1.1 第1课时　三角形的边和角 课件 2025--2026学年苏科版八年级数学上册

第1课时　三角形的边和角 第1章　1.1　三角形中的线段和角 1.理解三角形三边的关系及三角形的边和角之间的关系.(重点、难点) 2.能运用三角形的三边关系及三角形的边和角之间的关系解决问题.(重点) 学习目标 课堂引入 我们已经认识了三角形的概念.三角形的边、角具有什么性质？边、角之间有什么关系？ 一、三角形的三边关系 问题1　尝试能否画出以下列长度的线段为边的三角形？为什么？ 提示　通过尝试不能画出以上长度的线段为边的三角形，因为小学里我们学过，三角形的两边之和大于第三边. 问题2　如何证明上述结论呢？ 提示　如图，因为BA+AC是连接B，C两点的折线长度，BC是连接B，C两点的线段长度，根据基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”，可知BA+AC>BC.同理，AC+CB>AB，AB+BC>AC. 知识梳理 三角形的任意两边之和 第三边. 大于 问题3　三角形的任意两边之差与第三边有什么关系？你能证明吗？ 提示　三角形任意两边之差小于第三边. 证明：设三角形的三条边分别为a，b，c.根据三角形任意两边之和大于第三边，即a+b>c，移项得a>c-b，也就是c-b<a；同理，由b+c>a可得b>a-c，即a-c<b；由a+c>b可得c>b-a，即b-a<c. 综上，可证明三角形任意两边之差小于第三边. 知识梳理 三角形任意两边之差小于第三边. (课本P5例1)如图，在△ABC中，点D在边BC上. 求证：AC+CB>AD+DB. 例1 证明　在△ACD中，AC+CD>AD(三角形两边之和大于第三边). ∴AC+CD+DB>AD+DB(不等式的性质). 即AC+CB>AD+DB. 如图，P是△ABC内的一点，连接PA，PB. 求证：AP+BP<AC+BC. 跟踪训练1 证明　如图，延长AP交BC于点D. 在△ACD中，AD<AC+CD(三角形任意两边之和大于第三边).即AP+PD<AC+CD. 在△BPD中，BP-PD<BD(三角形任意两边之差小于第三边). ∴AP+PD+BP-PD<AC+CD+BD(不等式的性质). 即AP+BP<AC+BC. 二、三角形的边和角之间的关系 问题4　如图，在△ABC中，AB>AC，尝试通过折纸的方式比较∠B和∠C的大小. 提示　把AC沿∠A的平分线AD翻折，如图，因为AB>AC，所以点C落在边AB上的点C'处.所以∠AC'D=∠C.由∠AC'D=∠B+∠BDC'，可得∠AC'D>∠B，所以∠C>∠B. 知识梳理 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大.较大的角所对的边也比较大. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，比较AB和BC的大小，并说明理由. 例2 解　AB>BC. 理由：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=180°-∠C=90°， ∴∠C>∠A. ∴AB>BC(在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大). 如图，在△ABC中，AB<AC.若AH⊥BC，比较∠BAH与∠CAH的大小，并说明理由. 跟踪训练2 解　∠BAH<∠CAH. 理由：∵在△ABC中，AB<AC， ∴∠B>∠C(在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大). ∴90°-∠B<90°-∠C(不等式的性质). ∵AH⊥BC，∴∠AHB=∠AHC=90°. ∴∠B+∠BAH=90°，∠C+∠CAH=90°. ∴∠BAH=90°-∠B，∠CAH=90°-∠C. ∴∠BAH<∠CAH. 三、拓展 一个等腰三角形的两边长分别为2.5和5，求这个三角形的周长. 例3 解　(1)若2.5为腰长，则2.5+2.5=5， 出现了两边之和等于第三边，此时不能构成三角形； (2)若5为腰长，则2.5+5=7.5>5， 符合三角形的三边关系，能构成三角形， 所以三角形的周长为2.5+5+5=12.5. 三角形第三边的取值范围是：两边之差<第三边长<两边之和. 反思感悟 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长. 跟踪训练3 解　设第三边的长为x， 根据两边之和大于第三边，得x<2+7，即x<9， 根据两边之差小于第三边，得x>7-2，即x>5， 所以x的值大于5小于9，又因为它是奇数， 所以x只能取7. 1.三角形的任意两边之和大于第三边.三角形任意两边之差小于第三边. 2.在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大.较大的角所对的边也比较大. 课堂小结 1.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值可能分别是 A.2，4，6 B.2，3，5 C.3，5，10 D.2，π，4 √ 解析　A项，2+4=6，故A不符合题意； B项，2+3=5，故B不符合题意； C项，3+5=8<10，故C不符合题意； D项，2+π>4，故D符合题意. 随堂演练 2.在△PQR中，∠P=50°，∠Q=60°，∠R=70°，则最长的边是 A.PQ B.QR C.PR D.无法确定 √ 解析　因为最大的角为∠R=70°，所以其对边PQ最长. 随堂演练 3.如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA=10米，OB=8米，A，B间的距离可能是　 　　. (写出一个即可)  解析　∵10-8<AB<10+8， ∴2<AB<18. 10 米(答案不唯一) 随堂演练 4.在△ABC中，已知AB=5，BC=7，AC=9，则最大的角是　　　　.  ∠B 随堂演练 5.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，求证：AB+BC+AC>2AD. 证明　在△ABD中，AB+BD>AD(三角形两边之和大于第三边)， 在△ACD中，AC+CD>AD(三角形两边之和大于第三边)， ∴AB+BD+AC+CD>2AD(不等式的性质)， 即AB+BC+AC>2AD. 随堂演练 本课结束 $