专题3.5 二元一次方程组的解法（举一反三讲义）数学新教材沪科版七年级上册

专题3.5 二元一次方程组的解法（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 用代数式表示某个字母】 2 【题型2 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断】 3 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 6 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 8 【题型5 某个未知数的系数互为相反数用加法消元】 10 【题型6 某个未知数的系数相同用减法消元】 12 【题型7 某个未知数的系数成a倍关系变形用加减法消元】 14 【题型8 换元法解二元一次方程组】 16 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 19 【题型10 二元一次方程组的错解复原问题】 22 【题型11 构造二元一次方程组求解】 24 【题型12 二元一次方程组同解问题】 26 【题型13 由二元一次方程组的解求另一方程组的解】 28 【题型14 二元一次方程组与二次元一次方程的综合求解】 30 【题型15 求含参二元一次方程组满足的关系式】 32 考点1 代入消元法 知识点1 代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 【题型1 用代数式表示某个字母】 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）由可以得到用表示的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用等式的基本性质，将单独放在等式一侧，整理即可得到用表示的结果． 【详解】解：∵ 原方程为， 移项得， 等式两边同时乘，得． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江金华·期末）已知方程，用关于x的代数式表示y：______． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同时减去6，得， 方程两边同时除以2，得． 【变式1-2】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知二元一次方程， （1）用含x的代数式表示y，则__________； （2）用含y的代数式表示x，则__________； 【答案】 【分析】将二元一次方程变形，把目标未知数留在等号左侧，其余项移到等号右侧，再将目标未知数的系数化为1，即可得到对应结果． 【详解】解：（1）已知方程， 移项得：， 系数化为1得：； （2）已知方程， 移项得：， 系数化为1得：． 【变式1-3】（25-26七年级下·山东日照·期末）若，，用含的式子表示的结果是__________． 【答案】 【分析】先根据，用含的式子表示出，再将代入，整理即可得到结果． 【详解】解：由，得， 将，代入， 得， 即用含的式子表示的结果是． 【题型2 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断】 【例2】老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是______． 【答案】丙 【分析】观察四位同学的解题过程，找出出错的即可． 【详解】解： ， 由①得：x＝ ③， 把③代入②得：， 去分母得：24﹣9y﹣10y＝10， 解得：y＝， 由③得：x＝． 则合作中出现错误的同学为丙． 故答案为：丙． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【变式2-1】下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【答案】C 【分析】根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定． 【详解】解： 由得：， 把代入得：， 去分母得：， 解得：， 则开始出现错误的是步骤三， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【变式2-2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 【答案】D 【分析】观察方程组结构，寻找最简便的消元方式，优先利用已有整体形式代入简化计算． 【详解】解：， 方程②已经直接给出的表达式，两个方程都含， ∴直接将②整体代入①，即可消去未知数，无需额外变形得到分式形式，计算步骤最少，是最简单的解法． 【变式2-3】佳佳解方程组的部分步骤如下： 解：由①，得，③ 把③代入①，得， … 所以原方程组有无数个解． (1)这种解方程组的方法称为 消元法； (2)老师说佳佳解方程组的过程不正确，请你说明佳佳错误的原因； (3)选择恰当的方法解该方程组． 【答案】(1)代入 (2)代入方程②时出现了错误 (3) 【分析】（1）根据解二元一次方程组的方法分析即可； （2）根据解二元一次方程组的方法进行判断； （3）用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）这种解方程组的方法称为代入消元法； 故答案为：代入； （2）佳佳错误的原因是：应代入方程②，代入方程①错误，这样会出现恒等式，不能达到解方程的目的； （3）由①，得，③ 把③代入②，得， 解得，， 把代入③得， ∴原方程组的解是． 【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握二元一次方程组的解题步骤． 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 【例3】解方程组：． 【答案】 【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为． 【变式3-1】（24-25七年级下·重庆·期末）已知，满足方程组，则 ________． 【答案】 【分析】消去参数，整理方程即可得到 的值． 【详解】方程组， 将第一个方程变形得 ，代入第二个方程得 ， 去括号得， 移项整理得． 【变式3-2】（24-25七年级下·青海玉树·期末）对于二元一次方程组，把①代入②消去y后所得到的方程为，则①的方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：根据题意可知，把①代入②消去y后所得到的方程为，即， ， ①的方程为 故答案为：． 【变式3-3】解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下： 圆圆：由②，得③(依据：____________) 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2(__________)． (1)补全上述空白部分内容； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 【答案】(1)等式的性质1， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）根据等式的性质和整体代入法解答即可； （2）选择利用整体代入法求出方程组的解即可． 【详解】（1）解：圆圆：由②，得③(依据：等式的性质1)； 芳芳：把①代入②，得； 故答案为：等式的性质1；； （2） 把①代入②，得， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以原方程组的解为 考点2 加减消元法 知识点2 加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 【例4】用加减消元法解方程组其解题步骤如下：（1），得，解得；（2），得，解得；所以原方程组的解为 则下列说法正确的是（    ） A．步骤(1)(2)都不对 B．步骤(1)(2)都对 C．本题不适宜用加减消元法解 D．加减消元法不能用两次 【答案】B 【分析】步骤（1）采用的是加减方程消去y求出x的值，正确；步骤（2）采用的是加减方程消去x求出y的值，正确． 【详解】解：步骤（1）消去y求得x的值，步骤（2）消去x求得y的值，两步骤都正确， 故选B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解方程组时利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【变式4-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要消去未知数，需使两个方程中的系数相等或互为相反数，再通过加减运算消去． 【详解】解：∵方程①中的系数为，方程②中的系数为， ∴将②后，②中的系数变为，与①中的系数相等， ∴用①减去②，即可消去未知数，对应操作就是． 观察四个选项，选项D符合题意． 【变式4-2】阅读下列问题：解方程组 解：②得，③……步骤A ①-③得……步骤B， 所以，把代入②中，得……步骤C， 所以，所以这个方程组的解为，……步骤D 问：上述解方程组的步骤是否正确？若有错误，请指出在哪一个步骤出现错误，并写出正确的解答过程． 【答案】 不正确，步骤A出现错误， ②×2的时候方程右边没有乘以2， 解：②得③，①-③得 所以，把代入②中，得 所以所以这个方程组的解为． 【分析】根据等式的性质可知在步骤A中，②×2的时候方程右边没有乘以2，根据加减消元法解方程即可； 【详解】略 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【变式4-3】（25-26七年级下·湖北荆州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 【答案】(1)加减消元法；等式的基本性质2 (2)解：二，合并同类项计算错误 (3) 【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案； （2）根据解方程的方法即可得出答案； （3）根据，求出的值再代入①即可得出答案． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质2； （2）略 （3）解：，得 ③ ，得 整理可得 将代入①，得 解得 ∴原方程组的解为 【题型5 某个未知数的系数互为相反数用加法消元】 【例5】已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先解关于，的二元一次方程组，把，用含的代数式表示为和，得是和的公约数，再结合为正整数求解． 【详解】解： 得：， ， 把代入得：， ，均为整数， 是和的公约数， 或， 为正整数， 符合条件的只有， 解得， ． 【变式5-1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式5-2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（     ） A．2或10 B．2或9 C．3或9 D．3或10 【答案】B 【分析】先利用加减消元法解方程组，再根据方程组的解均为整数，为正整数，可得是28和70的正公约数，进而求出的值． 【详解】解：， ①②得 ， ∴ ， 将代入②，解得 ， ∵ 方程组的解均为整数，为正整数， ∴ 是28和70的正公约数，且， 28和70的正公约数为，符合条件的或， 当时，； 当时，； ∴ 正整数的值为2或9． 【变式5-3】（25-26七年级下·广东广州·期末）已知实数，满足，则代数式的值为_______． 【答案】 【详解】解： 得： ， 故答案为：． 【题型6 某个未知数的系数相同用减法消元】 【例6】（25-26七年级下·北京平谷·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，则的值是________． 【答案】 【分析】观察方程组两个方程，的系数均为2，可先两式相减消去求出，再代入任意方程求出，最后计算． 【详解】解：， ②①得： ， ， ， 解得：， 把代入①： ， ， ， 解得：， ． 【变式6-1】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）若，则______． 【答案】 11 【分析】根据平方和绝对值的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此列出二元一次方程组，变形计算即可得到的值. 【详解】解：∵，，， 所以， 整理得， 得 等式两边同除以得. 【变式6-2】（25-26七年级下·天津河西·期末）方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法，消去未知数后先求出，再代入求出，即可得到结果． 【详解】解：， 由得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 【变式6-3】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，使用初中的加减消元法即可计算得到结果． 【详解】解： ∵①②得 整理得，解得 把代入①得， 解得 ∴原方程组的解为． 【题型7 某个未知数的系数成a倍关系变形用加减法消元】 【例7】如果是的解，那么p，q的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入原方程组，得， 由得，， 由得，， 由得，． 【变式7-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）解方程组： 【答案】 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得， 解得， ∴ 【变式7-2】解方程组： 【答案】 【分析】先将第二个方程去分母整理为整式方程，再用加减消元法求解即可． 【详解】解：原方程组整理得 ， 得， 得 ，解得， 把代入②得 ， 解得 ， 所以原方程组的解为． 【变式7-3】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定列得关于，的二元一次方程组为，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则． 考点3 解二元一次方程组的其他方法 知识点3 换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 【题型8 换元法解二元一次方程组】 【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和换元法是解题的关键． 设，易得，再结合已知条件可得，即；再运用加减消元法求解即可． 【详解】解：设， 则关于a、b的二元一次方程组可化为， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴， ①②可得，解得：， 将代入得：， 解得：， 所以． 故答案为：． 【变式8-1】甲乙两位同学对问题“若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以通过换元替代的方法来解决” （1）你认为谁说得对？________（填甲或乙）； （2）这个题目的解应该是________． 【答案】 乙 【分析】本题考查了二元一次方程的解．所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可． 【详解】解：（1）我认为乙说得对， 故答案为：乙； （2）， 方程组中两个方程的两边都除以4，得， ∵方程组的解是， ∴，解得， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南新乡·期末）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解这个方程组，得________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解方程组：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解即可； （2）设，，原方程组可化为，解得，再求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： 设，， ∴原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． （2）解： 设，， ∴原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 【变式8-3】（25-26七年级下·吉林·期中）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解，即可； （2）结合题意，设，，原方程组可化为，求出、的值，即可列出方程组，再解方程组求出、的值即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于a，b的方程组，得， 所以， 解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于，的方程组，得， 所以， 解得． 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 【例9】阅读下面的材料解决问题． 解方程组． 解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组． 【答案】 【分析】根据题意，用整体代入法即可解答． 【详解】解：由①得， 所以， 将③代入②得， 解得； 把代入①，解得， 所以该方程组的解为． 【变式9-1】阅读理解：已知实数x，y满足，在求和的值时，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得：，由 可得：．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”解决：对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知，，则________． 【答案】22 【分析】本题考查了二元一次方程组，加减法的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键．根据题意可得，然后利用整体的思想求出，即可解答． 【详解】解：根据题意得，，，， ， 由得，，即， ， 故答案为：22． 【变式9-2】（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；根据题意及整体思想可进行求解． 【详解】解：由题意可知用整体代入法代入后得：； 故选C． 【变式9-3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 【答案】(1) (2) 解：， ①得③， 得：， 则，即无论取何值，的值始终不变； (3)103元 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元，根据题意列出方程组，解方程组即可得解． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得 所以方程组的解为； （2）略 （3）解：设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元， 根据题意得：， ①②得： ， 购买篮球、足球、排球各1个需要103元． 【题型10 二元一次方程组的错解复原问题】 【例10】甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得，乙解题时看错了n，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】先根据甲的解求出的值，根据乙的解求出的值，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴，， 解得，， ∴原方程组为， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·期末）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】 【分析】求出的解，然后代入中求得的值；设方程中的系数为，的系数为，把原方程组的正确解与错误解代入第一个方程中求解即可求解． 【详解】解：解方程组，得， 把代入，得，， 设方程组中含有▲的方程中的系数为，的系数为， 把和代入含有▲的方程得， 解得， 原方程组为． 【变式10-2】（24-25七年级下·山东烟台·阶段检测）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，解关于x，y的方程组即可解答． 【详解】解：把代入中可得：， 解得， 把代入中可得，， 解得：． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·暑假作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：把代入中，得， 把代入中，得， 根据题意，得； 解得， 故选：B． 【题型11 构造二元一次方程组求解】 【例11】（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 【变式11-1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 【变式11-2】定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则______． 【答案】 【分析】根据已知定义得出方程，，整理后得出关于a、b的方程组求出a、b的值，再根据定义得出算式，最后求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴， ∴． 【变式11-3】若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解题的关键． 把方程整理成关于m的方程，根据无论m取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解令m的系数为0，然后得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵无论取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解， ∴， 解得：， ∴这个相同的解是， 故答案为：． 【题型12 二元一次方程组同解问题】 【例12】（25-26七年级下·山东泰安·期末）关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 【答案】3 【分析】根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程组和方程组有相同的解， ∴其解也是的解， 解得：， 则变成， 解得：， ∴． 【变式12-1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）已知方程组与方程组的解相同，则的值为___________ 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，依题意得，解得，再将代入中解二元一次方程组即可得出的值，进而求得的值． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 将代入得：， 解得：． ∴ 故答案为：． 【变式12-2】（25-26七年级下·山东泰安·期中）已知方程组与的解相同，则的值为_____________． 【答案】 【分析】将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，的解与方程组，的解相同， 解得：， 把代入方程组：，得：， 解得：， ∴． 【变式12-3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组与方程组的解相同，则______． 【答案】3 【分析】考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值就是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系． 首先求出不含、的方程组的解，然后代入另外一个含有、的方程组从而得到一个关于、的方程组求解即可． 【详解】解：解方程组得 将代入二元一次方程组得 解得： 当，时，原式， 故答案为：． 【题型13 由二元一次方程组的解求另一方程组的解】 【例13】（25-26八年级上·重庆·周测）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，利用已知方程组的解，代入得到系数关系，通过比较新方程组与已知方程组系数，求解新方程组的解即可． 【详解】解：已知方程组 的解为 ，则 ，； 对于方程组， 将， 代入得：， 整理得：， 由于， ， ，不全为零（方程组有意义）， 且， 解得，， 故答案为：，． 【变式13-1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的换元法求解，解题的关键是通过换元将新方程组转化为已知解的方程组形式． 通过设，，把关于m、n的方程组转化为已知解的关于x、y 的方程组，再解关于m、n的方程组得到答案． 【详解】解：令，， 则关于m、n 的方程组可转化为， 已知原方程组的解是， ∴可得，解得． 故答案为：． 【变式13-2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】观察两个方程组的结构，可利用换元法将待求方程组转化为已知解的方程组，再根据同解性求解即可． 【详解】解：对于方程组，设， 则原方程组可化为． ∵关于，的二元一次方程组的解是． ∴方程组的解为． ∴． 得，解得， 将代入，得，． ∴原方程组的解为． 【变式13-3】（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将待解方程组变形为和已知原方程组结构相同的形式，再对应已知解得到新的方程，即可求出结果． 【详解】解：将整理变形：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：． 【题型14 二元一次方程组与二次元一次方程的综合求解】 【例14】关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解方程组得， 将其代入，得， 化简得， 解得. 【变式14-1】（25-26七年级下·广西玉林·期末）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据“反解方程组”的定义，得到x与y互为相反数，可求出x，y的值，再代入方程组求解a的值即可． 【详解】解：∵方程组是“反解方程组”， ∴x与y互为相反数，即， 把代入得：， 解得， ∴， 把，代入得： ， 解得：． 【变式14-2】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于，的方程组的解的和等于1，则的值是________． 【答案】 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相加得到，再根据关于，的方程组的解的和等于1得到关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵关于，的方程组的解的和等于1， ∴， ∴． 【变式14-3】（24-25六年级下·上海·阶段检测）在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有2倍关系，那么这个方程组叫做“二倍解方程组”，若关于x、y的方程组是“二倍解方程组”，则a的值为______． 【答案】 或 【分析】根据“二倍解方程组”的定义，方程组的解中两个未知数有2倍关系，即或，分别将两种关系代入原方程组，即可求出的值． 【详解】解：∵关于，的方程组是“二倍解方程组”， ∴分两种情况讨论： 当时，代入得，解得，则， 将，代入，得，解得； 当时，代入，得，解得，则， 将，代入，得，解得， 综上所述，的值为或． 【题型15 求含参二元一次方程组满足的关系式】 【例15】已知x，y满足方程组，则无论k取何值，x，y恒有关系式是____． 【答案】 【分析】把k看作常数，利用代入消元法解关于x、y的二元一次方程组，然后求出，即可． 【详解】解：将代入， 得， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，把k看作常数求出x、y是解题的关键，也是本题的难点． 【变式15-1】已知，则x与y之间的关系式为_________. 【答案】 【详解】解：，①×2+②得：4x+y=7，解得：．故答案为． 【变式15-2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知满足方程组，无论取何值，恒有关系式是______． 【答案】 【分析】利用加减消元法消去即可求解． 【详解】解：， 由②得，③， ①③得，， ∴恒有关系式是． 【变式15-3】已知是关于x，y的方程组，则无论a取何值，x，y恒有关系式是____________________． 【答案】 【分析】方程组消去a，即可得到答案． 【详解】解：， 由①可得，，将其代入②， 可得， 整理，可得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，利用代入消元法或加减消元法消元是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 二元一次方程组的解法（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 用代数式表示某个字母】 2 【题型2 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断】 2 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 3 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 4 【题型5 某个未知数的系数互为相反数用加法消元】 5 【题型6 某个未知数的系数相同用减法消元】 6 【题型7 某个未知数的系数成a倍关系变形用加减法消元】 6 【题型8 换元法解二元一次方程组】 7 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 8 【题型10 二元一次方程组的错解复原问题】 9 【题型11 构造二元一次方程组求解】 9 【题型12 二元一次方程组同解问题】 10 【题型13 由二元一次方程组的解求另一方程组的解】 10 【题型14 二元一次方程组与二次元一次方程的综合求解】 11 【题型15 求含参二元一次方程组满足的关系式】 11 考点1 代入消元法 知识点1 代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 【题型1 用代数式表示某个字母】 【例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）由可以得到用表示的式子是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江金华·期末）已知方程，用关于x的代数式表示y：______． 【变式1-2】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知二元一次方程， （1）用含x的代数式表示y，则__________； （2）用含y的代数式表示x，则__________； 【变式1-3】（25-26七年级下·山东日照·期末）若，，用含的式子表示的结果是__________． 【题型2 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断】 【例2】老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是______． 【变式2-1】下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【变式2-2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是（     ） A．由①，得③，再把③代入② B．由①，得③，再把③代入② C．由②，得③，再把③代入① D．把②代入① 【变式2-3】佳佳解方程组的部分步骤如下： 解：由①，得，③ 把③代入①，得， … 所以原方程组有无数个解． (1)这种解方程组的方法称为 消元法； (2)老师说佳佳解方程组的过程不正确，请你说明佳佳错误的原因； (3)选择恰当的方法解该方程组． 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 【例3】解方程组：． 【变式3-1】（24-25七年级下·重庆·期末）已知，满足方程组，则 ________． 【变式3-2】（24-25七年级下·青海玉树·期末）对于二元一次方程组，把①代入②消去y后所得到的方程为，则①的方程是______． 【变式3-3】解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下： 圆圆：由②，得③(依据：____________) 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2(__________)． (1)补全上述空白部分内容； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 考点2 加减消元法 知识点2 加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 【例4】用加减消元法解方程组其解题步骤如下：（1），得，解得；（2），得，解得；所以原方程组的解为 则下列说法正确的是（    ） A．步骤(1)(2)都不对 B．步骤(1)(2)都对 C．本题不适宜用加减消元法解 D．加减消元法不能用两次 【变式4-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】阅读下列问题：解方程组 解：②得，③……步骤A ①-③得……步骤B， 所以，把代入②中，得……步骤C， 所以，所以这个方程组的解为，……步骤D 问：上述解方程组的步骤是否正确？若有错误，请指出在哪一个步骤出现错误，并写出正确的解答过程． 【变式4-3】（25-26七年级下·湖北荆州·期末）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得③第一步； ，得．第二步 将代入①，得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_______；以上求解步骤中，第一步的依据是_______； (2)第_______步开始出现错误，具体错误是_________； (3)求出该方程组的正确解． 【题型5 某个未知数的系数互为相反数用加法消元】 【例5】已知关于，的二元一次方程组的解中，均为整数，且为正整数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【变式5-1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则正整数的值是（     ） A．2或10 B．2或9 C．3或9 D．3或10 【变式5-3】（25-26七年级下·广东广州·期末）已知实数，满足，则代数式的值为_______． 【题型6 某个未知数的系数相同用减法消元】 【例6】（25-26七年级下·北京平谷·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，则的值是________． 【变式6-1】（25-26七年级下·甘肃天水·期中）若，则______． 【变式6-2】（25-26七年级下·天津河西·期末）方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【题型7 某个未知数的系数成a倍关系变形用加减法消元】 【例7】如果是的解，那么p，q的关系是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）解方程组： 【变式7-2】解方程组： 【变式7-3】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，，则（    ）． A． B． C． D． 考点3 解二元一次方程组的其他方法 知识点3 换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 【题型8 换元法解二元一次方程组】 【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是______． 【变式8-1】甲乙两位同学对问题“若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以通过换元替代的方法来解决” （1）你认为谁说得对？________（填甲或乙）； （2）这个题目的解应该是________． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南新乡·期末）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解这个方程组，得________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解方程组：． 【变式8-3】（25-26七年级下·吉林·期中）【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 【例9】阅读下面的材料解决问题． 解方程组． 解：由①得，将③代入②得，解得；把代入①解得，所以该方程组的解为，这种方法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组． 【变式9-1】阅读理解：已知实数x，y满足，在求和的值时，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得：，由 可得：．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”解决：对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知，，则________． 【变式9-2】（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 【题型10 二元一次方程组的错解复原问题】 【例10】甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得，乙解题时看错了n，解得，请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·期末）已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【变式10-2】（24-25七年级下·山东烟台·阶段检测）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·暑假作业）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【题型11 构造二元一次方程组求解】 【例11】（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【变式11-1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式11-2】定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则______． 【变式11-3】若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是______． 【题型12 二元一次方程组同解问题】 【例12】（25-26七年级下·山东泰安·期末）关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 【变式12-1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）已知方程组与方程组的解相同，则的值为___________ 【变式12-2】（25-26七年级下·山东泰安·期中）已知方程组与的解相同，则的值为_____________． 【变式12-3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组与方程组的解相同，则______． 【题型13 由二元一次方程组的解求另一方程组的解】 【例13】（25-26八年级上·重庆·周测）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是_____． 【变式13-1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________． 【变式13-2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是__________． 【变式13-3】（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【题型14 二元一次方程组与二次元一次方程的综合求解】 【例14】关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26七年级下·广西玉林·期末）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（     ） A．4 B． C． D．2 【变式14-2】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）已知关于，的方程组的解的和等于1，则的值是________． 【变式14-3】（24-25六年级下·上海·阶段检测）在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有2倍关系，那么这个方程组叫做“二倍解方程组”，若关于x、y的方程组是“二倍解方程组”，则a的值为______． 【题型15 求含参二元一次方程组满足的关系式】 【例15】已知x，y满足方程组，则无论k取何值，x，y恒有关系式是____． 【变式15-1】已知，则x与y之间的关系式为_________. 【变式15-2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知满足方程组，无论取何值，恒有关系式是______． 【变式15-3】已知是关于x，y的方程组，则无论a取何值，x，y恒有关系式是____________________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $