4.1 指数 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解n次方根与根式的概念，掌握根式的性质 2、 掌握分数指数幂的含义，分数指数幂和根式之间的互化，分数指数幂的运算性质 3、 掌握有理数指数幂和无理数指数幂及它们的运算性质 体会数学抽象和逻辑推理的思想方法 重点 有理数指数幂和无理数指数幂及它们的运算性质 难点 分数指数幂的含义，分数指数幂和根式之间的互化，分数指数幂的运算性质 新知导入 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数． 初中已经学过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长 关于面积 的函数 记作 ．像 这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究． 如果 ，那么 叫做 的平方根．例如，2就是4的平方根． 如果 ，那么 叫做 的立方根．例如，2就是8的立方根． 类似地，由于，我们把叫做16的4次方根；由于， 2叫做32的5次方根． 一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根， 其中 ，且 ． 当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数．这时， 的 次方根用符号 表示． 当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并写成 ． 当n为奇数时，； 当n为偶数时， 知识清单 知识点一：n次方根 1.a 的 n 次方根：一般的，如果 ，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中，且. 2.a 的 n 次方根的性质：（1）当 n 为奇数时，a 的 n 次方根用 表示； （2）当 n 为偶数时，a 的 n 次方根用 表示. 知识点二：根式 3.根式：式子叫做根式，其中 n 叫做 ，a 叫做 . 4.根式的性质：（1）n为奇数时， ； （2）n为偶数时， . 知识点三：分数指数幂 5.分数指数幂：规定正分数指数幂 （，，）； 负分数指数幂 （，，）； 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义. 知识点四：有理数指数幂的运算性质 6.有理数指数幂的运算性质： （1） ； （2） ； （3） 知识点五：无理数指数幂 7.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂 （，为无理数）是一个确定的 .整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂. 例题讲解 例1 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 注意： 根据 次方根的定义和数的运算，我们知道，．这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把 等写成下列形式：，，，我们希望整数指数幂的运算性质，如 ，对分数指数幂仍然适用． 例2 求值： （1）； （2）． 例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中 ）： （1）； （2）． 例4 计算下列各式（式中字母均是正数）： （1）； （2）； （3）． 课堂练习 1.已知，则( ) A. B. C. D. 2.已知，r，，则( ) A. B. C. D. 3.已知，则x的值为( ) A. B. C. D. 4.（多选）下列运算结果中，一定正确的是( ) A. B. C. D. 5.若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D.R 6.已知正数a，b满足，则的最小值为( ) A.10 B.12 C.18 D.24 7.当有意义时，化简的结果是( ) A. B. C. D. 8.____________. 9.计算：________________. 10.已知，化简：________. 课后练习 1.若，，则( ) A. B.1 C. D. 2.化简的结果为( ) A.6a B. C. D. 3.已知，，则( ) A. B. C.1 D. 4.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 5.已知，，化简得( ) A. B. C. D. 6.（多选）以下运算结果等于2的是( ) A. B. C. D. 7.已知实数a，b满足，，则________. 8.计算：_____________. 9.______. 10.若m，，且，则的最小值为________. 11.计算或化简下列各式： （1）； （2）. 答案以及解析 知识清单 1. 2. 3.根指数 被开方数 4. 5. 0 6. 7. 实数 例题讲解 例题1 解：（1）； （2）； （3）； （4） 例2 解：（1）； （2） 例题3 解：（1）； （2）． 例题4 解：（1）； （2）； （3）． 课堂练习 1.答案：D 解析：. 故选：D. 2.答案：C 解析：因为，r，，则， 故选：C. 3.答案：B 解析：由根式的计算可得， 故选：B. 4.答案：AD 解析：A选项，正确; B选项，错误; C选项当时，，当时，，错误; 选项，正确. 故选：AD. 5.答案：B 解析：即，可得，所以，即.故实数a的取值范围为. 故选：B. 6.答案：D 解析：，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为24. 故选：D. 7.答案：C 解析：当有意义时，，则. 故选：C. 8.答案： 解析：. 故答案为：. 9.答案： 解析：， 故答案为：. 10.答案： 解析：原式. 故答案为：. 课后练习 1.答案：C 解析：.故选C. 2.答案：C 解析：，故选C. 3.答案：D 解析：由，得，而，则， 所以. 故选：D. 4.答案：D 解析：A.，故原计算错误，不符合题意； B.，故原计算错误，不符合题意； C.，故原计算错误，不符合题意； D.，故原计算正确，符合题意. 故选：D. 5.答案：B 解析：由题意：， 故选：B. 6.答案：BCD 解析：，，，， 故选：BCD. 7.答案：1 解析：由，两边同时取b次幂，得， 化简得，可知. 故答案为：1. 8.答案： 解析：， 故答案为：. 9.答案：5 解析： ， 故答案为：5. 10.答案：8 解析： 可得，， （当且仅当时取等号）. 故答案为：8. 11.解析：（1） . （2）. 学科网（北京）股份有限公司 $