2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 掌握一元二次方程、二次函数与一元二次不等式之间的关系 2、 应用一元二次不等式解决实际问题 通过教学培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质 重点 一元二次方程、二次函数与一元二次不等式之间的关系 难点 应用一元二次不等式解决实际问题 新知导入 想一想，解一元二次不等式的步骤是什么？ （1） 化为基本形式 或 （其中 ）； （2）计算 ，以确定一元二次方程 是否有解； （3）有根求根； （4）根据图象写出不等式的解集． 利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子． 知识清单 知识点一：一元二次不等式 1.一元二次不等式：一般地，把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是 或，其中a，b，c均为常数， . 知识点二：一元二次不等式的零点 2.一元二次不等式的零点：一般地，对于二次函数，把使 的实数x叫做二次函数的零点. 知识点三：二次函数与一元二次方程、不等式的解 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表： 的图象 的根 有两个 的实数根， 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 R 的解集 例题讲解 例1 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 （单位：辆）与创造的价值 （单位：元）之间有如下的关系：． 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 例2 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 （单位：m）和汽车刹车前的车速 （单位：）之间有如下关系：． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 ）？ 小结： 一元二次不等式解决实际问题的步骤 （1）理解题意，搞清量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 课堂练习 1.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离（单位，m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系：，要判断该汽车是否超速，需要求解的不等式是( ) A. B. C. D. 2.某商品在最近天内的价格m与时间t（单位：天）的函数关系是，；销售量y与时间t的函数关系是，，则使这种商品日销售金额不小于元的t的范围为( ) A. B. C. D. 3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 4.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：m）和汽车刹车前的车速v（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为( )（精确到） A. B. C. D. 课后练习 1.某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系式：，其中g取.已知一名同学以初速度竖直上拋一排球，则排球能够在距离拋出点高度及以上的位置停留的时间为___________. 3.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长，八月份销售额比七月份增长，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值为__________. 4.为配制一种药液，进行了三次稀释，先在容积为升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出8升后用水补满，搅拌均匀，第三次倒出10升后用水补满，搅拌均匀.若第二次稀释后桶中纯药液含量不超过容积的，则V的取值范围是__________. 5.某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价为______________元. 6.经观测，某段公路在某时间段内的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间满足函数关系. （1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01） （2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度v（千米/时）应控制在什么范围内？ 答案以及解析 知识清单 1.未知数 2 2.0 3.不相等 例题讲解 例题1 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产 辆摩托车，根据题意，得 ． 移项整理，得 ． 对于方程 ，方程有两个实数根 ． 画出二次函数 的图象（如图），结合图象得不等式 的解集为 ，从而原不等式的解集为 ． 因为 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内 生产的摩托车数量在辆时，这家工厂能够获得 60000元以上的收益． 例题2 解：根据题意，得． 移项整理，得 ． 对于方程 ， 方程有两个实数根，． 画出二次函数 的图象（如图），结合图象得不等式的解集为 ，或 ，从而原不等式的解集为 ，或 ． 因为车速 ，所以 ． 而， 所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 ． 课堂练习 1.答案：B 解析：汽车的刹车距离大于10m， ， ， 故选：B 2.答案：B 解析：由日销售金额为，即， 解得. 故选：B. 3.答案：C 解析：由题意，知总售价为万元.要使生产者不亏本，则必须满足总售价大于或等于总成本，即，即，可化为， 解得或(舍去). 故最低产量是150台. 4.答案：B 解析：设该厂每天获得的利润为y元， 则. 由题意，知， 即， 解得：， 所以日销量x的取值范围是. 故选：B. 5.答案：B 解析：设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 移项整理，得，， 解得. 所以这辆汽车刹车前的速度至少为. 故选：B. 课后练习 1.答案：B 解析：由题意可知，则， 即，，解得. 又每盏最低售价为15元，. 2.答案： 解析：由题意知，所以.令，得，即，解得，所以停留的时间为. 3.答案：20 解析：由题意得， 化简得，解得或（舍去），所以， 即x的最小值为20. 4.答案： 解析：第2次倒出药液后桶中剩余纯药液升， 依题意，即，解得， 又，. 5.答案：120元或130元 解析：设每个床位的定价为x元，则每晚上有张床位有人入住，所以旅馆每晚的收入为（元）.因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，所以，即，解得，因为x是10的整数倍，所以每个床位的定价应为120元或130元. 6.解析：（1）， 当且仅当，即时，车流量最大，最大车流量为11.08千辆/时. （2）根据题意有， 化简得，即，解得. 所以汽车的平均速度v（千米/时）应控制在这个范围内. 学科网（北京）股份有限公司 $