2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学案聚焦一元二次不等式及二次函数、方程、不等式的关系这一核心知识点。通过回顾初中一次函数与方程、不等式的联系，结合园艺师围矩形的实际问题导入，搭建前后知识的学习支架。 资料以知识清单系统梳理概念，例题结合函数图象讲解，注重数形结合的数学眼光和逻辑推理的数学思维。课堂与课后练习层次分明，帮助学生巩固知识，培养模型意识，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解一元二次不等式 2、 掌握一元二次方程、二次函数与一元二次不等式之间的关系 通过教学培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质 重点 一元二次不等式 难点 二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系 新知导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？ 问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于，则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为 ，则另一条边长为 ． 由题意，得 ，其中 ． 整理得 ．① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． 设这个矩形的一条边长为 ，则另一条边长为 ． 由题意，得 ，其中 ． 整理得 ．① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 或 ，其中 均为常数，． 知识清单 知识点一：一元二次不等式 1.一元二次不等式：一般地，把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是 或，其中a，b，c均为常数， . 知识点二：一元二次不等式的零点 2.一元二次不等式的零点：一般地，对于二次函数，把使 的实数x叫做二次函数的零点. 知识点三：二次函数与一元二次方程、不等式的解 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表： 的图象 的根 有两个 的实数根， 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 R 的解集 例题讲解 例1 求不等式 的解集． 例2 求不等式 的解集． 例3 求不等式 的解集． 对于二次项系数是负数（即 ）的不等式，可以先把二次项系数 化成正数，再求解． 课堂练习 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.设集合，，则中元素的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知集合，集合，则( ) A. B. C. D. 4.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 5.不等式的解集为( ) A. B. C.，或 D.，或 6.（多选）关于x的不等式，下列说法正确的是( ) A.当时，不等式的解集为 B.当时，不等式的解集为或 C.当时，不等式的解集为 D.当时，不等式的解集为 7.若关于x的不等式有解，则实数m的取值范围是( ) A.或 B. C.或 D. 8.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为( ) A. B. C. D. 9.不等式的解集为________. 10.若不等式的解集为，则的值是______________. 课后练习 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D.2 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 3.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 4.一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.若不等式的解集是，则实数的值为( ) A. B.2 C. D. 6.已知不等式解集为，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 7.（多选）若关于x的不等式有解，则实数a可以是( ) A. B. C. D.1 8.（多选）下列不等式的解集为R的是( ) A. B. C. D. 9.不等式的解集为_________. 10.已知不等式的解集为，则b=_____，c=_____. 11.若不等式的解集是，则________. 答案以及解析 知识清单 1.未知数 2 2.0 3.不相等 例题讲解 例题1 分析：因为方程 的根是函数 的零点，所以先求出 的根，再根据函数图象得到 的解集． 解：对于方程 ， 因为 ，所以它有两个实数根． 解得 ． 画出二次函数 的图象如图， 结合图象得不等式 的解集为 ，或 ． 例题2 解：对于方程 ， 因为 ，所以它有两个相等的实数根，解得． 画出二次函数 的图象（如图）， 结合图象得不等式 的解集为． 例题3 解：不等式可化为 ． 因为 ，所以方程 无实数根．画出二次函数 的图象（如图）．结合图象得不等式 的解集为．因此，原不等式的解集为． 课堂练习 1.答案：B 解析：， ， 所以. 故选：B 2.答案：B 解析：由 ， 所以中有三个元素， 故选：B. 3.答案：C 解析：由，又，所以. 故选：C 4.答案：D 解析：由，得，即集合. 因为集合，所以. 故选：D. 5.答案：A 解析：不等式可化为，所以原不等式的解集为. 故选：A. 6.答案：AD 解析：对于A，当时，不等式为，解得，所以不等式的解集为，故A正确；对于B，C，D，由可得，对应方程的两个实根分别为，， 当即时，原不等式的解集为，当即时，原不等式的解集为，当，即时，的解集为，故B，C不正确，D正确，故选AD. 7.答案：A 解析：因为关于的不等式有解，所以，解得或. 故选：A. 8.答案：B 解析：因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以关于x的一元二次方程的两个根分别为，2， 由根与系数的关系可得，，解得，，所以， 故选：B. 9.答案：R 解析：开口向上，， 二次函数图象在x轴上方，故不等式解集为R. 故答案为：R. 10.答案： 解析：由题意可得方程的两个根分别为与，且， 则，解得，所以. 故答案为：. 课后练习 1.答案：C 解析：对于不等式，因式分解可得. 所以集合或. 已知集合， 在集合M中，满足或元素只有，所以. 故选：C. 2.答案：C 解析:因为， 所以. 故选：C. 3.答案：B 解析：由题意可得， 又因为 所以. 故选：B. 4.答案：A 解析：因为一元二次不等式对一切实数x都成立， 则，解得， 所以k的取值范围为. 故选：A. 5.答案：A 解析：不等式的解集是，则有， 方程的两根为和，则有， 解得，，所以. 故选：A. 6.答案：C 解析：因为不等式解集为， 所以方程的解为或2，且， 所以，，所以，， 所以，，故ABD错误; ，故C正确. 故选：C. 7.答案：AD 解析：因为关于x的不等式有解， 所以，解得或，结合选项可知A，D正确. 故选：AD. 8.答案：AC 解析：因为，所以不等式的解集为R，所以A正确， 因为，所以方程的两根为，所以不等式的解集为，所以B错误， 因为，所以不等式的解集为R，所以C正确， 因为，所以D错误， 故选：AC. 9.答案：或 解析：， 解得或 故答案为：或. 10.答案：1， 解析：依题意，不等式的解集为， 所以，解得. 故答案为：1，. 11.答案： 解析：不等式的解集是， 且，是的两根，，， 解得，，， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $