微专题集训10 对数与对数函数-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训10　对数与对数函数 1．A　∵a＝3log32＝log38，∴由对数函数y＝log3x的性质知1＝log33＜log38＜log39＝2，∴1＜a＜2.由对数函数y＝log2x的性质知log25＞log24＝2，∴b＞2.由指数函数y＝ 的性质知＜0＝1，∴0＜c＜1.综上所述，c＜a＜b.故选A. 2．A 3．C　因为log2＝log2 a＋log2 b≥2＝4，当且仅当log2 a＝log2 b＝2，即a＝b＝4时取等号．所以(ab)min＝24＝16.故选C. 4．A　∵a＝log2 3＝log8 27＜log8 65＝c，∴a<b<c，∴log2 3<log4 x<log8 65，∴，∴，得，即x的取值范围是，故选A. 5．D　已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(3)＝loga 12＞0，则a＞1，所以此函数的单调递增区间即t＝x2＋2x－3＝(x＋3)·(x－1)在满足t＞0的条件下，函数t的单调递增区间．再利用二次函数的性质可得，在满足t＞0的条件下，函数t的单调递增区间为(1，＋∞)，故函数的单调递增区间为(1，＋∞)，故选D. 6．C　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将＞f(log3 8)化为＞＜－log3 8＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜.故选C. 7．A　f(x)＝ln ＝ln ，由＞0，得定义域为{x＜1，c＞1得b＜c.又9＞8，即32＞23，所以，log2 3＞，同理，log5 8＜，所以c＜a，于是b<c<a，再结合f(x)的单调性可得f(a)＜f(c)＜f(b)．故选A. 8．A　对于函数f(x)＝loga(x2－ax＋a)，若存在x0∈R，使得f(x)≥f(x0)恒成立，即函数f(x)存在最小值，则u＝x2－ax＋a的图象与x轴没有交点，且函数y＝loga u在(0，＋∞)上单调递增，所以解得1＜a＜4，所以实数a的取值范围是(1，4)．故选A. 9．BCD　令2a＝3b＝6c＝m，则a＝log2 m，b＝log3 m，c＝log6 m，∴＝logm 2，＝logm 3，＝logm 6，∴＝logm 2＋logm 3＝logm 6＝，A选项错误，B选项正确；a＋b＝(a＋b)·＞c＝4c，(∵a≠b，∴等号无法取到)C选项正确；＞，∴ab＞4c2，D选项正确．故选BCD. 10．AB　结合题中条件，可作出函数y＝loga x，y＝logb x(x＞0)的图象，如图，由图可知，当x＝c时，loga c＞logb c，A正确；因为0＜c＜1，a＞b＞1，所以＝c-1＞，所以alogb c＜bloga c，C不正确；因为0＜c＜1，a＞b＞1，所以ac＞bc，所以－ac＜－bc，所以ab－ac＜ab－bc，即a(b－c)＜b(a－c)，D不正确，故选AB. 11．ACD　由题可知，f(x)＝lg ≥lg 10＝1，当且仅当x＝时，f(x)取得最小值1，A正确． 因为当且仅当x＝时，f(x)取得最小值1，所以f(1)＞1，所以f(1)＋f(x)＞2，B错误． 因为0＜log92＝＜，所以＝，设g(x)＝x2－x＋＝2＋10，则g(x)的图象关于直线x＝对称，g(log92)＞g＞0，又y＝lg x在定义域上是增函数，所以f(log92)＞，C正确． 因为90.1＝30.2＞30.18＞1，所以90.1－＞30.18－＞，又f(x)在上单调递增，所以f＞，D正确．故选A、C、D. 12．AD　对于A，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，由f(－x)＝ln (－x)2－2ln [(－x)2＋1]＝－2ln (x2＋1)＝f(x)，可知函数f(x)为偶函数，所以A正确．对于B，不妨设x＞0，此时f(x)＝2ln x－2ln (x2＋1)＝2ln ，由(当且仅当x＝1时取“＝”)，得0＜，所以f(x)2ln ＝－2ln 2，因为f(x)为偶函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，－2ln 2]，所以B错误．对于C由f＝2ln ＝ln ＝2ln ＝2ln ≠f，可知当x＞0时，函数f(x)的图象不关于直线x＝1对称，所以C错误．对于D，当x＞0时，f(x)＝，由函数y＝x＋(x＞0)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)，可知当x＞0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)，增区间为(0，1)，结合f(x)图象对称性可得f(x)的增区间为(－∞，－1)，(0，1)，所以D正确．故选AD. 13．解析：(1)原式＝lg (5×100)＋lg 8－lg 5－lg 26＋50＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52. (2)原式＝ ＝ ＝＝1. 答案：(1)52　(2)1 14．解析：符合对数函数幂的对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝log2x，nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn)． 答案：log2x(答案不唯一) 15．解析：因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)＝－x2＋ax＋15在上为单调函数． 若h(x)在上单调递增， 则 解得a≥8； 若h(x)在上单调递减， 则解得＜a. 综上，a的取值范围为 答案： 16．解析：因为f(x)＝，正实数m，n满足m＜n，且f(m)＝f(n)，所以－log3 m＝log3 n，所以mn＝1.因为f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2，1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，所以－log3 m2＝2或log3 n＝2.若－log3 m2＝2，得m＝，则n＝3，此时log3 n＝1，满足题意，那么＝9.同理，若log3 n＝2，得n＝9，则m＝，此时－log3 m2＝4＞2，不满足题意．综上可得＝9. 答案：9 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训10　对数与对数函数 一、单项选择题 1．已知a＝3log32，b＝log25，c＝，则(　　) A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 2．若函数f(x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|(a＞0，且a≠1)，且f(2)·g(2)＜0，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系中的大致图象是(　　) 3．已知a＞1，b＞1，且log2＝logb 4，则ab的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 4．设a＝log2 3，b＝log4 x，c＝log8 65，若a，b，c中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是(　　) A． B． C． D． 5．已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(3)＞0，则此函数的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－3) B．(－∞，－1) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞) 6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式()的解集为(　　) A． B． C． D． 7．已知函数f(x)＝，a＝log2 3，b＝log3 4，c＝log5 8，则(　　) A．f(a)＜f(c)＜f(b) B．f(a)＜f(b)＜f(c) C．f(c)＜f(a)＜f(b) D．f(c)＜f(b)＜f(a) 8．已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋a)，若存在x0∈R，使得f(x)≥恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，4) B．(0，1)∪(1，4) C．(0，1) D．[4，＋∞) 二、多项选择题 9．若a，b，c都是正数，且2a＝3b＝6c，则(　　) A． B． C．a＋b＞4c D．ab＞4c2 10．若0＜c＜1，a＞b＞1，则(　　) A．loga c＞logb c B．abc＞bac C．alogb c＞bloga c D．a(b－c)＞b(a－c) 11．(2025·湖南部分学校联考)已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(x)的最小值为1 B．∃x∈R，f(1)＋f(x)＝2 C．f(log92)＞f D．f＞f 12．已知函数f(x)＝ln x2－2ln (x2＋1)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)为偶函数 B．函数f(x)的值域为(－∞，－1] C．当x＞0时，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．函数f(x)的增区间为(－∞，－1)，(0，1) 三、填空题 13．计算下列各式：(1)lg 500＋lg lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2＝________． (2)＝________． 14．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________．(写出一个即可) 15．函数f(x)＝log2(－x2＋ax＋15)在上为单调函数，则a的取值范围为________． 16．已知函数f(x)＝|log3 x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $