4.4一次函数的应用 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 第4课 一次函数的应用 第1课时 确定函数关系式 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.经历分析实际问题中两个变量之间的关系并解决有关问题，发展模型观念，增强应用意识. 2.会计算一次函数的关系式，能利用一次函数图象分析、解决简单的实际问题，进一步体会数形结合的思想. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 生活中有些变量之间的关系常常以表格或图象的形式呈现，需要我们通过观察、分析、计算等过程，才能得到它们的关系式. 问题：如何根据题目要求得出相应的一次函数表达式呢？ -2 -1 0 1 2 -4 -2 0 2 4 4 问题构建 某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(单位:m/s)与其下滑时间t(单位:s)的关系如图所示. （1)写出v与t之间的关系式； （2)物体下滑3s时速度是多少？ 问题1：观察图象，它是什么图形?为什么是这个图形？ 一条射线，因为本例的背景是均匀变化的速度 追问1：射线的端点有什么意义？对于自变量的取值范围,你有什么想法？ 端点代表物体未出发时，速度为0. 自变量的取值范围是. 问题构建 某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(单位:m/s)与其下滑时间t(单位:s)的关系如图所示. （1)写出v与t之间的关系式； （2)物体下滑3s时速度是多少？ 追问2:v与t有可能满足怎样的函数关系？你是怎样确定的？ 正比例函数关系，因为图象经过原点. 追问3:确定正比例函数关系式从图象研究需要几个点的坐标？为什么？ 一个点，因为v=kt,只有k一个量是未知的. 追问4：你打算选择哪个点？你的结果是多少？ (2,5),把这个点代入v=kt,2k=5,k=,v= t. 问题构建 某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(单位:m/s)与其下滑时间t(单位:s)的关系如图所示. （1)写出v与t之间的关系式； （2)物体下滑3s时速度是多少？ 问题2：计算k的值，你还有不同的方法吗？你的依据是什么？ 学习正比例函数过程中，我们知道k反映均匀变化的快慢，观察图象可得，时间增加了2分钟，速度增加了5m/s，所以k=5÷2=2.5，v=2.5t. 当t=3s时，v=3×2.5=7.5m/s. 问题构建 问题3:确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢?与同伴进行交流. 因为，正比例函数表达式为，所以只需要找到一个条件，可以是一个点或者是可观察计算的其他信息；一次函数表达式为,表达式中包含了两个未知的量，所以需要条件，这两个条件应该会以某种方式呈现在题目中. 协作破冰 例 1 在弹性限度内,弹簧的长度单位:cm)是所挂物体质量（单位:kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm:当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm.写出与之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度. 问题4：你能找到解决本例所需要的两个条件吗？你是怎样找到的？ 可以找到，某弹簧不挂物体时长14.5cm，可以得出b=14.5； 当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm.可以得出当=3时, =16; 追问：从点的坐标角度理解，你能得到几个点？分别是什么？ 两个，(0,14.5)(3,16) 教师示范 例 1 在弹性限度内,弹簧的长度单位:cm)是所挂物体质量（单位:kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm:当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm.写出与之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度. 解：设,根据题意,得: 14.5=b, ① 16=3k+b. ② 将①代入②,得 k=0.5. 所以在弹性限度内， 当=4时，y=0.5×4+14.5=16.5. 因此,当所挂物体的质量为4kg时,弹簧长度为16.5cm. 教师示范 例 1 在弹性限度内,弹簧的长度单位:cm)是所挂物体质量（单位:kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm:当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16cm.写出与之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度. 问题5:你还有其它思路解决本例中的问题吗？和同学讨论一下. 本例中已经告诉我们研究对象是一次函数，根据弹簧不挂物体时长14.5cm这句话可以确定b的值是14.5，只需要确定k的值可以解决问题.而一次函数是均匀变化的，自变量每增加1，函数值就增加k.挂3kg物体时，弹簧伸长了(16-14.5)cm,也就是1.5cm,因此所挂物理的质量每增加1kg,弹簧就伸长0.5cm，于是可知k=0.5. 教师示范 例2：某根蜡烛燃烧前长30cm:燃烧时,剩下的长度(单位:cm)是燃烧时间(单位:h)的一次函数.当这根蜡烛燃烧2h时,其长度为18cm. （1）写出与之间的关系式； （2）这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 解: (1)设与之间的关系式为由题意得： 30=b, ① 18=2k+b. ② 将①代入②,得 k=-6. 所以在弹性限度内， (2)最多燃烧时间就是剩余蜡烛长度为0时，当， ,所以.因此，这根蜡烛最多能燃烧5h. 巩固拓展 例2：某根蜡烛燃烧前长30cm:燃烧时,剩下的长度(单位:cm)是燃烧时间(单位:h)的一次函数.当这根蜡烛燃烧2h时,其长度为18cm. （1）写出与之间的关系式； （2）这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 本例中已经告诉我们研究对象是一次函数，根据某根蜡烛燃烧前长30cm这句话可以确定b的值是30，只需要确定k的值可以解决问题.而一次函数是均匀变化的，自变量每增加1，函数值就增加k.当这根蜡烛燃烧2h时,其长度为18cm,也就是燃烧了12cm,因此蜡烛燃烧时间每增加1h,蜡烛就燃烧6cm，于是可知k=-6. 问题6：你能解释刚才的思考中答案为什么是k=-6吗？ 巩固拓展 例2：某根蜡烛燃烧前长30cm:燃烧时,剩下的长度(单位:cm)是燃烧时间(单位:h)的一次函数.当这根蜡烛燃烧2h时,其长度为18cm. （1）写出与之间的关系式； （2）这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 如果从图象的角度观察，你有解决问题的办法吗？ 直接读取点的坐标 分析图象寻找k 巩固拓展 已知一次函数的图象过点（0，2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2,求此一次函数的表达式. 解：设一次函数的表达式为(k≠0) ∵一次函数的图象过点（0，2）， ∴b=2 ∵一次函数的图象与x轴的交点是( 0)，则 解得k=1或-1. 故此一次函数的表达式为或 教师示范 1.读取题目信息，转化为点的坐标，代入函数表达式，借助方程求解. 2.借助一次函数均匀变化的特征，直接分析得出k的值，再借助题目信息得出b的值. 3.有时也可以借助函数图象获取信息，解决问题得出答案. 求一次函数表达式的一般方法 当堂检测 1.随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即 含氧量与大气压强成正比例函数关系.当 时， ,则含氧量与大气压强 之间的关系式是_______. 当大气压强是时，含氧量是____ . 87 说一说你是怎样计算的？ 当堂检测 2.如图，已知B中的实数与A中的实数之间的对应关 系是某个一次函数. （1）若用表示B中的实数，用 表示A中的实数， 求与 之间的函数表达式. 解：设一次函数的表达式为 .根据题意，得 ，① .② 将①代入②，得 . 与之间的函数表达式为 . 当堂检测 （2）求 的值. 解：在中，当时， ；当 时，，解得 . . 当堂检测 3.杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂物体的质量不同， 使得秤砣到秤纽的水平距离不同.称重时，秤钩所挂物重为时， 秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 .下表为若干次称重时所记录 的一些数据，且是 的一次函数. 0 0.75 1.00 ______ 2.25 3.25 1 2 4 7 ______ 注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离 为正，在右侧时为负. （1）根据题意，完成上表. 解：1.50; 11 当堂检测 （2）请求出与 之间的关系式. 解：设与之间的关系式为 .根据题意，得 ，① .② 将①代入②，得 . 与之间的关系式为 . 当堂检测 （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 时，秤钩所挂物重是 _____ . 4.25 反思总结 1.求一次函数表达式你有哪些方法？ 2.学习本节课相关内容时，你体会到哪些数学思想？ 3. 生活中还有其他有可能符合一次函数模型的实例吗？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本P96页 第1,2,3题 二、素养类作业 搜索生活中可能符合一次函数模型的例子，记录下来. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $