3.4 (第1,2课时) 二元一次方程组及其解法 课件 2025-2026学年沪科版七年级数学上册

探究2 解方程组： PPT过程展示 x+ y = 35 ， ① 2x+4y =94， ② 解：由①得， 这一步就是用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数. y = 35－x ， ③ 把③代入②得， 2x+4(35－x) =94， 这是一个一元一次方程. 解方程，得， x= 23, 把x=23 代入③，得， y= 12, 所以， x=23 ， y=12， 代入消元法 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 例1 解方程组： 2x+ 3y =－7 ， ① x+2y =3， ② 解：由②得， x = 3－2y ， ③ 把③代入①得， 2(3－2y)+3y =－7， －y=－13， y=13， 把 y= 13代入③，得， x=－23, 所以， x=－23 ， y =13， x = 3－2×13 ， PPT过程展示 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 3.4 二元一次方程组及其解法1 初中数学 淮北市第五中学 张倩 Add Your Company Slogan 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 学习目标 1. 了解二元一次方程组的概念. 2. 体会二元一次方程组在刻画两个未知量间关系时的重要性.（重点） 3. 建立二元一次方程模型.（难点） 4. 让学生经历从实际问题中抽象出列二元一次方程组的过程，使学生进一步体会方程是刻画现实世界有效的数学模型，体会代数方法的优越性和多样性. 二元一次方程(组)的概念 初中数学 优优老师陪你冲关初中数学! 知识回顾 只含有一个未知数(元) ，未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫一元一次方程. 1、什么叫做一元一次方程？ 2、下列方程是否是一元一次方程： （1）x+6y=13 （2）xy－2x=5y （3）x－2x=4 （4）x2+3=5 （5） （6）y=0 二元一次方程(组)的概念 × √ × × √ × 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 认识 一切问题都可以转化为数学问题； 一切数学问题都可以转化为代数问题； 而一切代数问题又可以转化为方程。 ——解析几何之父笛卡尔 因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解。 二元一次方程(组)的概念 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 问题1 “鸡兔同笼”是我国古代数学著作《孙子算经》上的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何. 分析：设有鸡 x 只，兔 y 只. 由题知， 上有35头： x+ y = 35 ， ① 2x+4y =94， ② 下有94足： 二元一次方程(组)的概念 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 分析：设樟树苗买了 x 棵， 如果设两个未知数 x，y，你能列出几个独立的方程？ 白杨树苗买了 y 棵， 根据两种树苗共50棵，得 x+ y =50 ， ① 根据购买这些树苗用了290元，得 10x+3y =290， ② 二元一次方程(组)的概念 问题2 某班同学在植树节时植樟树和白杨树共50棵. 已知樟树苗每棵10元，白杨树苗每棵3元，购买这些树苗用了290元. 问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？ 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 x+ y = 50 ， ① 10x+3y =290， ② 这两个方程，有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 次. 含有 未知数的一次方程叫做 二元一次方程. 这两个方程与我们学过的一元一次方程有何不同？ 思考： 根据两种树苗共50棵，得 根据购买这些树苗用了290元，得 两 一 两个 二元一次方程(组)的概念 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 思考： 你能再写出几个类似的方程吗？ 如 5x＋3y＝34 就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数． 判断下列方程是不是二元一次方程？ ① 含有两个未知数(元)； ③ 是整式方程，即：分母中不含未知数. ② 未知数的项的次数都是1； 判断二元一次方程的三个条件是： ★ 二元一次方程(组)的概念 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 1. 下列是二元一次方程的是（ ） 辨是非 二元二次方程 二元一次方程 二元二次方程 三元一次方程 C 二元一次方程(组)的概念 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 x+ y = 50 ， ① 10x+3y =290， ② 根据两种树苗共50棵，得 根据购买这些树苗用了290元，得 又要满足购买树苗总费用关系②， 就是说它必须同时满足上面①②两个方程. 因此，我们把上面两个方程加上括号联立在一起，写成： 这里的x，y既要满足树苗总数关系①， x+ y = 50 ， ① 10x+3y =290， ② 联立在一起的几个方程，称为方程组. 二元一次方程(组)的概念 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 x+ y = 50 ， ① 10x+3y =290， ② 由两个一次方程组成的含有两个未知数的方程组就叫做二元一次方程组. 观察这个方程组，想一想这个方程组有哪些特点？ ① 由两个一次方程组成； ② 一共含有两个未知数. 方程组一般用大 括号“{ ”括起来. 二元一次方程(组)的概念 ★ 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 交朋友 二元一次方程(组)的概念 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 练习1 根据题意，列出二元一次方程组： 课本P109练习 第1题 解：(1) 设60分的邮票买了 x 枚，80分的邮票买了 y 枚. 由题知， (2) 设甲植树 x 棵，乙植树 y 棵. 由题知， 二元一次方程(组)的概念 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 练习2 已知关于 x，y 的方程(m2－4)x2+(m+2)x+(m+1)y=m+5. （1）当 m 为何值时，它是一元一次方程？ （2）当 m 为何值时，它是二元一次方程？ 二元一次方程(组)的概念 同步练习P88 第7题 解：(1) ∵ 此方程是一元一次方程， 分2种情况： 情况一： 情况二： 这种情况无解. 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 练习2 已知关于 x，y 的方程(m2－4)x2+(m+2)x+(m+1)y=m+5. （1）当 m 为何值时，它是一元一次方程？ （2）当 m 为何值时，它是二元一次方程？ 二元一次方程(组)的概念 (2) ∵ 此方程是二元一次方程， ∴ 同步练习P88 第7题 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 课堂小结 二元一次方程(组)的概念 1、含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程； 2、共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组； 3. 二元一次方程（组）必须满足三个条件 ① 含有两个未知数(元)； ③ 是整式方程，即：分母中不含未知数. ② 未知数的项的次数都是1； 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 加油！同学们！ 初中数学 优优老师陪你冲关初中数学! 3.4 二元一次方程组及其解法2 初中数学 淮北市第五中学 张倩 Add Your Company Slogan 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 学习目标 1. 了解二元一次方程组的解的概念. 2. 会用代入消元法解简单的二元一次方程组.（重点） 3. 消元方法的导入；“化归思想”的渗透.（难点） 二元一次方程组的解法 初中数学 优优老师陪你冲关初中数学! 知识回顾 1、含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程； 2、共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组； 3. 二元一次方程（组）必须满足三个条件 ① 含有两个未知数(元)； ③ 是整式方程，即：分母中不含未知数. ② 未知数的项的次数都是1； 二元一次方程组的解法 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 问题1 我国古代算书《孙子算经》中有一题：今有雉 (鸡)兔同笼，上有35头，下有94足，问雉、兔各几何？ 分析：设有雉 x 只，兔 y 只. 由题知， 上有35头： x+ y = 35 ， ① 2x+4y =94， ② 下有94足： 思考：怎样求出其中x 、y 的值呢？ 二元一次方程组的解法 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 探究1 1）满足方程 x – y =2 的x 、y 的值有哪些 ？ x －1 0 1 2 … y －3 －1 0 －2 … ① 什么是二元一次方程的解？它与一元一次方程的解有何不同？ ② 二元一次方程有多少个解？ ③ 怎样书写二元一次方程的解？ 使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解. 无数个解 二元一次方程组的解法 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 探究1 1）满足方程 x – y =2 的x 、y 的值有哪些 ？ x －1 0 1 2 … y －3 －1 0 －2 2）满足方程 2x + y = －2 的x 、y 的值有哪些 ？ x －1 0 1 2 … y 0 －4 －6 … … －2 是 x – y =2 与2x + y =－2 的公共解. 二元一次方程组的解法 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 它的解有无数个. 二元一次方程组的解法 知识归纳 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，记作 注：关于二元一次方程组的解的个数，我们将在八年级向大家介绍. ★ ★ 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 练习1 求二元一次方程x+y=6的正整数解. 二元一次方程组的解法 任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义． ★ 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 问题1 我国古代算书《孙子算经》中有一题：今有雉 (鸡)兔同笼，上有35头，下有94足，问雉、兔各几何？ 分析：设有雉 x 只，兔 y 只. 由题知， 上有35头： x+ y = 35 ， ① 2x+4y =94， ② 下有94足： 思考：怎样求出其中x 、y 的值呢？ 二元一次方程组的解法 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 情境引入 二元一次方程组的解法 - 代入消元法 “曹冲称象”的故事告诉我们一个什么数学道理？你得到什么启发？ 相等的量可以（等量代换）. 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 探究2 解方程组： 二元一次方程组的解法 x+ y = 35 ， ① 2x+4y =94， ② 分析：1）我们已经学过一元一次方程的解法， 2）两个方程里的 x，y 分别表示鸡兔的数量， 我们可以用含 x 的代数式表示兔 y ， 或者用含 y 的代数式表示鸡 x 的数量， 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 探究2 解方程组： 二元一次方程组的解法 x+ y = 35 ， ① 2x+4y =94， ② 解：由①得， 这一步就是用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数. y = 35－x ， ③ 把③代入②得， 2x+4(35－x) =94， 这是一个一元一次方程. 解方程，得， x= 23, 把x=23 代入③，得， y= 12, 所以， x=23 ， y=12， 代入消元法 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 上面解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就是要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程. 知识归纳 这里的消元方法是，从一个方程中求出某一个未知数的表达式. 再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法 . 二元一次方程组的解法 - 代入消元法 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 用代入法解二元一次方程组的一般步骤 二元一次方程组的解法 - 代入消元法 ② 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值； ③ 把这个未知数的值代入代数式(回代) ，求得另一个未知数的值； ① 将方程组中一个方程变形，使得一个未知数能含有另一个未知数的代数式表示； ④ 写出方程组的解 . 即: 变形 代替 回代 写出解 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 例1 解方程组： 2x+ 3y =－7 ， ① x+2y =3， ② 分析：要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示. 观察两个方程的特点 方程②中 x 的系数是1， 因此，先将方程②变形，用含 y 的代数式表示 x ， 再代入方程①求解，即可. 二元一次方程组的解法 - 代入消元法 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 例1 解方程组： 2x+ 3y =－7 ， ① x+2y =3， ② 解：由②得， x = 3－2y ， ③ 把③代入①得， 2(3－2y)+3y =－7， －y=－13， y=13， 把 y= 13代入③，得， x=－23, 所以， x=－23 ， y =13， x = 3－2×13 ， 二元一次方程组的解法 - 代入消元法 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 练习2 把下列方程写成用含 x 的代数式表示 y 的形式： 二元一次方程组的解法 - 代入消元法 同步练习P89 第6题 解： 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 课堂小结 二元一次方程组的解法 - 代入消元法 1. 消元实质 2. 代入法的一般步骤 3. 学会检验，能灵活运用适当方法解二元一次方程组。 二元一次方程组 消 元 代入法 一元一次方程 即: 变形 代替 回代 写解 ★ 优优老师陪你冲关初中数学! 初中数学 加油！同学们！ 初中数学 优优老师陪你冲关初中数学! $