微专题集训20 利用导数研究不等式恒成立问题(解答题)-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

©学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 微专题集训20利用导数研究不等式恒成立问题（解答题） 1.(2025河北邯郸校考模拟)已知函数)=专x2-ae(a∈R). (1)己知曲线x)在(0,0)处的切线与圆x2+y2-2x一2y一3=0相切，求实数 a的值； (2)已知x≥0时，x)≤一x2一ax一a恒成立，求实数a的取值范围. ·独家授权侵权必究。 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 2.已知函数x)=(x十1)n(x+1)+m]+n,曲线y=x)在点(0,0)处的切 线方程为y=2x十1. (1)求m,n的值和x)的单调区间； (2)若对任意的x∈[0，十∞)，x)>x恒成立，求整数k的最大值. ·独家授权侵权必究 号西学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 微专题集训20利用导数研究不等式恒成立问题（解答题） 1.解：(1)圆的方程可化为(x-1)2+y一1)2=5，则圆心为(1,1)，半径为V5, 对函数fx)求导得f(x)=x一ae, 则f0)=-a, 又0)=-a, 于是曲线x)在(0，O)处的切线方程为y+a=一ax,即ax+y+a=0,因为 直线ax十y+a=0与圆相切， a+1+a 所以 a+1 =5,则a=2, 所以实数a的值为2. (2)g(x)=Ax)+x2+ax+a= 号x2-ae+ar+ax≥0) 则g(x)s0在[0，十∞)上恒成立， 对g(x)求导得g(x)=3x-ae'+a, 设h(x)=3x-ae*+a,x≥0， 则h'(x)=3-ae, 当a≥3时，x≥0，ae≥3e≥3， 即有h'(x)s0, 所以函数h(x),即g(x)在[0，+∞)上单调递减，于是当x≥0时，g(x)sg'(0) =0, 则函数g(x)在[0，+o∞)上单调递减，因此当x≥0时，gx)sg(0)=0,故a≥3 符合题意. 当0<a<3时，令h>0,得0<x<血 3 则函数，即gd在[0，ln3)上单调递增， 于是当0sx<1n三时，g≥g0=0, 即函数g在[0，n3)上单调递增， Q 因此当0≤x<ln二时，g(x)≥g(0)=0,不合题意. 0 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 当a≤0时，h'(x)=3-ae>0, 函数h(x),即g(x)在[0，+o)上单调递增，g(x)≥g(0)=0, 则函数gx)在[0，+∞)上单调递增， 即g(x)≥g(0)=0,不合题意 所以实数a的取值范围为[3，+o∞) 2.解：(1fx)=ln(c+1)+m+1, 由切线方程，知f0)=m+n=1,f(0)=m+1=2, 解得m=1,n=0. 故fx)=(x+1)n(x+1)+x+1x>-1), f(x)=ln(x+1)+2, 由/≥0，得x>1,由/<0，得-1<<是1 所以的单调递塔区间为侵1，+，单调递减区间为-1，是一 (2)①当x=0时，0)=1>k×0=0恒成立，则k∈R, ②当x≥0时，网≥c恒成立，即k<1+加+1)+文+1对任意x∈0， 十∞)恒成立. 令=1+安6++是+1，e0,+四. 则h)=X-lnx+1-1 令4)=x-nc+1)-L,xE(0,十o),则u)=1-1=X>0对任 X+1X+1 意x∈(0，十∞)恒成立，所以(x)在(0，十∞)上单调递增. 又u(2)=1-ln3<0,u(3)=2-ln4>0, 所以3xo∈(2，3)，u(x)=0. 当x∈(0，xo)时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(xo,+o∞)时，'(x)> 0,h(x)单调递增. 所以eu=0-1+安ho++之+1，又=一no+)-1 独家授权侵权必究 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 0,所以=)+2血x+1+号+1=1+安+文+1=+ 1∈(3,4)，故k<xo+1. 综上，整数k的最大值为3. ·独家授权侵权必究