微专题集训33 等差数列-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

第五单元　数列 微专题集训33　等差数列 1．D　由题意得a4＋a8＝2a6＝26，解得a6＝13，所以S7＝＝63.故选D. 2．A 3．B　设等差数列{an}与{bn}的公差分别为d1，d2，则由题意，得a1＋9d1＋b1＋9d2＝3＋9d1＋9d2＝39，所以d1＋d2＝4，所以数列{an＋bn}的前50项和S50＝(a1＋a2＋…＋a50)＋(b1＋b2＋…＋b50)＝50×1＋×d2＝150＋25×49(d1＋d2)＝150＋25×49×4＝5050，故选B. 4．D　数列{an}，{bn}都是等差数列，由等差数列的性质可得，所以. 5．C　因为“数列{bn}的前n项和为Tn＝An2＋Bn的形式”是“数列{bn}为等差数列”的充要条件，所以若数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋2n＋a，则“a＝0”是“数列{an}为等差数列”的充要条件，故选C. 6．C　因为等差数列{an}的前n项和有最大值，所以等差数列{an}为递减数列，又<－1，所以a9>0，a10<0，所以a9＋a10<0，又S18＝＝9(a9＋a10)<0，且S17＝＝17a9>0.故使得Sn>0成立的正整数n的最大值为17. 7．BCD　等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝21，所以3a2＝21，解得a2＝7，又S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝25，所以a3＝5，所以公差d＝a3－a2＝－2，a1＝9，所以an＝9－2×(n－1)＝－2n＋11，Sn＝9n＋＝－n2＋10n，A错误，B正确； 令an＝－2n＋11＝0，得n＝，所以a5>0，a6<0，Sn的最大值是S5，C正确； 因为，所以的前10项和为＝－＝－，D正确．故选BCD. 8．ABD　因为Sn＝n·100＋·(－3)＝－n，所以，所以是公差为－的等差数列，故A正确． 因为y＝－x图象的对称轴为直线x＝，而离对称轴最近的整数为34，所以当n＝34时，Sn取得最大值，故B正确． 因为y＝－x图象的对称轴为直线x＝，所以不可能有不同的正整数i，j使得Si＝Sj，故C错误． 因为an＝100＋(n－1)(－3)＝－3n＋103，ai＋aj＝101，所以i＋j＝35，aiaj＝(－3i＋103)(－3j＋103)＝－9i2＋315i－206. 令y＝－9x2＋315x－206，则该函数图象的对称轴为x＝，所以i＝17，j＝18时，aiaj的值最大，D正确．故选A、B、D. 9．解析：由a2<ab<a3，得a＋b<ab<a＋2b，因为a，b∈N*，所以当a＝2，b＝3时，满足上述条件，所以满足条件的数列{an}的通项公式可以是an＝2＋3(n－1)＝3n－1(答案不唯一，当a＝2，b＝4时，也满足上述条件，所以an＝4n－2也满足题中条件)． 答案：3n－1(答案不唯一，4n－2也可) 10．解析：设等差数列{an}的公差为d，则由题意可得＝a5－a3＝2d＝－6，所以d＝－3，所以S15＝＝15a8＝15(a5＋3d)＝225. 答案：225 11．解析：∵an＋bn＝1，∴bn＝1－an，∵an＋1＋bn＋1＝1，∴bn＋1＝1－an＋1，∴bn＋1＝＝1－an＋1，∴an－an＋1－anan＋1＝0，即＝1，∴是以2为首项，1为公差的等差数列，∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，，∴bn＝1－an＝1－，∴b2025＝. 答案： 12．解析：因为每个元素(不在第一列)是其正下方的数与左下方的数的差，所以第四行第五个数是20＋15＝35.若第三行对应的数列记为{an}，则an＝1＋2＋3＋…＋n＝. 答案：35　 13．解：(1)设数列{an}的公差为d，因为a1，a2，a5－1成等比数列，所以a1(a5－1)＝，即1×(1＋4d－1)＝(1＋d)2， 即4d＝(1＋d)2，解得d＝1.所以an＝n. 因为{n|kan2k，n∈N*}， 所以当k＝1时，集合{n|1n2，n∈N*}＝{1，2}， 所以该集合中元素的个数b1＝2，当k＝2时，集合{n|2n4，n∈N*}＝{2，3，4}，所以该集合中元素的个数b2＝3. (2)结合(1)知bk＝2k－k＋1， 所以b1＋b2＋…＋bn＝＋n＝2(2n－1)－. 当n＝10时，2(2n－1)－＝2001<2025， 当n＝11时，2(2n－1)－＝4039>2025， 记Tn＝b1＋b2＋…＋bn，显然数列{Tn}是递增数列， 所以所求n的最小值是11. 14．解：(1)因为Sn＋2n＝2an＋1　①， 当n＝1时，S1＋2＝a1＋2＝2a1＋1，解得a1＝1. Sn＋1＋2n+1＝2an＋1＋1　②， ②－①得Sn＋1－Sn＋(2n+1－2n)＝2an＋1－2an，得an＋1＝2an＋2n，可得，即，又. 所以数列是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)得(n－1)＝n，则an＝n·2n-1. 由Sn＋2n＝2an＋1，得Sn＝(n－1)·2n＋1. 由<S2k，得k2·22k-1<(2k－1)·22k＋1，即(k2－4k＋2)·22k-1<1. 当1k3时，k2－4k＋2<0，不等式(k2－4k＋2)·22k-1<1成立； 当k≥4时，k2－4k＋2≥2，22k-1≥27，不等式(k2－4k＋2)·22k-1<1不成立． 因为k∈N*，所以k的所有取值为1，2，3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元　数列 微专题集训33　等差数列 一、单项选择题 1．(2024·江苏南京六校联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝5，a4＋a8＝26，则S7＝(　　) A．45 B．49 C．56 D．63 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝7a1，则＝(　　) A．2 B．3 C． D． 3．已知{an}和{bn}均为等差数列，a1＝1，b1＝2，a10＋b10＝39，则数列{an＋bn}的前50项和为(　　) A．5000 B．5050 C．5100 D．5150 4．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝(　　) A． B． C． D． 5．若数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋2n＋a，则“a＝0”是“数列{an}为等差数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是(　　) A．15 B．16 C．17 D．14 二、多项选择题 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a2＋a3＝21，S5＝25，则下列说法正确的是(　　) A．an＝2n＋3 B．Sn＝－n2＋10n C．Sn的最大值为S5 D．的前10项和为－ 8．(2025·江苏镇江模拟)已知等差数列{an}中，a1＝100，公差d＝－3，前n项和为Sn，则(　　) A．数列为等差数列 B．当n＝34时，Sn取得最大值 C．存在不同的正整数i，j，使得Si＝Sj D．所有满足ai＋aj＝101(i<j)的正整数i，j中，当i＝17，j＝18时，aiaj的值最大 三、填空题 9．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b (其中a，b∈N*)，且a2<ab<a3，写出一个满足条件的数列{an}的通项公式：an＝________． 10．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a5＝24，＝－6，则S15＝________． 11．已知数列{an}，{bn}满足a1＝，则b2025＝________． 12．在算术三角形(也叫帕斯卡三角形)中，每个元素(不在第一列)是其正下方的数与左下方的数的差，如图，则第四行第五个数是________；若第三行对应的数列记为{an}，则an＝________． 四、解答题 13．已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列．给定k∈N*，记集合{n|kan2k，n∈N*}的元素个数为bk. (1)求b1，b2的值； (2)求满足b1＋b2＋…＋bn>2025的最小自然数n的值． 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋2n＝2an＋1. (1)求a1，并证明数列是等差数列； (2)若<S2k，求正整数k的所有取值． 学科网（北京）股份有限公司 $