微专题集训6 函数的概念及其表示-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

第二单元　函数 微专题集训6　函数的概念及其表示 1．A　2.B 3．A　因为f(x)＝所以f(9)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝1＋1＝2，故选A. 4．C　f＝x＋2＝2－1，令t＝＋1(t≥1)，则f(t)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)，故选C. 5．C　由f(x)＝得f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.故选C. 6．C　作出y＝f(x)及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f(x)与y＝1有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得xA＝－4，xB＝0，xC＝2. 令f(a)＝－4，则由图可得log2 a＝－4，解得a＝2-4＝； 令f(a)＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或log2 a＝0，解得a＝－2－或a＝－2＋或a＝1； 令f(a)＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2(a0)或log2 a＝2，解得a＝－2－或a＝22＝4. 所以实数a的所有取值的和为＋＋＋1＋＋4＝－，故选C. 7．D　由题意知f(x)的定义域为R，值域为{0，1}，故A，B错误；因为f(x)＝0或f(x)＝1，所以当f(x)＝0时，f(f(x))＝f(0)＝1，当f(x)＝1时，f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f(x)＝f(x＋T)＝1，若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，综上可得，对于任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确，故选D. 8．B　法一：当x－1时，x＋10，2x－2，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，则f(2x)＞f(x＋1)不成立； 当－1＜x0时，x＋1＞0，2x0，f(x＋1)＝3x+1，f(2x)＝1， 由f(2x)＞f(x＋1)，得3x+1＜1＝30，则x＜－1，与－1＜x0矛盾，舍去； 当x＞0时，x＋1＞1，2x＞0，f(x＋1)＝3x+1，f(2x)＝32x， 由f(2x)＞f(x＋1)，得32x＞3x+1，则2x＞x＋1，得x＞1. 综上，满足f(2x)＞f(x＋1)的x的取值范围是(1，＋∞)．故选B. 法二：画出f(x)的大致图象，如图所示． 若f(2x)＞f(x＋1)，则2x＞0＞x＋1或2x＞x＋1＞0，解得x＞1.故选B. 9．ABC　因为f(x)＝所以函数的定义域为R，故A正确；当x≥2时，x2≥4，当x＜2时，x＋2＜4，所以f(x)的值域为R，故B正确；当x＜2时，y＝x＋2＜4为增函数，当x≥2时，y＝x2≥4为增函数，且f(x)连续，故f(x)＝为R上的增函数，故C正确；当f(x)＝4时，若x＜2，则x＋2＝4，解得x＝2(舍去)，若x≥2时，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，故x＝2，故D不正确． 10．AC　对于A，当a＝2时，f＝2f＝2×＝4，故A正确； 对于B，由于当0x1时，函数的值域为[0，2]，所以当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)＝amf(x－m)，由于x－m∈(0，1]，所以f(x－m)∈[0，2]，因为|a|＜1，所以am∈(－1，1)，所以当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)∈(－2，2)，综上，当|a|＜1时，函数f(x)的值域为(－2，2]，故B错误； 对于C，由B得当x∈(m，m＋1]，m∈N*时，f(x)＝amf(x－m)，故当a＝2且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n-1f(x－n＋1)＝2n-1·＝2n-1＝2n-1·，故 C正确； 对于D，取a＝，则f＝2－4×，不满足f(x)，故D错误． 11．解析：根据题意作出函数f(x)的图象，如图所示，若f(a)＝f(ea)，(观察图象，知a，ea必有一个落在区间(0，1)上，一个落在区间(1，＋∞)上) 必有0<a<1<ea或0<ea<1<a，当a>1时，ea>1，不能成立，则必有0<a<1<ea，则有，变形可得a，解得a＝，则f＝f(e)＝ln e＝. 答案： 12．解析：易得函数f(x)在R上单调递增．因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x＜1时，f(x)＝2ex-1＜2，且13＋1＝2e1-1＝2，所以f(f(x))＜2等价于f(x)＜1，此时f(x)＝2ex-1，即2ex-1＜1，解得x＜1－ln 2，所以f(f(x))＜2的解集为(－∞，1－ln 2)． 答案：(－∞，1－ln 2) 13．解析：根据题意，结合对称性，不妨选择二次函数作为基础函数，由题图可知，该函数为偶函数，可以认为其有3个零点，－2，0，2，且x∈[－2，0]时图象的对称轴为直线x＝－1，f(－1)＝2，x∈[0，2]时图象的对称轴为直线x＝1，f(1)＝2，则满足条件的函数可以是f(x)＝2(－2x2)或f(x)＝2|x|(2－|x|)(－2x2)或f(x)＝2(－2x2)等，答案不唯一． 答案：f(x)＝2(－2x2)(答案不唯一，f(x)＝2|x|(2－|x|)(－2x2)或f(x)＝2(－2x2)也可) 14．解析：当λ＝5时，不等式f(x)＜－1⇔或解得－4＜x＜－1或x＞8.∴不等式f(x)＜－1的解集是(－4，－1)∪(8，＋∞)． 若函数f(x)的值域是R.则只要当x2时，(x2＋λx＋3)min1，记g(x)＝x2＋λx＋3(x2)，下面求g(x)的最小值．由于二次函数y＝x2＋λx＋3的图象的对称轴为直线x＝，∴当－＜2，即λ＞－4时，g(x)min＝g＝3－；当－≥2，即λ－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋2λ.因此或解得－4＜λ－2或λ≥2或λ－4，∴λ的取值范围是∪. 答案：(－4，－1)∪(8，＋∞)　∪ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元　函数 微专题集训6　函数的概念及其表示 一、单项选择题 1．函数f(x)＝的定义域是(　　) A． B． C．(∞，] D．(∞，1) 2.若函数f(x)的定义域为[0，16]，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A．[1，4] B．(1，4] C．[1，14] D．(1，14] 3．(2024·济南十一校联考)已知函数f(x)＝则f(9)＝(　　) A．2 B．9 C．65 D．513 4．已知f＝x＋2，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝x2－1(x＞1) C．f(x)＝x2－1(x≥1) D．f(x)＝x2－1(x≥0) 5．(2025·江苏南京模拟)设函数f(x)＝则f(8)＝(　　) A．10 B．9 C．7 D．6 6．已知函数f(x)＝若实数a满足f(f(a))＝1，则实数a的所有取值的和为(　　) A．1 B． C．－ D．－2 7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．函数f(x)＝被称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为{0，1} B．f(x)的值域为[0，1] C．∃x∈R，f(f(x))＝0 D．对于任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立 8．设函数f(x)＝则满足f(2x)＞f(x＋1)的x的取值范围是(　　) A．(－1，0) B．(1，＋∞) C．(0，1) D．(－1，1) 二、多项选择题 9．已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域是R B．f(x)的值域是R C．f(x)为单调递增函数 D．若f(x)＝4，则x＝±2 10．已知函数f(x)＝其中a∈R，下列关于函数f(x)的判断正确的为(　　) A．当a＝2时，f＝4 B．当|a|＜1时，函数f(x)的值域为[－2，2] C．当a＝2且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n-1 D．当a＞0时，不等式f(x)在[0，＋∞)上恒成立 三、填空题 11．设f(x)＝若f(a)＝f(ea)，则f＝__________． 12．已知函数f(x)＝则f(f(x))＜2的解集为________． 13．(开放题)计算机绘图是相对于手工绘图而言的一种高效率、高质量绘图技术，利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，我们把图象形似如图所示图形的函数称为m形函数．写出一个定义域为[－2，2]且值域为[0，2]的m形函数________． 14．函数f(x)＝当λ＝5时，不等式f(x)＜－1的解集是________，若函数f(x)的值域是R，则实数λ的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $