5.3 一元一次方程和它的解 课件 2025--2026学年浙教版七年级数学上册

5.3　一元一次方程和它的解 第5章　一元一次方程 1.了解一元一次方程的概念，会由实际问题列出一元一次方程.(重点) 2.准确把握一元一次方程的概念以及尝试运用检验的方法确定方程的解. 3.会利用等式的性质解简单的一元一次方程.(难点) 学习目标 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”你会解答本题吗？试着做一做. 情境引入 一、一元一次方程的概念 问题1　请你运用已学的方程知识，根据下列问题中的条件，分别列出方程. (1)一件衣服按8折销售的售价为72元，这件衣服的原价是多少元？设这件衣服的原价为x元，可列出方程：　　　　　　　； (2)在水下，水深每增加10米，物体承受的压力大约增加1个大气压.当“蛟龙”号下潜至3 500米时，它承受的压力为350个大气压.问当它承受压力增加到500个大气压时，它又继续下潜了多少米？设它又继续下潜了x米，可列出方程：　　　　　　　；   (3)小强、小杰、张明参加投篮比赛，按规定每人投20次.小强投进10个球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球.问小杰和张明各投进多少个？设张明投进x个，可列出方程：　　　　　　　.  80%x=72 350+x=500 =14 问题2　观察问题1中所列方程，请你说出它们的共同特点. 提示　(1)方程两边都是整式；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的次数都是一次. 1.一元一次方程的概念 只含有　个未知数，未知数的次数都是　次，且两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程. 2.一元一次方程具有以下特点： (1)只含有一个未知数； (2)所含未知数的最高次数为1； (3)含未知数的项的系数不为0； (4)一元一次方程是由整式组成的，即一元一次方程中分母不含未知数. 知识梳理 一 一 　　下列各式中：①-2+5=3；②3x-1=7；③m=0；④x+1≥3；⑤x+y=8；⑥2x2-5x+1=0；⑦2a+b；⑧=3x.哪些是方程　　　　　　，哪些是一元一次方程　　　　　.(将序号写到横线上)  例1 ②③⑤⑥⑧ ②③ 解析　①-2+5=3不是方程； ②3x-1=7是一元一次方程； ③m=0是一元一次方程； ④x+1≥3不是方程； ⑤x+y=8含有两个未知数，是方程，但不是一元一次方程； ⑥2x2-5x+1=0，未知数的次数是2，是方程，但不是一元一次方程； ⑦2a+b是代数式不是方程； ⑧=3x，分母中含有未知数，是方程，但不是一元一次方程. 故方程是②③⑤⑥⑧；一元一次方程是②③. 　　　(1)(2025·宁波北仑区期末)下列四个方程中，属于一元一次方程的是 A.2x=4 B.x+y=2 C.x+=2 D.x+1=x2 跟踪训练1 √ 解析　2x=4是一元一次方程，A符合题意； x+y=2含有两个未知数，不是一元一次方程，B不符合题意； x+=2含有分式，不是一元一次方程，C不符合题意； x+1=x2未知数的次数是2，不是一元一次方程，D不符合题意. (2)当k=　　　时，关于x的方程x2k+4-2=0是一元一次方程.  解析　因为关于x的方程x2k+4-2=0是一元一次方程， 所以2k+4=1， 解得k=-. - 二、一元一次方程的解 使一元一次方程两边　　的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根. 知识梳理 相等 　　检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解. (1)2x+5=10x-3(x=1)； 例2 解　当x=1时，左边=2×1+5=2+5=7， 右边=10×1-3=10-3=7， 左边=右边， 所以x=1是方程的解. (2)2(x-1)-(x+1)=3(x+1)-(x-1)(x=0). 解　当x=0时，左边=2×(0-1)-×(0+1)=-2-=-， 右边=3×(0+1)-×(0-1)=3+=， 左边≠右边， 所以x=0不是此方程的解. (1)已知x=2是一元一次方程3x+a=0的一个解，则a的值是 A.-6 B.-3 C.-4 D.-5 跟踪训练2 √ 解析　把x=2代入方程得6+a=0， 解得a=-6. (2)x=2是方程ax-4=0的解，检验x=3是不是方程2ax-5=3x-4a的解. 解　x=3不是方程2ax-5=3x-4a的解，理由： 因为x=2是方程ax-4=0的解， 所以把x=2代入得2a-4=0， 解得a=2， 将a=2代入方程2ax-5=3x-4a，得4x-5=3x-8， 将x=3代入该方程左边，则左边=7， 代入右边，则右边=1， 左边≠右边， 则x=3不是方程4x-5=3x-8的解. 三、利用等式的性质解简单的一元一次方程 (课本P135例题)利用等式的性质，解下列一元一次方程： (1)5x=50+4x； 例3 解　依据等式的性质1，方程的两边都减去4x，得5x-4x=50+4x-4x， 合并同类项，得x=50. 检验：把x=50代入方程， 左边=5×50=250，右边=50+4×50=250. 因为左边=右边，所以x=50是方程的解. (2)8-2x=9-4x. 解　方程的两边都加上4x，得 8-2x+4x=9-4x+4x， 合并同类项，得8+2x=9， 两边都减去8，得2x=1， 两边都除以2，得x=. 　　　　利用等式的性质求下列方程的解. (1)4x=8x-12； 跟踪训练3 解　方程的两边都减去8x，得4x-8x=8x-12-8x. 合并同类项，得-4x=-12. 两边都除以-4，得x=3. (2)0.4x-0.2=1.6-0.5x. 解　方程的两边都加上0.5x，得 0.4x-0.2+0.5x=1.6-0.5x+0.5x. 合并同类项，得0.9x-0.2=1.6. 两边都加上0.2，得0.9x=1.8. 两边都除以0.9，得x=2. 四、根据实际问题列一元一次方程 　　在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多20%，乙班植树的棵数比甲班的一半多10.设乙班植树x棵. (1)列两个不同的含x的式子来表示甲班植树的棵数； 例4 解　根据甲班植树的棵数比乙班多20%， 得甲班植树的棵数为x； 根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10， 得甲班植树的棵数为2. (2)根据题意列出含未知数x的方程； 解　根据题意可得x=2. (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25和35. 解　把x=25分别代入(2)中方程的左边和右边， 得左边=×25=30， 右边=2×=30， 因为左边=右边， 所以x=25是方程x=2的解， 即乙班植树的棵数是25. 由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30，而不是35. 　　　　在地球表面以下，每下降1 km温度就上升约10 ℃，假设地表温度是12 ℃，某矿井的温度是18 ℃，设该矿井在地表以下约x km处，则(1)可列方程为　　　　　　　；  (2)利用等式的性质求得x=　　　.  跟踪训练4 10x+12=18 0.6 课堂小结 1.下列选项中，是一元一次方程的是 A.x>-1 B.2x+3=-1 C.2+5=10-4+1 D.3x+2y=-6 √ 解析　x>-1不是等式，则A不符合题意； 2x+3=-1符合一元一次方程的定义，则B符合题意； 2+5=10-4+1不含未知数，不是方程，则C不符合题意； 3x+2y=-6含有两个未知数，不是一元一次方程，则D不符合题意. 随堂演练 2.若关于x的方程mxm-2-m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是 A.x=0 B.x=3 C.x=-3 D.x=2 √ 解析　由一元一次方程的特点得m-2=1，即m=3， 则这个方程是3x=0， 解得x=0. 随堂演练 3.《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有人共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三.问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元.求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x，则根据题意可列方程为 A.6x+45=8x+3 B.6x+45=8x-3 C.6x-45=8x+3 D.6x-45=8x-3 √ 随堂演练 4.若(m-3)+6=0是关于x的一元一次方程，求m的值. 解　由题意得 |m-2|=1且m-3≠0， 所以m=3或1且m≠3， 所以m=1. 随堂演练 5.利用等式性质解方程： (1)5x-2=-7x+8； 解　5x-2=-7x+8， 方程两边同时加2，得5x-2+2=-7x+8+2，即5x=-7x+10， 方程两边同时加7x，得5x+7x=-7x+7x+10，即12x=10， 方程两边同时除以12，得12x÷12=10÷12，即x=. 随堂演练 本课结束 $