微专题集训16 导数在研究函数单调性中的应用-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训16　导数在研究函数单调性中的应用 1．D　函数f(x)＝ln (2x－1)－x2＋x的定义域为， 且f′(x)＝，令f′(x)＞0，解得＜x＜，所以f(x)的单调递增区间为. 2．B 3．C　由导函数y＝f′(x)的图象可知，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，∴y＝f(x)的单调递减区间是(0，2)．故选C. 4．C　当a＝0时f(x)＝－ln x，在区间(3，4)上单调递减，不符合题意． 当a≠0时，由题意，得f′(x)＝ax－2a－.令g(x)＝ax2－2ax－1，则函数g(x)图象的对称轴为直线x＝－＝1，且g(0)＝－1.若函数f(x)＝ax2－2ax－ln x在区间(3，4)上不单调，则g(x)在区间(3，4)上至少有一个零点，所以g(3)g(4)＜0，所以(9a－6a－1)(16a－8a－1)＜0，即(3a－1)(8a－1)＜0，解得＜a＜.故选C. 5．B　由题意得f′(x)＝＋2x＋a＜0的解集为，所以不等式2x2＋ax＋1＜0的解集为，所以，解得a＝－3. 6．C　由题意得函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3ax2－6x＋1，要使函数f(x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以解得a＜3且a≠0，故实数a的取值范围为(－∞，0)∪(0，3)，故选C. 7．D　令g(x)＝(ex＋1)f(x)，则g′(x)＝exf(x)＋(ex＋1)f′(x)＞0，所以g(x)在R上单调递增．不等式f(x)＞可化为(ex＋1)f(x)＞.因为f(1)＝，所以g(1)＝(e＋1)f(1)＝，所以不等式可化为g(x)＞g(1)，所以x＞1，即不等式的解集为(1，＋∞)．故选D. 8．A　因为f(x)＝sin2x＋2sinx，x∈[0，π]， 所以f′(x)＝2sin x cos x＋2cos x＝2cos x(sin x＋1)，因为sin x＋1≥0恒成立， 所以当x∈时，f′(x)≥0，f(x)单调递增； 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 令g(x)＝f′(x)＝2sin x cos x＋2cos x，x∈， 则g′(x)＝2cos2x－2sin2x－2sinx＝2－4sin2x－2sinx， 令t＝sin x∈[0，1]， h(t)＝－4t2－2t＋2＝－2(2t－1)(t＋1)， 所以当t∈时，h(t)≥0，即当x∈时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，所以函数f(x)＝sin2x＋2sinx在区间[0，π]上的“快增区间”为. 9．AC　因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0对于任意的x∈R恒成立，所以f′(1)≥0恒成立，但f(1)大小未知．对于方程3x2＋2ax＋b＝0，Δ＝4a2－12b0，即a2－3b0，所以正确的是AC. 10．AC　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－.由f′(x)≥0得函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)；由f′(x)0得函数f(x)的单调递减区间为(0，3].因为f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m2或m≥4.结合选项可得A，C正确．故选AC. 11．CD　依题意0＜x＜，由f′(x)＜－tan x·f(x)，得f′(x)＜－·f(x)，sin x·f(x)＋cos x·f′(x)＜0.构造函数F(x)＝，F′(x)＝＜0，所以F(x)在上递减．F＞F＞F＞＞，即＞＞f，所以f＞f，f＞f.故选CD. 12．ABC　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x，当a≥0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在定义域内单调递增；若函数f(x)在定义域内单调递增，则f′(x)＝＋2x≥0恒成立，即a≥－x2在x∈(0，＋∞)时恒成立，因为－x2＜0，所以a≥0.所以a≥0是函数f(x)在定义域内单调递增的充要条件，所以选项A正确．若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝＋2x≥0在x∈[1，＋∞)时恒成立，即a≥－x2在x∈[1，＋∞)时恒成立，又函数y＝－x2在x∈[1，＋∞)时的最大值为－1，所以a≥－1，所以选项B正确．若函数f(x)在定义域内不单调，则f′(x)＝＋2x＝0在x∈(0，＋∞)时有根，即x2＋a＝0在x∈(0，＋∞)时有根，所以a＜0，所以选项C正确．f′(x)＝，当a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＜0，当x＞时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．所以选项D错误．故选ABC. 13．解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＞0得－1＜x＜1，结合定义域，可知f(x)的单调递增区间为(0，1)． 答案：(0，1) 14．解析：f′(x)＝－x2＋a，由于函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，所以f′(x)＝－x2＋a＝0有两个不相等的实数根，所以a＞0. 答案：(0，＋∞) 15．解析：由图象知，当x＜0或1＜x＜4时，f′(x)＞f(x)， 即g′(x)＝＞0， 则函数g(x)＝的单调递增区间为(－∞，0)，(1，4)． 答案：(－∞，0)，(1，4) 16．解析：由＞0可得f′(x)(x2－1)＞0，所以或所以当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0，当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，所以满足条件的一个函数可以为f(x)＝x3－x(答案不唯一)． 答案：(－1，1)　f(x)＝x3－x(答案不唯一) 17．解：(1)由题意得f′(x)＝3x2－8x－4a，f′(2)＝－4－4a，由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线2x－4y＋3＝0垂直， 故－4－4a＝－2，解得a＝－. (2)函数f(x)在区间[0，6]上单调递减，则f′(x)＝3x2－8x－4a0在区间[0，6]上恒成立， 故a≥x2－2x, 当x∈[0，6]时，x2－2x的最大值为×62－2×6＝15，故a的取值范围为[15，＋∞)． 18．解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2ln x，f′(x)＝2x－，切线的斜率k＝f′(1)＝0，f(1)＝1，则切线方程为y－1＝0. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－(a＋2)＋， ①当a0时，2x－a＞0，由f′(x)＞0，得x＞1；由f′(x)＜0，得0＜x＜1，则函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； ②当0＜＜1，即0＜a＜2时，由f′(x)＞0，得0＜x＜或x＞1；由f′(x)＜0，得＜x＜1，则函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为； ③当＝1，即a＝2时，f′(x)≥0恒成立，则函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ④当＞1，即a＞2时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1或x＞；由f′(x)＜0，得1＜x＜， 则函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，，单调递减区间为. 综上所述：当a0时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减； 当0＜a＜2时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减； 当a＝2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞2时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训16　导数在研究函数单调性中的应用 一、单项选择题 1．函数f(x)＝ln (2x－1)－x2＋x的单调递增区间是(　　) A．(0，1) B． C． D． 2．若函数f(x)＝x3－3kx＋1在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 3．定义在(－1，3)上的函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－1，0) B．(－1，1) C．(0，2) D．(2，3) 4．(2025·广东深圳宝安调研)若函数f(x)＝－2ax－ln x在区间(3，4)上不单调，则a的取值范围是(　　) A．∪ B． C． D．∪ 5．已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax的单调递减区间为，则(　　) A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3 C．a＝3 D．a∈(－∞，3] 6．若函数f(x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3) C．(－∞，0)∪(0，3) D．(－∞，0) 7．已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，满足exf(x)＋(ex＋1)f′(x)＞0，且f(1)＝，则不等式f(x)＞的解集为(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 8．若函数f(x)在区间D上单调递增，且函数f′(x)在区间D上也单调递增(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，那么称函数f(x)是区间D上的“快增函数”，区间D叫做“快增区间”．则函数f(x)＝sin2x＋2sinx在区间[0，π]上的“快增区间”为(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在R上单调递增，f′(x)为其导函数，则下列结论正确的是(　　) A．f′(1)≥0 B．f(1)≥0 C．a2－3b0 D．a2－3b≥0 10．若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值范围可以是(　　) A．[4，＋∞) B．(－∞，2] C．(1，2] D．(0，3] 11．定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)＜－tan x·f(x)恒成立，则(　　) A．f＞f B．f＞f C．f＞f D．f＞f 12．已知函数f(x)＝2a ln x＋x2＋b，则(　　) A．a≥0是函数f(x)在定义域内单调递增的充要条件 B．若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则a∈[－1，＋∞) C．若函数f(x)在定义域内不单调，则a∈(－∞，0) D．函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是 三、填空题 13．已知函数f(x)＝2ln x－x2＋1，则f(x)的单调递增区间是________． 14．若函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 15．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递增区间为________． 16．(2025·北京东城区模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，且＞0，则f(x)的单调递减区间为________；满足以上条件的一个函数是________． 四、解答题 17．已知函数f(x)＝x3－4x2－4ax＋12. (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线2x－4y＋3＝0垂直，求a的值； (2)若函数f(x)在区间[0，6]上单调递减，求a的取值范围． 18．已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x(a∈R)． (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $