微专题集训19 利用导数研究函数的零点问题(解答题)-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 微专题集训19利用导数研究函数的零点问题（解答题） l.已知函数x)=asinx一nx(a∈R),其导函数为f(x). (I)若不等式fx)≥1一是在区间(0，号]上恒成立，求实数a的取值范围； (2)当a=2时，证明：f(x)在区间(0，)上有且只有两个零点 ·独家授权侵权必究 号 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (a(x+1)e,x≤0， 2.已知函数)=x2.x+专，x>0, (1)若a=2,求x)的最小值； (2)若x)恰好有三个零点，求实数a的取值范围 ·独家授权侵权必究 微专题集训19　利用导数研究函数的零点问题(解答题) 1．解：(1)f′(x)＝a cos x－， 由题意得，f′(x)≥1－在上恒成立， 即a≥在上恒成立， 由于函数y＝cos x在上单调递减， 所以cos x＜1，max＝2，所以a≥2. (2)证明：当a＝2时， f′(x)＝2cos x－. 设h(x)＝2x cos x－1，则h′(x)＝2(cos x－x sin x)， 令φ(x)＝cos x－x sin x， 则φ′(x)＝－2sin x－x cos x＜0， 所以φ(x)在上单调递减， 又φ(0)＝1＞0，φ＝－＜0， 故存在x0∈，使得φ(x0)＝0， 当x∈(0，x0)时，φ(x)＞0， 即h′(x)＞0，h(x)在(0，x0)上单调递增； 当x∈时，φ(x)＜0， 即h′(x)＜0，h(x)在上单调递减； 又h(0)＝－1＜0，h＝－1＞0，h＝－1＜0， 所以h(x)在和上各有一个零点， 从而f′(x)在上有且仅有两个零点． 2．解：(1)当a＝2时，f(x)＝ 当x0时，f′(x)＝2(x＋2)ex， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0]上单调递增， 此时f(x)的最小值为f(－2)＝－； 当x＞0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时f(x)的最小值为f(1)＝－. 因为－＞－，所以f(x)的最小值为－. (2)显然a≠0. 因为当x0时，f(x)有且只有一个零点－1， 所以原命题等价于f(x)在(0，＋∞)上有两个零点． 所以解得a＞， 故实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $