等差数列 优生加练-2026届高三数学一轮复习

第51练　等差数列 一、单项选择题(每小题5分，共15分) 1.若等差数列{an}的前15项和S15=30，则a7+a8+a9等于(　　) A.-2 B.6 C.10 D.14 答案　B 解析　等差数列{an}的前15项和S15=30， ∴S15=(a1+a15)=15a8=30，解得a8=2， ∴a7+a8+a9=3a8=6. 2.(2024·昆明模拟)已知{an}为等差数列，数列{bn}满足anbn=2n2-n(n∈N*)，若5a4=7a3，且a1+b1=2，则a9+b10等于(　　) A.26 B.27 C.28 D.29 答案　B 解析　因为anbn=2n2-n(n∈N*)，所以当n=1时，a1b1=1， 又因为a1+b1=2，所以a1=b1=1， 因为{an}为等差数列，5a4=7a3，所以设an=a1+(n-1)d，n∈N*， 所以5(a1+3d)=7(a1+2d)，整理得2a1=d，所以d=2， 所以an=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*)， 因为anbn=2n2-n(n∈N*)，所以bn==n(n∈N*)， 所以a9+b10=2×9-1+10=27. 3.已知等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1的值为(　　) A.30 B.29 C.28 D.27 答案　B 解析　∵奇数项共有n+1项，其和为·(n+1)=·(n+1)=290， ∴(n+1)an+1=290. ∵偶数项共有n项，其和为·n=·n=nan+1=261， ∴an+1=290-261=29. 二、多项选择题(共6分) 4.(2024·郴州模拟)已知无穷等差数列{an}的首项为1，它的前n项和为Sn，且S8<S9，S9>S10，则下列结论正确的是(　　) A.数列{an}是递减数列 B.S11=S6 C.数列{an}的公差的取值范围是 D.当n≤16时，Sn>0 答案　ACD 解析　对于A，∵S8<S9，S9>S10， ∴a9=S9-S8>0，a10=S10-S9<0， ∴公差d=a10-a9<0， ∴数列{an}为递减数列，A正确； 对于B，∵S11-S6=a7+a8+a9+a10+a11=5a9>0，∴S11>S6，B错误； 对于C，∵ ∴-<d<-，C正确； 对于D，∵a1+a17=2a9>0， ∴S17=>0， 又a1=1>0，{an}为递减数列， ∴当n≤16时，Sn>0，D正确. 三、填空题(共5分) 5.(2025·福州模拟)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=　　　　　　；若的值为正整数，则n=　　　　　　.  答案　　1或3 解析　由等差数列的性质可得a1+a21=a2+a20，b1+b21=b7+b15， ===， 因为=， 所以====； 因为====， 所以======3-， 要使的值为正整数，因为n∈N*，所以n+1为2或4，所以n=1或3. 四、解答题(共14分) 6.(14分)(2024·宁波模拟)已知数列{an}为等差数列，且满足a2n=2an+1(n∈N*). (1)若a1=1，求{an}的前n项和Sn；(6分) (2)若数列{bn}满足-=，且数列{an·bn}的前n项和Tn=(3n-4)·2n+1+8，求数列{bn}的通项公式.(8分) 解　(1)当n=1时，由a2n=2an+1，则a2=2a1+1，因为a1=1，则a2=3， 所以等差数列{an}的公差为a2-a1=2， 即an=1+(n-1)·2=2n-1， 所以{an}的前n项和Sn===n2. (2)当n=1时，a1b1=T1=(3-4)×22+8=4，可得b1=， 当n≥2时，anbn=Tn-Tn-1=[(3n-4)·2n+1+8]-[(3n-7)·2n+8] =3n·2n+1-2n+3-3n·2n+7·2n=2n(6n-8-3n+7)=2n(3n-1)， 将n=1代入上式，则a1b1=2×(3-1)=4=T1， 综上所述，anbn=2n(3n-1)，n∈N*. a2b2=22×(3×2-1)=20，可得b2=， 由(1)可知a2=2a1+1，则b2=， 由-=，可得(2a1+1)-a1=，解得a1=2， 由a2=2a1+1=5，则等差数列{an}的公差为3，所以an=3n-1， 由anbn=2n(3n-1)，n∈N*，得bn=2n. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第51练　等差数列 一、单项选择题(每小题5分，共15分) 1.若等差数列{an}的前15项和S15=30，则a7+a8+a9等于(　　) A.-2 B.6 C.10 D.14 2.(2024·昆明模拟)已知{an}为等差数列，数列{bn}满足anbn=2n2-n(n∈N*)，若5a4=7a3，且a1+b1=2，则a9+b10等于(　　) A.26 B.27 C.28 D.29 3.已知等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1的值为(　　) A.30 B.29 C.28 D.27 二、多项选择题(共6分) 4.(2024·郴州模拟)已知无穷等差数列{an}的首项为1，它的前n项和为Sn，且S8<S9，S9>S10，则下列结论正确的是(　　) A.数列{an}是递减数列 B.S11=S6 C.数列{an}的公差的取值范围是 D.当n≤16时，Sn>0 三、填空题(共5分) 5.(2025·福州模拟)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=　　　　　　；若的值为正整数，则n=　　　　　　.  四、解答题(共14分) 6.(14分)(2024·宁波模拟)已知数列{an}为等差数列，且满足a2n=2an+1(n∈N*). (1)若a1=1，求{an}的前n项和Sn；(6分) (2)若数列{bn}满足-=，且数列{an·bn}的前n项和Tn=(3n-4)·2n+1+8，求数列{bn}的通项公式.(8分) 学科网（北京）股份有限公司 $