湖南省永州玉潭高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025年下期永州玉潭高级中学高三开学考试 数学 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合A={x∈N|-x2+x+2≥0},则满足A∪B=A的集合B的个数为 (　　) A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32 2,设θ是第一象限角,则“”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．5弧度的角的终边所在的象限为（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．log5(log3(log2x))＝0，则等于（ ） A． B． C． D． 5,在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6,已知数列{an}和数列{bn}的通项公式分别为an=3n+1和bn=5n+1，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列{cn}，则满足不等式cn≤2 024的最大的整数n等于(　　) A.134 B.135 C.136 D.137 7,已知a=ln 1.01，b=c=则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 8．已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知集合，集合，则集合可以是（ ） A． B． C． D． 10,为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 11,已知正数x,y,z满足5x=9y=15z,则 (　　) A xz+2yz-2xy=0　　　　B.5x<9y<15z C.xy<2z2　　　　D.9x+2y<16z 3， 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．不等式的解集是___________. 13.已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________. 14.已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________. 四，解答题：本题共5个小题，共77分。 15,如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ACD＝，AD＝，S为△ABC的面积，且2S＝－. (1)求角B； (2)若cos D＝，求四边形ABCD的周长． 16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝. (1)证明：平面ACB1⊥平面BB1C1C； (2)求二面角A-A1C1-B1的余弦值． 17,已知M，N分别为椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM|＝3|FN|，且点P在椭圆E上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：为定值． 18,某中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得－10分． (1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为X，求X的期望和方差； (2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列． 19,已知函数f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex. (1)当x∈[1，e]时，求f (x)的最小值； (2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围． 答案 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合A={x∈N|-x2+x+2≥0},则满足A∪B=A的集合B的个数为 (　　) A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32 答案　B　 2,设θ是第一象限角,则“”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A　 3．5弧度的角的终边所在的象限为（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 因为，所以5弧度的角的终边在第四象限． 故选：D． 4．log5(log3(log2x))＝0，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1， ∴log2x＝3，∴x＝23＝8，∴ 故选：C. 5,在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点，所以FG∥AD， 所以∠EAD(或其补角)为异面直线AE，FG所成的角， 设正四面体的棱长为a， 则AE=DE=a，AD=a， 由余弦定理得cos∠EAD=== 所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为. 6,已知数列{an}和数列{bn}的通项公式分别为an=3n+1和bn=5n+1，若它们的公共项从小到大依次排列构成新数列{cn}，则满足不等式cn≤2 024的最大的整数n等于(　　) A.134 B.135 C.136 D.137 答案　A 解析　依题意，令ak=bm，k，m∈N*， 则3k+1=5m+1，即有m=k，显然k是5的正整数倍， 令k=5n，n∈N*， 因此cn=a5n=15n+1，由15n+1≤2 024， 解得n≤134， 所以最大的整数n=134. 7,已知a=ln 1.01，b=c=则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 答案　D 解析　由≤ln x≤x-1知 ln 1.01>==c， ∴a>c， ln 1.01<1.01-1=0.01= 又b=>=>> ∴b>a，故b>a>c. 8．已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由， 当时，函数在上单调递减，且，，当时， 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 可得的大致图象如下所示： 令，则化为， 当时无解，则无解； 当时，解得，由图可知有两解，即有两解； 当时有一解且，又有一个解，即有一解； 当时有两个解，即、， 又有一个解，有两个解，所以共有三个解； 当时有三个解，即，，， 无解，有三个解，有两个解， 所以共有五个解； 当时有两个解，即，， 有三个解，有两个解， 所以共有五个解； 综上可得的取值范围是. 