2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛B卷一试试题

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试试题（B卷) 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分， 1.设集合A={a21a∈Z,a2≥2025，B={21b∈Z,9≤b≤14}，则A∩B的 元素个数为 2.若sin20°sin25°+sina=cos20°cos25°，则cos2a的值为， 3.若1og3x,l1ogg(3x,log2,(9x)成等比数列，则正数x的值为 4.设复数z满足z+i与z2+2i均为实数（i为虚数单位)，则z3+3i的值 为 5.若x,y>0且x+y=1,则+1++2的最小值为 y 6.设下，E分别为椭圆r子女 +京=1(a>b>0)的左、右焦点，若r上存在 一点P,使得直线FP,EP的斜率分别为二，2，则Γ的离心率为 7平面中的3个单位向量a,6c满足a-6≥分，石c≤-，则+石+d的最 大值与最小值之和为 8.从20个数1,2,3，…，20中选出4个不同的数（不计顺序），使它们的乘积为 2025的倍数，则不同选法的数目为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 9.(本题满分16分)设f(x)是定义域为R的函数，g(x)=(x-)f(x), hx)=fx)+x.若g(x)为奇函数，M)为偶函数，求四3)9的值. f(2)f(4)…f(100) 10.(本题满分20分)在平面直角坐标系中，一条过点(0,1)的直线1经过点 集={G,川=x+3到x刘中的四个点(x,)=12,3,4.求1+1+1+1 X1 X2 X3 X4 的取值范围。 11.（本题满分20分)对整数n≥3，在一个棱长均为1的正n棱柱的所有3n 条棱中，随机选取两条不同的棱1，，将事件“，所在直线与，所在直线平行”发 生的概率记为P.是否存在两个不同的正整数k,1(k,1≥3)满足P=乃？证明你 的结论.2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试(B卷)参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次， 第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分， 1.设集合A={a21a∈Z,a2≥2025}，B={21b∈Z,9≤b≤14}，则A∩B的 元素个数为 答案：2. 解：在B的元素中，2°，2"，23都不是平方数，2小于2025，所以它们都不 属于A,而22=642∈A,24=1282∈A,所以A∩B的元素个数为2. 2.若sin20°sin25°+sina=cos20°cos25°，则cos2a的值为 答案：0. 解：sina=c0s20°c0s25°-sin20°sin25=c0s(20°+25°)=c0s45°=y5 故cos2a=1-2sin2a=0. 3.若logx,log(3x),log2,(9x)成等比数列，则正数x的值为 答案：3或 27 解设g=,则岁，2告设等比数列所以生=2 2,3 +，化简 得+21-3=0，解得1=1或-3.相应有x=3=3或27 4.设复数z满足z+i与z2+2i均为实数（i为虚数单位)，则2+31的值 为■ 答案：V5. 解：由z+i∈R,可设：=a-i(a∈R),则z2+2i=(a-i)+2i. 再由z2+2ieR可知m(z2+2i)=-2a+2=0,得a=1,故z=1-i. 计算得z3=-2-2i,因此3+3i=2+=5. 5.若xy>0且x+y=1,则y+1+X+2的最小值为 答案：3+2W6. 解：由条件并利用基本不等式，可知 y+1+x+2=x+2y+3r+2y=3+2y+3x y x y ≥3+2， 2y.3x=3+26. y 当义=3x(即x=6-2,y=3-6)时，++x+2取到最小值3+2W6. x y 6设，R分别为椭圆T:之±冷>b>0)的左、右焦点，若T上存 03 一点P,使得直线FR,5P的斜率分别为，2，则T的离心率为 答案：⑤ 解：将△PFE的三个内角∠FPF,∠PFF,∠PF,F分别记为a,B,Y· 由条件易知P在第一象限，an3=2tam7=-2.进而 tana=tan(180°-3-y）=-tan(8+y)=- tan 6+tany3 1-tan Btany 4 所以nn号m=点a725 5 由于F是Γ的焦距，P+P是Γ的长轴长，且由正弦定理知 RR PFI_IPRI sina sinB sin? 3 所以T的离心率e= FE sina 5 PF+PF siny+sinB 25 5 5 5 ,平面中的3个单位向量云.，满足5≥分，6≤则6+石+的品 大值与最小值之和为 答案：3+1. 解：由条件知(a+2=2+2a6≥3，(6+c2=2+26c≤1，结合三角不等 式知5-1=5-s+-sa++s回+6++1=2. 当=心5-传哥-作时.F++取最大监2. 当-停引=停引=←0时，巨+5+k到最小值-1. 因此a+乃+c的最大值与最小值之和为2+(3-1)=√5+1. 8.从20个数1,2,3，…，20中选出4个不同的数（不计顺序），使它们的乘积为 2025的倍数，则不同选法的数目为 2 答案：24. 解：在1,2,3，，20中，3的倍数有3,6,9,12,15,18，其中9,18含素因子3的次 数为2，其余均不是32的倍数：5的倍数有5,10,15,20，且它们均不是52的倍数： 这些数中只有15既是3的倍数又是5的倍数. 将选出的4个数记为a,b,c,d.由2025=3×52知3|abcd,52|abcd 若9,18都不选，则a,b,c,d必须都选3的倍数，但此时51hcd,不合要求， 若9,18恰选个，则3,6,12,15至少选两个，5,10,15,20至少选两个，这样15 必须选.不妨设a∈{9,18}，b=15,c∈{3,6,12，d∈5,10,20}，则有2×1×3×3=18 种选法， 若9,18都选，则恰需在5,10,15,20中选两个，有C=6种选法 综上，满足要求的选法的数目为18+6=24. 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 9.(本题满分16分)设f(x)是定义域为R的函数，g(x)=(x-1)f(x), h)=f)+x.若g的为奇函数，为偶函数，求03)-99的值. f(2)f(4)…f(100) 解：对任意x∈R,有8←)=一8(，即-x-Df-)=-(c-1/ h(-x)=h(x,’f(-x)-x=f(x)+x. …4分 所以(x-1)f(x)=(x+I)f(-x)=(x+1(f(x)+2x),即f(x)=-x(c+I). ……8分 因此， 得试器-可 …16分 10.(本题满分20分)在平面直角坐标系中，一条过点(0,1)的直线1经过点 集T={川少产=x+3x刘中的四个点(，)6=1,23,4).求1+⊥+⊥+1 X X2 X3 X 的取值范围. 解：根据条件，显然1不是y轴，设1：y=x+1,代入方程y2=x+3x得 (x+2=x+3x ① 显然x≠0.当x>0时，①变为 k2x2+(2k-4)x+1=0: ② 当x<0时，①变为 k2x2+(2k+2)x+1=0. ③ 由于①有四个相异的实根，故②有两个相异正根，且③有两个相异负根，即 [k≠0， (2k-4)2-4k2>0,2k-4<0, (2k+2)2-4k2>0,2k+2>0, 3 解得c分@). ……10分 不妨设x,x为②的两根，x,x为③的两根，则 出+龙= :,=京书+x=-2张牛2 2k-4 k2·xxa三→ 于是 1+1+L+L=+x++x=-(2k-4)-(2k+2) =2-4k∈(-2,2)U(2,4). …20分 11.（本题满分20分)对整数n≥3，在一个棱长均为1的正n棱柱的所有3n 条棱中，随机选取两条不同的棱4,2，将事件“1，所在直线与1，所在直线平行”发 生的概率记为P,.是否存在两个不同的正整数k,1(k,1≥3)满足P=P？证明你 的结论 解：在正n棱柱的所有3n条棱中选取两条棱l,l,的方法数为C。· 现考虑L,∥1，的选法，显然，山，均为侧棱或均为底面上的棱. 若l,1,均为侧棱，则所有C种选法都满足要求. 若(，l,均为底面上的棱，注意到正n棱柱的两个底面都是正n边形，且对应 边平行，可按n的奇偶性讨论如下： 当n为奇数时，正n边形没有平行边，故l,∥12当且仅当(，l,选自两个底面的 对应边，有n种选法.相应可知 B=Ctn-n+l Ci 3(3n-1) 当n为偶数时，正n边形恰有”组对边平行，故两个底面的2n条边可按平行 2 关系分为号组，每组4条，则，4有2C好=3训种选法.相应可知 P= C+3n_n+5 …10分 C3n3(3n-1) 假设存在两个不同的正整数k,1(k,1≥3)满足P=P. 若k,1都是奇数，则、k+1三1+1 ,化简得k=1,矛盾. 3(3k-1)3(31-1) 若k,1都是偶数， 则、+5=1+5 ,化简得k=1,矛盾 3(3k-1)3(31-1) 若k,1一奇一偶，不妨设k=2s-1,1=2t,则 25 2t+5 3(6.s-4) =B1=B,= 3(6t-1) 即了 2t+5 ,化简得45-1=，矛盾. 3s-26t-1 综上，不存在正整数k,1满足要求。 …20分