精品解析：江苏省南京市致远初级中学2020-2021学年七年级下学期数学期末试卷

致远初级中学2020—2021学年第二学期期末质量检测 七年级 数学 总分值：100分 总时长：100分钟 注意事项： 1．选择题请用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 2．非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. 如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（ ） A. 形状和大小均相同 B. 形状相同，大小不同 C. 形状和大小均不相同 D. 大小相同，形状不同 2. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. x－3>y－3 B. C. x+3>y+3 D. －3x>－3y 3. 如果，，，那么a、b、c三数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题有（ ） （1）内错角相等； （2）三角形的三个内角中至多有一个钝角； （3）三角形三条高交于一点； （4）平行于同一直线的两条直线平行． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（ ） A. 8岁、20岁 B. 16岁、28岁 C. 15岁、27岁 D. 9岁、21岁 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知，，则______． 8. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是______． 9. 已知22n＋1＋4n＝48，则n＝__________． 10. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 11. 已知的解集为，则的解集为________． 12. 若是完全平方式，那么a的值是________． 13. 小华同学购买量角器、铅笔、橡皮3种学习用品，购买件数和用钱总数如下表： 量角器 铅笔 橡皮 总钱数（元） 第一次购买件数 1 7 3 24 第二次购买件数 1 10 4 33 则购买量角器、铅笔、橡皮各一件共需_________元钱． 14. 关于x的不等式只有两个正整数解，则a的取值范围是_______ 15. 用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是________．（选填“”、“”、“”、“”） 16. 如图,在四边形ABCD中,E.F分别是两组对边延长线的交点,EG.FG分别平分.,若,,则的大小是_________________ 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解：． 19. 解不等式组，并写出所有的整数解． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程组： （1）； （2） 22. 如图，点E、F在上，．求证． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，求CD的长． 24. 如图，中， ，D是上一点，且的角平分线分别交于点E、F．求证． 25. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？ 26. 问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你 能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ， 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，值最大，最大值是4． 所以最大值是4． 根据上面的经验，求代数式的最大值． 推广运用 某商品现在每件盈利10元，每天可卖出20件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件．当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？（注：总利润每件利润销量） 27. 提出问题】 如图①，点、、在同一条直线上，，，且，，易证≌． 类比探究】 （1）如图②，在和中，，若，，．求证：≌． 【知识应用】 （2）如图②，在和中，，若，，，若的度数是的倍，则__________． 【数学思考】 （3）如图②，在和中，，若，，当≌时，__________．（结果用含有的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 致远初级中学2020—2021学年第二学期期末质量检测 七年级 数学 总分值：100分 总时长：100分钟 注意事项： 1．选择题请用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 2．非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1. 如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（ ） A. 形状和大小均相同 B. 形状相同，大小不同 C. 形状和大小均不相同 D. 大小相同，形状不同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形全等的性质，根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状和大小均相同． 【详解】解：如果两个图形全等，则这两个图形必定是形状和大小均相同． 故选：A． 2. 若，则下列式子中错误的是（ ） A x－3>y－3 B. C. x+3>y+3 D. －3x>－3y 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，依次判断即可． 【详解】A、由于x>y，则x−3>y−3，故A正确； B、由于x>y，则，故B正确； C、由于x>y，则x+3>y+3，故C正确； D、由于x>y，则−3x＜−3y，故D错误． 故选D． 【点睛】本题考查不等式基本性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键． 3. 如果，，，那么a、b、c三数的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，有理数的大小比较，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再比较大小即可． 【详解】解：，，， 又∵， ∴． 故选：A． 4. 下列命题中，真命题有（ ） （1）内错角相等； （2）三角形的三个内角中至多有一个钝角； （3）三角形三条高交于一点； （4）平行于同一直线的两条直线平行． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查命题真假的判断，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形三条高的性质．根据行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形三条高的性质，逐项判断即可． 【详解】解：（1）两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故（1）不符合题意； （2）三角形的三个内角中至多有一个钝角是真命题，故（2）符合题意； （3）三角形三条高所在的直线交于一点，原命题是假命题，故（3）不符合题意； （4）在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行，原命题是真命题，故（4）符合题意； 综上分析可知：真命题只有2个． 故选：B． 5. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在的位置，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，平行线的性质，求出的度数，折叠的性质，得到的度数，再根据角的和差关系，即可得出结果． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故选D． 6. 小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（ ） A. 8岁、20岁 B. 16岁、28岁 C. 15岁、27岁 D. 9岁、21岁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将和两边同时平方后，再相减即可求出． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴得，． 故答案是：． 【点睛】考查了完全平方公式的应用，能熟记公式是解此题的关键． 8. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是______． 【答案】25或7##7或25 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①当两边长3和4是直角边时，则第三边的平方是， ②当是斜边时，则第三边的平方是． 故答案为：25或7． 9. 已知22n＋1＋4n＝48，则n＝__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先把左边利用同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算结合乘法的分配律化为，从而可得：于是可得答案. 【详解】解： 22n＋1＋4n＝48， ， 故答案：2 【点睛】本题考查的是幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，乘法分配律的应用，熟悉以上运算的运算法则是解题的关键. 10. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 11. 已知的解集为，则的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，利用换元法，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴则的解集为， ∴； 故答案为：． 12. 若是完全平方式，那么a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式．根据完全平方式的性质：，可得出答案． 【详解】解：∵是完全平方式． ∴， 解得， 故答案为：． 13. 小华同学购买量角器、铅笔、橡皮3种学习用品，购买件数和用钱总数如下表： 量角器 铅笔 橡皮 总钱数（元） 第一次购买件数 1 7 3 24 第二次购买件数 1 10 4 33 则购买量角器、铅笔、橡皮各一件共需_________元钱． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，根据：量角器铅笔橡皮元；量角器铅笔橡皮元，列方程组求解即可． 【详解】解：设购买一个量角器x元，一支铅笔y元，一块橡皮z元， 根据题意，得， ，得， ，得， ∴购买量角器、铅笔、橡皮各一件共需6元钱， 故答案为：6． 14. 关于x的不等式只有两个正整数解，则a的取值范围是_______ 【答案】6≤a＜9． 【解析】 【分析】解不等式得x≤，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断的取值范围，求出a的取值范围． 【详解】原不等式解得x≤， ∵解集中只有两个正整数解， 则这两个正整数解是1，2， ∴2≤＜3， 解得6≤a＜9． 故答案为6≤a＜9． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 15. 用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是________．（选填“”、“”、“”、“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．连接，，根据证，即可推出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： 在和中， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故答案为：． 16. 如图,在四边形ABCD中,E.F分别是两组对边延长线的交点,EG.FG分别平分.,若,,则的大小是_________________ 【答案】110° 【解析】 【分析】根据题意，由三角形内角和等于180°性质得出∠EGF＝180°−（∠GFE＋∠GEF），然后根据三角形角平分线及外角的性质依次代入得出结论． 【详解】解：连接EF， 根据三角形内角和等于180°及三角形角平分线的性质可得， ∠EGF＝180°−（∠GFE＋∠GEF） ＝180°−（∠CFE−∠CFG＋∠CEF−∠CEG） ＝180°−（∠CFE＋∠CEF）＋（∠CFG＋∠CEG） ＝180°−（180°−∠C）＋（∠CFD＋∠CEB） ＝∠C＋（∠CFD＋∠CEB） ＝∠C＋（180°−∠C−∠CDA＋180°−∠C−∠CBA） ＝∠C＋（360°−2∠C−80°−60°） ＝110°， 故答案为110°. 【点睛】本题主要考查了角平分线定义、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，准确识别图形，找到各角之间的关系，运用相关性质定理进行推理计算是解题关键. 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘除法和积的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据有理数的乘方法则、0指数幂和负整数指数幂的法则计算，再计算加减； （2）先根据同底数幂的乘除法和积的乘方法则计算，再计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 19. 解不等式组，并写出所有的整数解． 【答案】-1≤x<2；整数解-1，0，1 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可． 【详解】解：， 解①得，x<2； 解②得，x≥-1； ∴不等式组的解集是-1≤x<2，整数解有-1，0，1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式法则，平方差公式，合并同类项法则等化简，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 解方程组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解集为； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入②得， 解得：， ∴原方程组的解为． 22. 如图，点E、F在上，．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明，进而得到，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，求CD的长． 【答案】1.4. 【解析】 【分析】设出AC、CD的长，由勾股定理列方程求出CD的长． 【详解】设CD＝x，则AD2－CD2＝AB2－BC2， 即52－x2＝82－(5＋x)2， ∴25－x2＝64－25－10x－x2， 即10x＝14， x＝1.4, ∴CD的长为1.4m. 【点睛】此题主要考查了勾股定理和二元二次方程组解法，难度适中． 24. 如图，中， ，D是上一点，且的角平分线分别交于点E、F．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键，根据角的和差关系结合等量代换得到，进而得到，再根据角平分线的定义，等角的余角相等，得到，结合对顶角相等，即可得证． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 25. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？ 【答案】13 【解析】 【分析】根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分≤90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解． 【详解】解：设应答对x道，则：10x﹣5（20﹣x）＞90解得x＞． ∵x取整数，∴x最小为：13． 答：他至少要答对13道题． 26. 问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你 能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ， 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 根据上面的经验，求代数式的最大值． 推广运用 某商品现在每件盈利10元，每天可卖出20件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件．当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？（注：总利润每件利润销量） 【答案】代数式的最大值为14；当每件商品涨价5元时，每天的利润最大值为225元 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法． 仿照题中例子配出完全平方公式求出的最大值即可； 设每件商品涨价x元，则涨价后每天获得的总利润为，仿照例题构建完全平方即可求解． 【详解】解： 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为14， 设每件商品涨价x元，则涨价后每天获得的总利润为： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为225， 即当每件商品涨价5元时，每天的利润最大值为225元． 27. 【提出问题】 如图①，点、、在同一条直线上，，，且，，易证≌． 【类比探究】 （1）如图②，在和中，，若，，．求证：≌． 【知识应用】 （2）如图②，在和中，，若，，，若的度数是的倍，则__________． 【数学思考】 （3）如图②，在和中，，若，，当≌时，__________．（结果用含有的代数式表示） 【答案】（1）证明见解析（2）36；（3） 【解析】 【分析】 【分析】(1)先证，，可得，再根据AAS，证≌； （2）由（）可得≌，所以，，再证，由得，故所以，； （3）结合（1）和（2）思路，由全等三角形性质和三角形内角和性质，可证得. 【详解】（）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌． （）由（）可得≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴． （）∵≌， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考核知识点：全等三角形，三角形内角和.本题比较综合，要灵活运用全等三角形性质和三角形内角和性质方可证出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $