第三章 函数的概念与性质 复习讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第三章 函数的概念与性质 知识归纳与题型总结 题型01 函数的概念 1、 函数的概念： 1、 函数定义： （1） 简单来说，A、B 是两个不为空的实数集合。对于集合 A 里任意一个数 x，按照某个固定的对应规则 f，在集合 B 中总能找到唯一一个确定的数 y 和它配对。我们就把f：A→B称为从集合 A 到集合 B 的函数，记成y=f(x)，其中x属于集合 A。 （2） 函数具备 4 个特点： 1 集合非空：A 和 B 都必须是非空数集，不存在定义域或者值域是空集的函数。 2 全部对应：定义域内的每一个元素，都能找到对应的函数值。 3 一 x 对一 y：任意一个自变量 x，只能对应唯一一个函数值 y。 4 有方向：函数是定义域指向值域的对应，调转方向之后，新的对应不一定还能构成函数。 2．函数的三要素 （1）定义域：自变量 x 能够取到的所有数值构成的范围。 (2)值域：自变量 x 取对应值得到的 y 叫做函数值；全部函数值组成的集合{f(x)|x∈A}就是函数的值域。 （3）对应关系：对应法则 f 是函数的核心，相当于对自变量 x 进行运算转化的规则、方式。 二、函数的定义域与值域 1. 已知解析式，求定义域求解思路： 保证解析式里面所有运算、式子都能成立，据此列出不等式（组）并求解；如果是实际应用题，定义域还要符合现实场景。 2．抽象函数定义域求解思路 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 3、 函数的相等 1． 相同函数 两个函数为同一个函数的判定条件： 定义域相同，并且对应法则也完全一致，二者缺一不可。 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【典例1-1】设定义在上的函数满足，且对任意都有，则＝____;＝____. 【答案】 2 2027 【分析】利用赋值法，令求出，再令，可得两个关于的等式，联立求解出的表达式，最后代入的值求出与. 【详解】令，得， 令，则， 即①，又因为， 令代入，得， 即②，联立①②得，所以，. 【典例1-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 可得集合， 又由函数，可得，解得，可得集合， 根据集合交集的定义与运算，可得 【典例1-3】函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 题型02 函数的表示法 一、函数的表示法 1．函数的三种表示法 （1）解析法：用数学式子（解析式）表示变量对应关系，优点：便于计算、研究性质；缺点：部分函数写不出解析式。 （2）列表法：表格列出自变量与函数值，优点：直接读出对应值；缺点：只能表示有限个自变量。 （3）图象法：用平面直角坐标系中的图像表示，优点：直观看到增减、最值；缺点：读数有误差。 注意：一个函数可以同时用多种方式表示；不是所有函数都有解析式。 2．抽象函数与复合函数 （1）抽象函数 没有给出具体解析式，只给对应关系（如 f(x+y)=f(x)+f(y)），叫抽象函数。 👉 常考：定义域、单调性、奇偶性、赋值法求值。 (2) 复合函数 y=f(g(x)) 内层：t=g(x)，外层：y=f(t) 条件：内层的值域 C外层定义域 A 复合函数定义域：是 x 的范围，不是中间变量 t 的范围 口诀：由外向内看对应，由内向外求范围 3．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 二、分段函数 1．分段函数定义 在定义域的不同区间上，有不同解析式的函数叫做分段函数。 ⚠️ 关键点：分段函数是一个函数，不是多个函数！ 书写格式：用一个左大括号把几段表达式括在一起，每一段后面标注该段自变量 x 的取值范围。 2． 分段函数解题核心思路 分段函数，分段解决（分类讨论） （1） 求函数值：先判断自变量 x 落在哪一段的范围，再代入对应解析式计算； （2） 解不等式、求参数、求值域：按区间分段讨论，最后检验结果是否符合本段 x 的范围； （3） 画图象：一段一段分别画，注意区间端点是实心还是空心； 【典例2-1】设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 【典例2-2】画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）通过分离常数把分式函数化成反比例平移型，借助图象平移或对称中心确定函数图象，由渐近线得到值域； （2）分段分别求出各段函数取值范围再取并集，结合函数图像观察纵坐标整体变化得到值域； （3）先画出内层二次函数图像，把轴下方部分沿轴向上翻折，观察翻折后图像纵坐标得到函数值域； （4）先画出函数在轴及右侧部分图像，利用偶函数关于轴对称补全左侧图像，观察图像纵坐标得到值域； （5）去掉绝对值将函数改写为分段函数，画出分段函数图像，依据图像纵坐标范围读出函数的值域. 【详解】（1）法一：，其图象为的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得， 如图所示： 由图可得其值域为； 法二：分离常数，则函数取不到的点即为二四象限反比例函数的对称中心，可直接利用函数对称中心画出反比例函数平移后的图像 （2）的图象如图所示： 由图可得其值域为； （3）先作出的图象，然后保留轴上以及轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （4）先作出的图象，然后保留轴上以及轴右侧的部分， 将轴左侧的图象换成与轴右侧的图象关于轴对称的图象， 得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （5）将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数，它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为. 【典例2-3】若满足，当时，，则时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法结合题意可得，当时，，由，可得进而计算可解. 【详解】令得，，所以或， 当时，有，与时，矛盾，故， 当时，，则， 因为，得， 所以，即时，的取值范围为. 考点03 单调性与最大（小）值 一、函数的单调性 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)2+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、函数单调性的判断 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 三、函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【典例3-1】设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根． （1）则的取值范围是___________； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】第一空：根据题意，只需满足求解即可；第二空：将分离，得到关于的不等式，令进行换元，得到关于的函数，求出该函数的单调性，根据题中条件可知，函数有解，求得该函数的最大值即可. 【详解】由方程至多一个实数根需满足，其中判别式： ， 解得 即的取值范围为; 对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即实数的取值范围. 【典例3-2】若“，”为真命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先转化恒成立条件，然后求二次函数的区间最大值，进而确定范围. 【详解】已知“，”为真命题，即该不等式对所有恒成立， 将不等式化简得，即，即需大于等于函数在区间上的最大值. 由于，根据抛物线的性质可知，当时，函数取得最大值为. 要使在上恒成立，只需，所以实数的取值范围为. 【典例3-3】已知，，且满足. (1)求 的最小值； (2)求 的最小值. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据，求解出的取值范围，结合完全平方公式即可求解； （2）根据得到，令，，原式可化为，通过“1”的代换，利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 令，因为，所以， 所以，解得，即， 因此有， 令，则，其中， 根据二次函数的图象可知： 当时，函数， 取得最小值时，，且， 因此的最小值为. （2）因为，因此，令，，则有， 对于，因此， 同理有， 所以原式可化为， 对于， 即，当时等号成立， 此时，， 因此上述代数式的最小值为. 考点04 奇偶性 一、函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. （2）奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数：函数是奇函数=图象关于原点中心对称。 ②偶函数：函数是偶函数=图象关于y 轴对称。 ③重要单调性与最值结论 奇函数：在原点对称的区间上，单调性相同；最值互为相反数，取最值的自变量互为相反数。 偶函数：在原点对称的区间上，单调性相反；最值相等，取最值的自变量互为相反数。 (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1) 求函数值、求参数：利用奇偶性转化，把未知区间自变量转到已知区间，列方程求参数； (2) 画图象：画出一侧图象，利用对称性直接补出对称区间的图象； (3) 解不等式、比较大小：结合奇偶性 + 单调性综合解题（高频考点）。 二、函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 三、函数的周期性与对称性 1．函数的周期性 (1)周期定义：已知函数y=f(x)，若存在非零常数T，使对定义域的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T为函数f(x)的周期. (2)函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) ①若f(x+a)=f(x)，则T=a； ②若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； ③若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； ④若f(x+a)=，则T=2a； ⑤若f(x+a)=，则T=2a； ⑥若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b). 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【典例4-1】已知函数的最大值为，最小值为，若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】将函数拆分为常数项与奇函数之和，利用奇函数最大值与最小值互为相反数的性质建立方程求解. 【详解】 ， 设，则，的定义域为， 对任意， ，故是奇函数， 设的最大值为，最小值为，由奇函数性质得， 则的最大值，最小值， 因此 ， 由题设，得，解得. 【典例4-2】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数的定义域为. ， 且， 为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除D； 又且时，，故排除C； 当时，，故A不正确，B正确. 【典例4-3】（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对； 对于B选项，函数的定义域为R， 令，可得，则， 故函数是奇函数，B对； 对于C选项，任取、且，则， 即 ，所以， 所以，函数为R上的减函数， 所以，在上有最大值，C错； 对于D选项，由于为R上的减函数，由，可得，解得，D对. 考点05 幂函数 一、幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 二、幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 三、对勾函数的图象与性质 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减. 【典例5-1】已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 【典例5-2】“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由幂函数的性质可知，当时，函数在上单调递增； 若函数在上单调递增，则，不能推出. 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 【典例5-3】设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 考点06 函数的应用（一） 一、一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 二、幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 三、分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 4、 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 【典例6-1】某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元. (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由总成本，得到平均成本，再利用基本不等式，求解即可. （2）引进台机器人后，求得分段函数的最大值，再除以，求解即可. 【详解】（1）购买台机器人的总成本万元， 每台机器人的平均成本， 当且仅当，即时，等号成立， 所以若使每台机器人的平均成本最低，应买台． （2）， 当时，， 当时，的最大值为件； 当时，件. 台机器人每日的总分拣量为件，完成这些分拣任务所需要的传统人工数为人. 【典例6-2】为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，且每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)7万件；万元. 【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果； （2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可. 【详解】（1）因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元， 依题意得，当时，；     当时，， 所以； （2）当时，， 当时，取得最大值；     当时，设， 则即， 函数在区间上为减函数.     当时，取得最大值， 由，则可知年产量为7万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元. 【典例6-3】某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：. (1)设，求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； (2)该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】(1) (2)110吨 【分析】（1）根据自变量范围和分段函数解析式，列出不等式，求出结果即可； （2）根据分段函数解析式，写出每吨的平均处理成本解析式，进而根据二次函数性质和基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意可得,月处理成本不超过30000元， 即为，解得， 可得月处理量x的取值范围为； （2）由题意可得每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号，取得最小值； 综上，当月处理量为110吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 一、单选题 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要使函数有意义得，再由绝对值的零点分段法讨论可得. 【详解】要使函数有意义，则， 由绝对值的零点为、、，按这三个点划分区间分段讨论： 当时：去绝对值得，分母恒为，函数无意义，舍去； 当时：去绝对值得， 此区间内分母恒不为，函数有意义； 当时：去绝对值得， 在区间内分母恒不为，函数有意义； 当时：去绝对值得，分母恒为，函数无意义，舍去； 综上，当时，函数有意义，因此函数定义域为. 2．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；②若、、均是增函数，则、、均是增函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】C 【分析】命题①：令可以求解出、、判断；命题②举反例即可. 【详解】对于命题①：令,则， 由于、、均是以为周期的函数， 即，，， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，同理可知、均是以为周期的函数，所以命题①为真命题； 对于命题②，设，，， 则，，均为增函数， 而、、不全是增函数，故命题②为假命题. 3．已知为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的性质得出，再令，即可求解． 【详解】因为为偶函数， 所以， 令，． 4．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据单调性定义得到在上为减函数，再由的图象关于点中心对称，结合，得到，最后根据分式不等式的解法，结合函数单调性得到的解集为. 【详解】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以在上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ，即或， 则或， 解得或，所以解集为． 5．已知定义在上的函数满足①，，②，，③，，则（    ） A．32 B． C．22 D． 【答案】C 【分析】由题设易得，即可得到，再分析得到，进而求解即可. 【详解】由题意，得，，则， 所以，则， 而， 所以. 6．以下三个代数式：（1）；（2）；（3）．其中的字母均表示实数，且代数式均有意义，那么代数式的最小值为2的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断每个代数式，验证等号能否成立，统计最小值等于2的代数式个数． 【详解】（1）仅当同号时，，由基本不等式得； 若异号，，故，此时最小值不是2； （2）中，，由基本不等式， 当且仅当，即时取等号，故最小值为2； （3）令，则，函数化为，对勾函数在上单调递增， 最小值为，等号成立条件无法取到，故最小值不是2； 综上，最小值为2的代数式有1个． 7．已知定义在上的函数满足，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（     ） A． B．0 C．6 D．2 【答案】A 【分析】利用为奇函数，为偶函数，判断函数的周期，利用，可求、、的值，再用公式计算平方和，并利用周期将化简即可求解. 【详解】因为为奇函数，则函数关于点中心对称， 又因为偶函数，则函数关于直线轴对称，故函数有一个周期为4， 因，结合，可得， 又因，令得， 当时，，则有，解得， 即当时，， 根据恒等式：， 令， ， ， ， ， 左右两边分别相加得： ， 即， 所以 ， 所以， 因为除以周期4得余数为2， 则. 8．设是定义在上的连续函数，且满足.令.若是奇函数，则称为“平方奇差函数”.已知为“平方奇差函数”，令.给出下列命题： ①；②是偶函数；③若是常值函数，则满足条件的只有两个. 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用为“平方奇差函数”的定义可知，对于命题①，令，可得，解得；对于命题②，由已知可得为周期函数，结合，可得是偶函数；对于命题③，若是常值函数，设，则.再由，可知或，故命题③正确. 【详解】因为为“平方奇差函数”， 所以 化简可得. 对于命题①，令，则， 解得或，故命题①正确； 对于命题②，， 因为，结合 可得， 若是偶函数，则，即证 即证， 即证， 即证 即证或 若等价于符合题意. 因为，所以的情况不存在， 综上， 是偶函数，命题②正确. 对于命题③，若是常值函数，设，则. 因为为奇函数，得， 即，又因为， 所以，解得或. 所以或.故命题③正确. 二、多选题 9．（多选）下列说法正确的是（     ） A．定义在上的函数满足，则 B．函数的值域为 C．函数与函数是同一函数 D．函数的定义域为，且，若，则 【答案】ABD 【分析】A选项用替换后联立方程组消元即可；B选项根据利用不等式性质即可求解；C选项先求与的定义域再判断；D选项代入求出，再代入即可求出. 【详解】因为，所以（*）， 用替换得，将（*）代入得，故A正确； 因为，所以，故B正确； 定义域为， 定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数，故C错误； 因为，令，则，又，所以， 再令，则，解得，故D正确. 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．的定义域为 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．已知函数满足，则 D．已知实数，满足，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，根据具体函数的定义域求解判断即可；对于B，根据抽象函数的定义域求解判断即可；对于C，利用配凑法求解即可；对于D，先得到，再根据不等式的基本性质求解判断即可. 【详解】对于A，由，解得且， 则的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为， 所以，则，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，由，且， 则，，故C错误； 对于D，设， 则，解得，则， 又，则， 所以，则的取值范围是，故D正确. 11．（多选）已知函数的定义域为，且，不恒为0，则下列说法中正确的是（） A． B．为奇函数 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】A.令，解得或，再排除；B.令，推导出，因此是偶函数；C. 令，得到，即，从而；D.先通过递推赋值确定函数周期，再利用周期分组简化求和运算. 【详解】选项A，令，代入等式得， 化简得，解得或. 若，令代入等式得， 即对任意恒成立，与题设“不恒为”矛盾，因此，A正确； 选项B，令，代入等式得， 将代入，得，化简得，因此是偶函数，不是奇函数，B错误； 选项C，令，代入等式得，因为，所以，即， 由 ，可得， 令，则对任意，都有，即， 因此，C正确； 选项D，已知，， 令，，得， 令：，得， 令：，得， 令：，得， 令：，得， 令：，得， 因此是周期为的周期函数. 一个周期内的函数值之和为， 由于，即包含337个完整周期，剩余4项为， 因此，D正确. 三、填空题 12．若定义运算，则函数的值域为________. 【答案】 【分析】根据函数的新定义，结合函数的单调性求解即可. 【详解】由，得， 所以在上是增函数，在上是减函数， 所以，故函数的值域是：. 13．已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 【答案】2026 【详解】设，则， 所以， 所以. 14．设函数的定义域为D，若对任意，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.为中心对称函数，其中，，数组的个数为_________. 【答案】9 【分析】根据定义域且对称中心为得到关于两两对称，再分情况讨论即可. 【详解】定义域为，设函数的对称中心为，则关于两两对称， 所以且可能取值为； ①若，则关于对称，所以，即， 又因为，，所以数组可能取值有共4组； ②若，则关于对称，所以，即， 又因为，，所以数组可能取值有共2组； ③若，则关于对称，所以，即， 又因为，，所以数组可能取值有共3组； 综上，满足条件的数组共9个. 四、解答题 15．求下列各题中的函数的解析式． (1)已知函数满足且，求； (2)已知是二次函数，且满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知关系式中的用替换，联立方程组即可求出； （2）设二次函数表达式，根据已知条件建立等量关系，即可求出表达式中各项系数，从而求出. 【详解】（1）将式子①中的用替换得②， 联立①②，解得； （2）二次函数满足，则设， 所以； 又，则； 所以，则，解得， 因此，． 16．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数在处有定义时的性质求出参数，再代入已知点求出参数 ，最后验证分母不为零并确定解析式即可； （2）先判断并证明函数在定义域上的单调性，然后利用奇偶性将不等式转化为，再结合函数的单调性和定义域，建立关于的不等式组进行求解即可. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，且， 所以，即，解得，此时， 又因为，代入得，即，解得， 所以， 经检验，分母 恒成立，且，符合题意， 故函数的解析式为，定义域为. （2）任取 且，则， 因为且，所以，，且分母大于， 所以，即，故在上单调递增， 不等式 等价于， 因为为奇函数，所以，即， 又因为在上单调递增，所以， 解得， 所以不等式的解集为. 17．已知函数， (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)实数的取值范围是 (2) 【详解】． （1）依题意，，解得， ∴实数的取值范围是． （2）①当，即时，在上单调递减，∴． ②当，即时，． ③当，即时，在上单调递增，∴． 综上，． 18．已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)对任意，． 若存在使，则，与矛盾， 故． 任取，，且，则，所以． 又． 因为，且，所以， 因此在上单调递增． (3)或． 【分析】（1）令，求得或者，再证明不成立即可求解； （2）先证明，取，根据求得，即可证明； （3）利用函数的单调性得到，解不等式即可求解. 【详解】（1）令， 所以或者． 若，则对任意，有， 这与题设②矛盾，因此． （2）略. （3）由（2）知，， 即， 解得或， 故原不等式的解集为或． 19．函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． (1)当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； (2)若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 【答案】(1)① 和 ②当 时，；当 时， (2) 【分析】（1）①将 ， 的值代入，由不动点定义列方程 求解； ②二次函数开口向上，闭区间上的最大值在端点处取得，比较 与 的大小，按 的取值分类. （2）不动点是方程 的根，由 ， 及韦达定理把 表示成 的函数，换元后利用对勾函数的单调性求值域，再检验判别式. 【详解】（1）①当 ， 时，. 令 ，即 ，整理得 . 即 ，解得 或 . 所以函数 的不动点为 和 . ② 的图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上的最大值在区间端点处取得， 即 为 与 中较大者. . 当 ，即 时，，. 当 ，即 时，，. 所以 时 ， 时 . （2）令 ，得 ，， 是该方程的两个不等实根. 由韦达定理得 . 因为 ，，所以 . 所以 ，解得 . 令 ，由 得 ，且 . 则 . 设 ，任取 ，则 . 因为 ，，所以 . 所以 在 上单调递增. 又 ，，所以 ，即 . 检验：此时 ，即 ，又 ， 所以 ，方程有两个不等实根，符合题意. 所以实数 的取值范围是 . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第三章 函数的概念与性质 知识归纳与题型总结 题型01 函数的概念 1、 函数的概念： 1、 函数定义： （1） 简单来说，A、B 是两个不为空的实数集合。对于集合 A 里任意一个数 x，按照某个固定的对应规则 f，在集合 B 中总能找到唯一一个确定的数 y 和它配对。我们就把f：A→B称为从集合 A 到集合 B 的函数，记成y=f(x)，其中x属于集合 A。 （2） 函数具备 4 个特点： 1 集合非空：A 和 B 都必须是非空数集，不存在定义域或者值域是空集的函数。 2 全部对应：定义域内的每一个元素，都能找到对应的函数值。 3 一 x 对一 y：任意一个自变量 x，只能对应唯一一个函数值 y。 4 有方向：函数是定义域指向值域的对应，调转方向之后，新的对应不一定还能构成函数。 2．函数的三要素 （1）定义域：自变量 x 能够取到的所有数值构成的范围。 (2)值域：自变量 x 取对应值得到的 y 叫做函数值；全部函数值组成的集合{f(x)|x∈A}就是函数的值域。 （3）对应关系：对应法则 f 是函数的核心，相当于对自变量 x 进行运算转化的规则、方式。 二、函数的定义域与值域 1. 已知解析式，求定义域求解思路： 保证解析式里面所有运算、式子都能成立，据此列出不等式（组）并求解；如果是实际应用题，定义域还要符合现实场景。 2．抽象函数定义域求解思路 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 3、 函数的相等 1． 相同函数 两个函数为同一个函数的判定条件： 定义域相同，并且对应法则也完全一致，二者缺一不可。 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【典例1-1】设定义在上的函数满足，且对任意都有，则＝____;＝____. 【典例1-2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-3】函数的值域是__. 题型02 函数的表示法 一、函数的表示法 1．函数的三种表示法 （1）解析法：用数学式子（解析式）表示变量对应关系，优点：便于计算、研究性质；缺点：部分函数写不出解析式。 （2）列表法：表格列出自变量与函数值，优点：直接读出对应值；缺点：只能表示有限个自变量。 （3）图象法：用平面直角坐标系中的图像表示，优点：直观看到增减、最值；缺点：读数有误差。 注意：一个函数可以同时用多种方式表示；不是所有函数都有解析式。 2．抽象函数与复合函数 （1）抽象函数 没有给出具体解析式，只给对应关系（如 f(x+y)=f(x)+f(y)），叫抽象函数。 👉 常考：定义域、单调性、奇偶性、赋值法求值。 (2) 复合函数 y=f(g(x)) 内层：t=g(x)，外层：y=f(t) 条件：内层的值域 C外层定义域 A 复合函数定义域：是 x 的范围，不是中间变量 t 的范围 口诀：由外向内看对应，由内向外求范围 3．函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 二、分段函数 1．分段函数定义 在定义域的不同区间上，有不同解析式的函数叫做分段函数。 ⚠️ 关键点：分段函数是一个函数，不是多个函数！ 书写格式：用一个左大括号把几段表达式括在一起，每一段后面标注该段自变量 x 的取值范围。 2． 分段函数解题核心思路 分段函数，分段解决（分类讨论） （1） 求函数值：先判断自变量 x 落在哪一段的范围，再代入对应解析式计算； （2） 解不等式、求参数、求值域：按区间分段讨论，最后检验结果是否符合本段 x 的范围； （3） 画图象：一段一段分别画，注意区间端点是实心还是空心； 【典例2-1】设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【典例2-3】若满足，当时，，则时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点03 单调性与最大（小）值 一、函数的单调性 1．单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的. 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的. 2．函数的单调性及单调区间 (1)当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数. (2)如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)； a<0时，单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). 二次函数y=a(x-m)2+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(-∞,m]，单调递增区间是[m,+∞)； a<0时，单调递减区间是[m,+∞)，单调递增区间是(-∞,m]. 4．单调函数的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性. (4)若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. (5)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 (6)当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)· g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)· g(x)在区间D上单调递减(增). 5．复合函数的单调性 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、函数单调性的判断 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)利用已知函数的单调性. 2．复合函数单调性的判断方法 复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 三、函数的最值 1．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)∀x∈1，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 2．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 【典例3-1】设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根． （1）则的取值范围是___________； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为___________． 【典例3-2】若“，”为真命题，则实数的取值范围为______． 【典例3-3】已知，，且满足. (1)求 的最小值； (2)求 的最小值. 考点04 奇偶性 一、函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. （2）奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数：函数是奇函数=图象关于原点中心对称。 ②偶函数：函数是偶函数=图象关于y 轴对称。 ③重要单调性与最值结论 奇函数：在原点对称的区间上，单调性相同；最值互为相反数，取最值的自变量互为相反数。 偶函数：在原点对称的区间上，单调性相反；最值相等，取最值的自变量互为相反数。 (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1) 求函数值、求参数：利用奇偶性转化，把未知区间自变量转到已知区间，列方程求参数； (2) 画图象：画出一侧图象，利用对称性直接补出对称区间的图象； (3) 解不等式、比较大小：结合奇偶性 + 单调性综合解题（高频考点）。 二、函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 三、函数的周期性与对称性 1．函数的周期性 (1)周期定义：已知函数y=f(x)，若存在非零常数T，使对定义域的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T为函数f(x)的周期. (2)函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) ①若f(x+a)=f(x)，则T=a； ②若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； ③若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； ④若f(x+a)=，则T=2a； ⑤若f(x+a)=，则T=2a； ⑥若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b). 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【典例4-1】已知函数的最大值为，最小值为，若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【典例4-2】函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【典例4-3】（多选）定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 考点05 幂函数 一、幂函数的概念 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 二、幂函数的图象与性质 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 三、对勾函数的图象与性质 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减. 【典例5-1】已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【典例5-2】“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例5-3】设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 考点06 函数的应用（一） 一、一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 二、幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 三、分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 4、 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 【典例6-1】某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元. (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现购买台智能机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验可得，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量. 【典例6-2】为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，且每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【典例6-3】某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：. (1)设，求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； (2)该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 一、单选题 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数；②若、、均是增函数，则、、均是增函数，下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 3．已知为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数满足①，，②，，③，，则（    ） A．32 B． C．22 D． 6．以下三个代数式：（1）；（2）；（3）．其中的字母均表示实数，且代数式均有意义，那么代数式的最小值为2的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知定义在上的函数满足，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（     ） A． B．0 C．6 D．2 8．设是定义在上的连续函数，且满足.令.若是奇函数，则称为“平方奇差函数”.已知为“平方奇差函数”，令.给出下列命题： ①；②是偶函数；③若是常值函数，则满足条件的只有两个. 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（多选）下列说法正确的是（     ） A．定义在上的函数满足，则 B．函数的值域为 C．函数与函数是同一函数 D．函数的定义域为，且，若，则 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．的定义域为 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．已知函数满足，则 D．已知实数，满足，则的取值范围是 11．（多选）已知函数的定义域为，且，不恒为0，则下列说法中正确的是（） A． B．为奇函数 C． D．若，则 三、填空题 12．若定义运算，则函数的值域为________. 13．已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 14．设函数的定义域为D，若对任意，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.为中心对称函数，其中，，数组的个数为_________. 四、解答题 15．求下列各题中的函数的解析式． (1)已知函数满足且，求； (2)已知是二次函数，且满足，求． 16．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)解不等式． 17．已知函数， (1)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求的最小值． 18．已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式． 19．函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． (1)当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； (2)若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $