微专题集训4 不等式与不等关系、基本不等式-【高考领航】2026年高考数学一轮复习微专题速练

微专题集训4　不等式与不等关系、基本不等式 1．D　对于A，当c0时，ac＞bc不成立，故A不一定成立． 对于B，当c＝0时，ac2＞bc2不成立，故B不一定成立． 对于C，当c＝0时，(b－a)c2＜0不成立，故C不一定成立． 对于D，由a＞b得a－b＞0.又c2≥0，所以(a－b)c2≥0，故D一定成立．故选D. 2．C 3．C　∵c是正实数，且c＜1，∴0＜c＜1，由c＜cb＜ca＜1，得0＜a＜b＜1，∵＝aa－b＞1，∴ab＜aa，∵＝a，0＜＜1，a＞0，∴a＜1，即aa＜ba，综上可知，ab＜aa＜ba，故选C. 4．B　由x＋y＝2，得2x＋1＋2y＝5，由x＞0，y＞0，得2x＋1＞0，2y＞0，利用柯西不等式，得(2x＋1＋2y)2＝9，即，当且仅当，即x＝时取等号，所以的最小值是.故选B. 5．D　函数f(x)＝ax2－bx(a＞0，b＞0)，f′(x)＝－ax－b，由函数f(x)的一个极值点为1，可得f′(1)＝0，即－a－b＝0，得a＋b＝，所以ab，当且仅当a＝b＝时等号成立，故ab最大值为.故选D. 6．D　由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得b＝1＋a2，于是b－a＝1－a＋a2＝2＋＞0，则b＞a.因为c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，且三个实数a，b，c互不相等，所以c＞b，所以a，b，c的大小关系是c＞b＞a.故选D. 7．A　因为a，b，c均为正实数，所以，当且仅当＝2b且a＝c，即a＝b＝c时取等号，所以的最大值为.故选A. 8．B　因为a＋2b＋4c＝0，a＜b＜c，所以a＜0，c＞0. 由a＋2b＋4c＝0得c＝－b，则－b＞0，解得＞－，由b＜c得b＜－b，整理得a＜－b，解得＞－，由a＜b得＜1.综上，－＜＜1.故选B. 9．ACD　由c<b<a，且ac<0，得a＞0，c＜0.对于A，由c<b，a＞0得ac＜ab，故A正确．对于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，显然B不一定正确．对于C，b－a＜0，c＜0，故c(b－a)＞0，故C正确．对于D，ac＜0，a－c＞0，故ac(a－c)＜0，故D正确．故选ACD. 10．BD　由<<0，得c≠0，当c＞0时，0＞＞，即a＜b＜0；当c<0时，0＜＜，即a＞b＞0.综上，a＜b＜0＜c或a＞b＞0＞c，上述两种情况均可得0＜＜1，故A选项错误．当a＜b＜0＜c时，得＜0，当a＞b＞0＞c时，得＜0，故B选项正确．令a＝－1，b＝－，c＝1，则＝0，从而得＞，故C选项错误．由上述论证可知bc＜0＜ba恒成立，故D正确．故选BD. 11．AC　对于A，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，a＞b＞0，所以＞，故A正确． 对于B，由a－＞b－，得a－b＋＞0，即(a－b)·＞0，因为a>b>0，所以a－b＞0，ab＞0，所以1－＞0，所以ab>1，而该式不一定成立，所以不等式a－b－不一定成立，故B不正确． 对于C，由a3－b3＞2(a2b－ab2)，得(a－b)(a2－ab＋b2)＞0，因为a－b＞0，所以a2＋b2－ab＞0，即(a－b)2＋ab＞0，该不等式恒成立，故C正确． 对于D，由＞，得>，即＞，所以＞，该不等式不成立，故D不正确． 12．AC　因为x，y为正实数，且x＋y＝1，所以y＝1－x，x∈(0，1)．所以x2＋y＝x2－x＋1＝2＋，当x＝时，x2＋y取最小值，故A正确． ＝(x＋y)＝5＋＝9，当且仅当x＝时等号成立，所以的最小值为9.故B错误．2＝x＋y＋21＋x＋y＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立，故，即的最大值为，故C正确． log2x＋log4y＝log2x＋log2＝log2， x2y＝x2(1－x)＝x·x·(2－2x)3＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时等号成立，所以x.所以log2x＋log4y有最大值log2，故D错误．故选A、C. 13．解析：设u＝2－2a，v＝2－b，则a＝，b＝2－v，又2a＋b＝1，所以u＋v＝3(u，v＞0)，则(u＋v)－，当且仅当v＝u，即v＝6－3－3时等号成立，所以的最小值是. 答案： 14．解析：对于①，由题意，可知＜，正确；对于②，因为m＜2m，所以<，正确；对于③，<，即(a＋m)(b＋2m)＜(a＋2m)(b＋m)，错误；对于④，＜＜，正确． 答案：①②④ 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题集训4　不等式与不等关系、基本不等式 一、单项选择题 1．(2024·吉林长春东北师范大学附属中学模拟)若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．(b－a)c2＜0 D．(a－b)c2≥0 2．已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最小值为(　　) A．4＋4 B．12 C．8＋4 D．16 3．若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则(　　) A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa 4．已知x>0，y>0，若x＋y＝2，则的最小值是(　　) A．9 B． C． D． 5．已知函数f(x)＝－bx(a>0，b>0)的一个极值点为1，则ab的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 6．设互不相等的三个实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为(　　) A． B． C． D． 8．已知a＜b＜c且a＋2b＋4c＝0，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列结论一定正确的是(　　) A．ab>ac B．cb2<ab2 C．c(b－a)>0 D．ac(a－c)<0 10．(2025·河北衡水模拟)已知<<0，则下列不等式一定成立的有(　　) A．>1 B．<0 C．< D．bc<ba 11．已知a>b>0，则(　　) A．> B．a－>b－ C．a3－b3>2(a2b－ab2) D．> 12．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则(　　) A．x2＋y的最小值为 B．的最小值为8 C．的最大值为 D．log2x＋log4y没有最大值 三、填空题 13．若正实数a，b满足2a＋b＝1，则的最小值是__________． 14．已知b g糖水中含有a g糖(b>a>0)，若再添加m g糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式： ①<；②<；③(a＋2m)(b＋m)<(a＋m)(b＋2m)；④<. 其中成立的有__________．(填序号) 学科网（北京）股份有限公司 $