故选：C 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知集合，集合，则集合可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】 因为集合， 对于A：满足，所以选项A符合题意； 对于B：满足，所以选项B符合题意； 对于C：满足，所以选项C符合题意； 对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意， 故选：ABC. 10,为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案　AD 解析　把函数y=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，A正确； 把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，B错误； 把函数y=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，C错误； 把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，D正确. 11,已知正数x,y,z满足5x=9y=15z,则 (　　) A.xz+2yz-2xy=0　　　　B.5x<9y<15z C.xy<2z2　　　　D.9x+2y<16z 答案　AB　 4， 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 根据题意，由，得，即或， 因此不等式的解集为. 故答案为：. 13.已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】因为函数的一条对称轴为， 所以，得到，又，所以， 所以， 又当时，的最小值为， 令，则， 由的图象与性质知，，得到， 故答案为：. 14.已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________. 【答案】10 【解析】的焦点为，设直线方程为，. 联立直线与抛物线方程有，则. 又求导可得，故直线方程为. 又，故，同理. 联立可得，解得，代入可得，代入韦达定理可得，故. 故，当且仅当，即时取等号. 故答案为：10 四，解答题：本题共5个小题，共77分。 15,如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝，∠ACD＝，AD＝，S为△ABC的面积，且2S＝－. (1)求角B； (2)若cos D＝，求四边形ABCD的周长． [解]　(1)由2S＝－， 在△ABC中，得2×AB×BC sin B＝－AB×BC cos B， 即sin B＝－cos B，可得tan B＝－， 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)因为cos D＝，D∈(0，π)，所以D＝， 所以△ACD为等边三角形，AC＝，∠CAD＝， 所以∠BAC＝，∠ACB＝， 由正弦定理知＝，得 AB＝＝＝1＝BC， 故四边形ABCD的周长为2＋2. 16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝. (1)证明：平面ACB1⊥平面BB1C1C； (2)求二面角A-A1C1-B1的余弦值． [解]　(1)证明：连接BC1，与B1C交于点D，则D为BC1，B1C的中点，连接AD， 因为AC＝AB1，所以AD⊥B1C， 因为侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB＝BC＝2，AC＝AB1＝， 所以BD＝，AD＝1，所以AB2＝BD2＋AD2，即AD⊥BD， 因为B1C∩BD＝D，B1C，BD⊂平面BB1C1C， 所以AD⊥平面BB1C1C，因为AD⊂平面ACB1， 所以平面ACB1⊥平面BB1C1C. (2)取A1C1的中点E，连接AC1，AE，B1E， 由(1)知，AD⊥BD，又BD＝DC1，所以AC1＝AB＝2，又AA1＝CC1＝2，所以AE⊥A1C1，同理得B1E⊥A1C1， 所以∠AEB1为二面角A-A1C1-B1的平面角， 在△AEB1中，AE＝＝＝， B1E＝＝＝，AB1＝， 所以cos ∠AEB1＝＝＝. 所以二面角A-A1C1-B1的余弦值为. 17,已知M，N分别为椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM|＝3|FN|，且点P在椭圆E上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：为定值． [解]　(1)由|FM|＝3|FN|，可得a＋c＝3(a－c)，解得a＝2c， 又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c. 因为点P在椭圆E上，所以＝1， 解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆E的标准方程为＝1. (2)证明：①当l与x轴重合时，|AB|＝|CD|＝4， 所以＝7. ②当l不与x轴重合时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线l的方程为x＝my＋1， 由消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 故|AB|＝ ＝ ＝12×， 圆心O到直线l的距离为， 则＝4－， 所以＝＋4－＝7， 即为定值． 18,某中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得－10分． (1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为X，求X的期望和方差； (2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列． [解]　(1)设甲答对题目的数目为ξ，则ξ～B(4，0.8)，所以X＝10ξ－10(4－ξ)＝20ξ－40， 所以E(X)＝20E(ξ)－40＝20×4×0.8－40＝24； D(X)＝400D(ξ)＝400×4×0.8×0.2＝256. (2)设乙答对题目的数目为η，则η服从参数为N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布， 且Y＝10η－10(4－η)＝20η－40， 所以P(Y＝－40)＝P(η＝0)＝＝， P(Y＝－20)＝P(η＝1)＝＝， P(Y＝0)＝P(η＝2)＝＝， P(Y＝20)＝P(η＝3)＝＝， P(Y＝40)＝P(η＝4)＝＝， 所以Y的分布列为 Y －40 －20 0 20 40 P 19,已知函数f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex. (1)当x∈[1，e]时，求f (x)的最小值； (2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围． [解]　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝. ①若a≤1，当x∈[1，e]时，f ′(x)≥0， f (x)在[1，e]上单调递增，f (x)min＝f (1)＝1－a. ②若1＜a＜e， 当x∈[1，a]时，f ′(x)≤0，f (x)单调递减； 当x∈[a，e]时，f ′(x)≥0，f (x)单调递增． 所以f (x)min＝f (a)＝a－(a＋1)ln a－1. ③若a≥e，当x∈[1，e]时，f ′(x)≤0，f (x)在[1，e]上单调递减，f (x)min＝f (e)＝e－(a＋1)－. 综上，当a≤1时，f (x)min＝1－a； 当1＜a＜e时，f (x)min＝a－(a＋1)ln a－1； 当a≥e时，f (x)min＝e－(a＋1)－. (2)由题意知f (x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2，0])的最小值． 由(1)知f (x)在[e，e2]上单调递增， 所以f (x)min＝f (e)＝e－(a＋1)－， 又g′(x)＝(1－ex)x， 所以当x∈[－2，0]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减， 则g(x)min＝g(0)＝1， 所以e－(a＋1)－＜1， 解得a＞， 所以a的取值范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 $