精品解析：2026年上海市宝山区上海交通大学附属中学模拟预测数学试题

2025学年上海市交通大学附属中学九年级中考 第一次模拟测试（B卷）数学试卷 （考试时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．本卷选择题均为单选题 2．试卷共5页，答题纸共4页，在答题纸上准确填写个人信息，所有选涂部分均在选择题作答区． 3．不可以携带或使用科学计算器 4．考试时间100分钟，满分150分，解答题需要写出必要过程 一、选择题（6题，每题均为4分，共16分） 1. 2025年某市财政投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1250亿即125000000000， ， 故选B 2. 某校教师志愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情况进行的统计： 次数/次 10 8 7 4 人数 3 4 2 1 那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（ ） A. 中位数是8，平均数是8 B. 中位数是8，众数是3 C. 中位数是3，平均数是8 D. 中位数是3，众数是8 【答案】A 【解析】 【分析】由表格可直接进行求解． 【详解】解：由表格得：次数为8的人数有4人，故众数为8，这组数据的中位数为，平均数为； 故选A． 【点睛】本题主要考查平均数、众数及中位数，熟练掌握平均数、众数与中位数的求法是解题的关键． 3. 现有五张纸片，这五张纸片上的几何图形分别是等边三角形、矩形、等腰梯形、正五边形、圆，从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，中心对称图形的识别．在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．先判断出5个图形中中心对称图形的数量，再直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：等边三角形、矩形、等腰梯形、正五边形、圆，这5个图形中：矩形、圆是中心对称图形，共2个， 因此从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是， 故选B． 4. 四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到，，进而由等面积法确定，再由菱形的判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形为矩形， ，， 过作对角线的垂线，过作对角线的垂线， ， 如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形， 故选：A． 5. 正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（ ） A. 与之间是正比例函数关系； B. 与之间是反比例函数关系； C. 与之间是一次函数关系； D. 与之间是二次函数关系． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，判断是否为反比例函数，先结合正多边形的一个外角的大小（度）与它的边数的关系为，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴与之间是反比例函数关系； 故选B． 6. 对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的判断，圆与圆的位置关系，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．根据圆与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，①错误； ②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，②正确． 故选：B． 二、填空题（12题，每题均为4分，共48分） 7. 方程的解为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可． 【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2 ∴x2﹣2x﹣3＝0， 解方程得：x1＝3，x2＝﹣1， 检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解， 当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解． 故答案为3． 【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则 8. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求函数值．把自变量的值代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案： 9. 有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为______米． 【答案】2.6 【解析】 【分析】本题主要考查了对坡度的理解，坡度通常定义为垂直高度与水平距离的比值． 题目中给出的坡度i=12∶5，表示垂直高度与水平距离的比例为，已知最高点到地面的距离为2.4米，需先求出水平距离，再利用勾股定理求斜边长． 【详解】设水平距离为米，斜边长为米， 根据题意可得：， ， ． 故答案是2.6． 10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时． 根据一元二次方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 11. 已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据“自变量系数小于零时，y的值随x的值增大而减小，”得，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12. 已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；先求出对称轴，再根据纵坐标相等的两点关于对称轴对称即可得解； 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，， ， ． 故答案为：. 13. 某工厂今年三月份的产值是90万元，调整生产线后，计划五月份的产值要达到120万元．如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为，那么依题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设这个增长率为，那么四月份产值为，五月份产值为，然后根据五月份的产值要达到120万元，列出方程即可． 【详解】解：设这个增长率为，那么有 故答案为：． 14. 关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把两式相加求出的值，再代入中得到关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ①②得，， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的解以及解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知条件表示出2x+y的值，再得到关于m的不等式． 15. 如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则________（结果用含，的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵E是上一点，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中线求三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出和四边形的面积比即可． 【详解】解：如图，连接． 设， ，点D是边的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 17. 我们把一条对角线是另一条对角线2倍的四边形叫“奇异四边形”，现有两个全等的直角三角形，一条直角边长是1，如果它们可以拼成对角线互相垂直的“奇异四边形”，那么直角三角形另一条直角边长是________． 【答案】2或2 【解析】 【分析】本题考查了新定义：“奇异四边形”，勾股定理，全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质等；分类讨论：（1）当时，设，可得，，由全等三角形的性质得，，，由等腰三角形的判定及性质得，由的等积转换得，由勾股定理得，求出值，即可求解；（2）当时，设，且，，同理可求； 理解新定义，能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：（1）当时， 如图1所示： 设， ，， ， ， ，， 是等腰三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， 解得：， 在中， ， ， 解得： 或， 或（舍去）， ， ； （2）当时，设，且， ，如图1所示： 同理可求得： 或， 或（舍去）， ∵， ； 综合所述，另一条直角边的长为或， 故答案：或． 18. 已知矩形，点E是边的中点，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在对角线上，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到，，，求得，再根据折叠的性质得到，，，求得，推出，由E是边的中点，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】如图，延长交于G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵将沿折叠，点A落到点F处， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ， 故答案：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数定义等知识，解题关键是熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理． 三、解答题（7题，共78分） 19. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化进行化简即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． （1）求：展板最低点B到地面的距离； （2）如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【答案】（1）展板最低点到地面的距离为； （2）当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线． （1）过作于，过点作于，作于，解直角三角形求出，，最后求出结果即可； （2）过点作于点，作于点，设，则，根据，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图2，过作于，过点作于，作于， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 答：展板最低点到地面的距离为； 【小问2详解】 如图，过点作于点，作于点， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， 设， ， ，，， ， 在中，， ， ， 答：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为． 21. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． （1）求k与m的值： （2）直线与x轴交于点B，过点B作y轴平行线．交双曲线于点C，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题． （1）先利用一次函数求出m的值，得到点，再代入反比例函数解析式求出k的值即可： （2）求出点B的坐标，再求出点C的坐标，即可求出答案． 【小问1详解】 解：把点代入得到， ∴， 把代入得到， 解得 【小问2详解】 当时，，解得， ∴点B的坐标为， 由（1）可得，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ ∵， ∴的面积为． 22. 同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． （1）直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 【答案】（1）等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为； （2）画图见解析． 【解析】 【分析】（）①解直角三角形即可求解； 由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （）根据题意画出图形即可； 本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 【小问1详解】 解：①如图，为等腰直角三角板，， 则； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； 【小问2详解】 解：如图，即为所作图形． 23. 如图，在中，是边上的中线，点E在上（不与A，D重合），连接，并延长交于点F，． （1）求证：； （2）当时，求证： 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由是边上的中线，得，由，证明，得，所以，因为，所以； （2）由，得，而，所以，因为，所以，则，由，得，则，所以． 【小问1详解】 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 24. 定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． （1）如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． （2）如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键． （1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可； （2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式； ②设点，过点C、B作垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解． 【小问1详解】 解：过点M作，设圆M的半径为R， ∵，， ∴， ∵圆M是点P与直线的点切圆， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①过点M作,， 由（1）得，则，，则， 在中，得：，化简得：． ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E， ∵， ∴， ∴，则， ∴点代入得： 解得：或， ∴点或． 25. 定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点P，D，E分别在，，上，连接，，． （1）如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； （2）如图2，当，，是的镶嵌相似形，，求：的值； （3）如图3，当，，，是的镶嵌相似形，且与不平行时，试求：边的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，由平行截得线段成比例，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）由平行线分线段成比例可得，，根据P是中点得，所以，即可得到，从而得证； （2）由题易得和是等腰三角形，所以易得，利用三等角模型可得，进而转化比例线段可得，由可求得的值，进而得解； （3）分①，②两种情况讨论，再利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵P是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； 小问2详解】 ∵是的镶嵌相似形，， ∴也是等腰三角形，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵是的镶嵌相似形，， ①当时， 有， 过点P作于H，作于I， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 设，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∵， ∴， 解得：（舍去负值） ∴； ②当时， 此时，则， 显然不成立，舍去； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年上海市交通大学附属中学九年级中考 第一次模拟测试（B卷）数学试卷 （考试时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．本卷选择题均为单选题 2．试卷共5页，答题纸共4页，在答题纸上准确填写个人信息，所有选涂部分均在选择题作答区． 3．不可以携带或使用科学计算器 4．考试时间100分钟，满分150分，解答题需要写出必要过程 一、选择题（6题，每题均为4分，共16分） 1. 2025年某市财政投入乡村振兴资金为1250亿元，将“1250亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 某校教师志愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情况进行的统计： 次数/次 10 8 7 4 人数 3 4 2 1 那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（ ） A. 中位数是8，平均数是8 B. 中位数是8，众数是3 C. 中位数是3，平均数是8 D. 中位数是3，众数是8 3. 现有五张纸片，这五张纸片上的几何图形分别是等边三角形、矩形、等腰梯形、正五边形、圆，从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形 5. 正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（ ） A. 与之间是正比例函数关系； B. 与之间是反比例函数关系； C. 与之间是一次函数关系； D. 与之间是二次函数关系． 6. 对于命题：①一个圆上所有点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①和②都正确 D. ①和②都错误 二、填空题（12题，每题均为4分，共48分） 7. 方程解为_____． 8. 如果，那么______． 9. 有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为______米． 10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是_______． 11. 已知正比例函数，y值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为_______． 12. 已知、是抛物线上不同的两点，如果，那么__． 13. 某工厂今年三月份的产值是90万元，调整生产线后，计划五月份的产值要达到120万元．如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为，那么依题意可列方程为__________． 14. 关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是______． 15. 如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则________（结果用含，的式子表示）． 16. 如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是________． 17. 我们把一条对角线是另一条对角线2倍四边形叫“奇异四边形”，现有两个全等的直角三角形，一条直角边长是1，如果它们可以拼成对角线互相垂直的“奇异四边形”，那么直角三角形另一条直角边长是________． 18. 已知矩形，点E是边的中点，将沿翻折，点A的对应点F恰好落在对角线上，那么________． 三、解答题（7题，共78分） 19. 计算：． 20. 图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． （1）求：展板最低点B到地面的距离； （2）如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 21. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． （1）求k与m的值： （2）直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 22. 同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． （1）直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形底、高和面积（结果用表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 23. 如图，在中，是边上的中线，点E在上（不与A，D重合），连接，并延长交于点F，． （1）求证：； （2）当时，求证： 24. 定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． （1）如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． （2）如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 25. 定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点P，D，E分别在，，上，连接，，． （1）如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； （2）如图2，当，，是的镶嵌相似形，，求：的值； （3）如图3，当，，，是的镶嵌相似形，且与不平行时，试求：边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $