平面向量的数量积讲义-2026届高三数学一轮复习

平面向量的数量积

课前学习任务

一、课标解读

1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.

2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

3.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.

4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.

二、必备知识

1.平面向量数量积的概念

(1)向量的夹角

已知两个　　　　　向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹 

角是,我们说a与b垂直,记作　　　　　. 

(2)平面向量的数量积

已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ. 

规定:零向量与任一向量的数量积为　　　　. 

(3)投影向量

如图,在平面内任取一点O,作=a,=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.

[教材知识深化]

1.投影向量仍然是一个向量.

2.向量a在b上的投影向量与b共线,其模等于|a||cos<a,b>|=;向量b在a上的投影向量与a共线,其模等于|b||cos<a,b>|=.

3.向量a在b上的投影向量=|a|cos<a,b>e(e为与b同向的单位向量).

2.平面向量数量积的性质及坐标表示

已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.

 

 

3.向量数量积的运算律

 

[教材知识深化]

向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.

三、自主诊断

一、基础自测

1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)两个向量的夹角的范围是0,. (　　)

(2)由a·b=0可得a=0或b=0. (　　)

(3)在△ABC中,设=a,=b,则a与b的夹角为∠ABC. (　　)

(4)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. (　　)

2.(人教A版必修第二册习题6.2第11(2)题改编)已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,则|a+b|=　　　　. 

3.(人教A版必修第二册6.2.4节例10)设|a|=12,|b|=9,a·b=-54,求a与b的夹角θ.

 

 

 

 

4.(人教A版必修第二册6.2.4节例12)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).