的性质，转化几何关系. （2026·云南昆明一模） 【8题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，平面，即可求解AB，结合线面角以及面面角的几何角，利用三角形的边角关系即可求解CD. 【详解】对于A，由题意可得，，， 由题意可知是的中点，连接， 又，，所以，， 平面，故平面， 平面，故，A正确， 对于C，由于，， 则，所以， 又，平面，所以平面， 故为直线与平面所成角，，故，故C正确， 对于D，过作于，连接， 由于平面，平面，故， 又平面，故平面， 因平面，故， 故为平面与平面的夹角， 由等面积法可得， 又，故，故，D正确， 对于B，由于平面，而平面，且与平面不平行， 故平面与平面不垂直，故B错误 故选：ACD 三、填空题 （苏教必修P187T11改编） 【9题答案】 【答案】 ①. 外 ②. 垂 【解析】 【分析】本题考查空间中直线与平面垂直的性质，以及三角形 “外心”“垂心” 的定义，核心是将空间垂直关系转化为平面内的线段相等或垂直关系， 结合三角形特殊点的定义求解. 【详解】（1）已知，所以, 在中,为公共边， 所以，故， 所以是的外心． 故答案为：外. （2）因为且, 可得,从而,且平面， 所以，从而平面， 所以． 同理． 所以为的垂心． 故答案为：垂. 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，证得，得到为二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为且为的中点，所以， 所以为二面角的平面角，可得， 在中，因为，且， 可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 （2026·张家口、保定模拟） 【11题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设的中点为，得到平面，证得，再由，利用线面垂直的判定定理证得平面，进而证得平面平面； （2）连接，得到，根据，证得，利用线面垂直判定定理证得平面，进而证得. 【小问1详解】 证明：设的中点为， 因为点在底面上的射影恰好时点，所以平面， 又因为平面，所以， 又由且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 证明：连接，因为平面，且平面，所以， 在斜三棱柱中，因为， 所以四边形为菱形，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 素养提升 【12题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明平面，平面，从而得到平面平面，即可得证； （2）连接，不妨设，依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，要使平面，只需即可，再由勾股定理计算可得. 【小问1详解】 取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； 【小问2详解】 连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $