精品解析：广东省深圳市部分学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷

2025-2026学年第一学期八年级暑假素质调查 数学学科 （2025年9月） 时间：90分钟 满分： 100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一项是正确的） 1. 勾股定理适用的条件是 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 由勾股定理可得答案． 【详解】解：勾股定理适用的条件是直角三角形． 故选：A． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的意义．解答本题掌握好轴对称图形的意义：如果一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形；判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，即可解答． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意，故该选项错误； B．该图形是轴对称图形，符合题意，故该选项正确； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意，故该选项错误； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意，故该选项错误． 故选B． 3. 有序介孔材料是上世纪年代迅速兴起的新型纳米材料，孔径在米范围内．数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 下列算式计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方．根据同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 6. 下图是北京、绵阳2024年二十四节气白昼时长对比图：单位（小时），由图可知，错误的是（ ） A. 从夏至到冬至白昼时长均逐渐变短 B. 白昼时长最长是夏至，最短是冬至 C. 在白昼时长季节差异方面，北京比绵阳小 D. 春分和秋分的白昼时长和夜晚时长几乎相同 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象信息解答即可． 本题考查了从图象中获得信息，并正确处理信息，正确读懂图象是解题的关键． 【详解】解： A. 从夏至到冬至白昼时长均逐渐变短，正确，不符合题意； B. 白昼时长最长是夏至，最短是冬至，正确，不符合题意； C. 在白昼时长季节差异方面，北京比绵阳大，错误，符合题意； D. 春分和秋分的白昼时长和夜晚时长几乎相同，正确，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，直线，相交于点O，． 若减少，则下列说法正确的是（ ） A. 减少 B. 增加 C. 与的和不变 D. 减少 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义理解，利用邻补角互补求角度，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据相交线的意义，得到，，从而可得，再根据垂直的意义得到，从而可得出， 当减少时，分别得出、、与的和的变化． 【详解】解：∵直线，相交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 当减少时，由可得增加，故A说法错误； 由可得减少，故B错误，D正确； 与的和减少了，故C错误， 故选：D． 8. 如图，在四边形中，，，，， 则点D到边的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，等边对等角，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行线的性质和等边对等角得到，然后利用角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点D到边的距离． 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算：=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：原式==4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 10. 小松一家暑假到贵州旅游，小松想借此机会尝尝贵州当地的特色美食，于是把想吃的“织金宫保鸡”“毕节烙锅”“豆花鱼”“纳雍火把鱼”四种美食写在完全相同的卡片上，从中任意抽出一张，恰好抽到“毕节烙锅”的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有“织金宫保鸡”“毕节烙锅”“豆花鱼”“纳雍火把鱼”四张卡片， ∴恰好抽到“毕节烙锅”的概率是． 故答案为：． 11. 王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，只需携带_________即可（填“①”“②”“③”）． 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：只有第①块瓷砖中包含两角及这两角的夹边，符合． 故答案为：①． 12. 如与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．先根据多项式乘多项式法则计算与的乘积，然后根据它们的乘积中不含的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 与的乘积中不含的一次项， ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，等边三角形中，是边上的中线，点E为上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，， 则的最小值为____（用含有m或n的式子表示）． 【答案】n 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质．连接，证，可得，作点D关于的对称点G，连接、，则，， ，当B、F、G三点共线，的最小值为，再证明得． 【详解】解：连接， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接、，则，， ， ∴，， ∴当B、F、G三点共线，的最小值为， 在和中， ， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7 小题，共61分．） 14. 计算： （1）； （2）用简便方法计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减； （2）将变形为，然后利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．先根据乘法公式计算，再把括号里化简，然后算除法，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 16. 如图，在中，已知，，完成以下问题： （1）利用尺规作图，作出的中线；（不写作法，保留作图痕迹）． （2）过点M与垂直的直线交于点 D，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线交于点M，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，根据题意易知，是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 17. 某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据： 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． （2）若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，正确分析表格数据是解题的关键． （1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加，1辆车身长为， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为． 18. 如图，中，是上的一点，若，，，，求的面积． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积等知识点．熟练掌握勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，再利用勾股定理求得，从而求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，即， ∴； ∴， ∴， ∴． 19. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请判断与 （填“是”或“否”） 为“等角三角形”． （2）如图2，在中，为角平分线，，． 请你说明是的等角分割线． 【应用概念】： （3）在中，若，是的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数． 【答案】（1）是； （2）证明：在中，，， ， 为角平分线， ， ，， ， 在中，，， ， ， ，，，， 为的等角分割线； （3）；；； 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理； （1）根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）在中，，， ∴，，， ∴与两个三角形的三个角分别相等， ∴与是“等角三角形”； 故答案为：是； （2）略 （3）解：当是等腰三角形，如图2，时，， ， ； 此时与是“等角三角形”， ∴是的等角分割线； 当是等腰三角形，如图3，时， ∵， ∴， 当时，， 此时与是“等角三角形”， ∴是的等角分割线； 当是等腰三角形，时， ∵， ∴，， ∴, 若与是“等角三角形”，则，此时，，不符合题意， 当是等腰三角形，如图4，时，， ∵与是“等角三角形” ∴， ， ， 当是等腰三角形，如图5，时，， ∵与是“等角三角形” ∴，， 设， 则， 则， ∵ ∴， 解得， ， 当是等腰三角形，如图5，时，， ∵与是“等角三角形”，而 ∴，不合题意， 综上，的度数为；；；． 20. 已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2） 证明：过点E作，交延长于点N， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴； （3）或. 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据“角角边”证明，可得，则此题可解； 对于（2），过点E作，交延长于点N，再根据“角角边”证明，可得，由“角角边”可证，可得； 对于（3），，分三种情况：当点D在线段上，当点D在线段的延长线上，当点D在线段的延长线上，根据全等三角形的性质求出相应线段的长，再根据三角形面积公式可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点D在线段上， ∵， 设， 由（1）得，则. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； 当点D在线段的延长线上，过点E作，交的延长线于点N， ∵， 设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上， 由图2得， ∴不可能，舍去. 综上所述，的值为或. 故答案为：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级暑假素质调查 数学学科 （2025年9月） 时间：90分钟 满分： 100分 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一项是正确的） 1. 勾股定理适用的条件是 （ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 有序介孔材料是上世纪年代迅速兴起的新型纳米材料，孔径在米范围内．数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列算式计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 下图是北京、绵阳2024年二十四节气白昼时长对比图：单位（小时），由图可知，错误的是（ ） A. 从夏至到冬至白昼时长均逐渐变短 B. 白昼时长最长是夏至，最短是冬至 C. 在白昼时长季节差异方面，北京比绵阳小 D. 春分和秋分的白昼时长和夜晚时长几乎相同 7. 如图，直线，相交于点O，． 若减少，则下列说法正确的是（ ） A. 减少 B. 增加 C. 与的和不变 D. 减少 8. 如图，在四边形中，，，，， 则点D到边的距离为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算：=_______． 10. 小松一家暑假到贵州旅游，小松想借此机会尝尝贵州当地的特色美食，于是把想吃的“织金宫保鸡”“毕节烙锅”“豆花鱼”“纳雍火把鱼”四种美食写在完全相同的卡片上，从中任意抽出一张，恰好抽到“毕节烙锅”的概率是_________． 11. 王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，只需携带_________即可（填“①”“②”“③”）． 12. 如与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 13. 如图，等边三角形中，是边上的中线，点E为上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，， 则的最小值为____（用含有m或n的式子表示）． 三、解答题（本大题共7 小题，共61分．） 14. 计算： （1）； （2）用简便方法计算：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，在中，已知，，完成以下问题： （1）利用尺规作图，作出的中线；（不写作法，保留作图痕迹）． （2）过点M与垂直的直线交于点 D，求的周长． 17. 某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据： 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． （2）若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 18. 如图，中，是上的一点，若，，，，求的面积． 19. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请判断与 （填“是”或“否”） 为“等角三角形”． （2）如图2，在中，为角平分线，，． 请你说明是的等角分割线． 【应用概念】： （3）在中，若，是的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数． 20. 已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $