精品解析：黑龙江省大庆市2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

大庆市靓湖学校九年级学初测试 数学试题 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组的四条线段是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的某湿地公园湖面上的浮漂，它的形状是中间穿孔的球体，其俯视图如图，那么它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，朝上的一面可能会出现：①都是正面；②一正一反；③都是反面．则两枚硬币出现一正一反结果的概率为（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象分别位于第二、第四象限 B. 当时， C. 在图象的每一支上，随的增大而减小 D. 若，则 5. 某市2022年底森林覆盖率为，2024年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（    ） A. B. C. D. 6. 在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为（   ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点，其中，下列四个结论，；当时，随自变量的增大而增大；与的另一个交点的横坐标为；④当时，．正确结论的个数（    ） A. B. C. D. 10. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，为交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 若函数是关于x的二次函数，则a的值为______． 12. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的所有侧面积之和为_____． 13. 如图，在一块边长为30cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10cm的圆形阴影区域，飞镖投向正方形任何位置的机会均等，则飞镖落在阴影区域内的概率为________（结果保留π）． 14. 若反比例函数的图像经过点和点，则___________ 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，把缩小为，其相似比为3∶1，则点E对应点的坐标为______ 16. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，则的面积为______． 17. 矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的面积为______． 18. 如图，抛物线与轴相交于两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，的值为______． 19. 在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着坐标原点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是___________． 20. 已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是_________. 三、解答题（共60分） 21. 如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 23. 近年来，哈尔滨冰雪大世界在网络上爆火，吸引了国内外许多游客前往游览，冰雪大世界主要景点有梦幻冰雪馆、四季游乐馆、冰雪秀场、雪花摩天轮（依次用A、B、C、D表示）等．为了了解游客更喜欢哪个景点，工作人员随机对现场的游客进行采访调查，要求只能选择一个自己最喜欢的景点，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图： （1）本次统计共调查了________名游客，请将条形统计图补充完整； （2）求出扇形统计图中喜欢“四季游乐馆”所对应的圆心角度数； （3）景区工作人员准备向受访游客中的两男两女发放免费游览票2张，若要从4人中随机抽取2人发放免费游览票，请用树状图或列表法求恰好抽到1男1女的概率． 24. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 25. 如图，在正方形中，延长到点，连结，过点作，垂足为点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若的面积为，求； （3）在（2）的条件下，点在图象上，点是轴上的一动点，是否存在以、、、为顶点的四边为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 27. 如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求为直角三角形时点P的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市靓湖学校九年级学初测试 数学试题 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各组的四条线段是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例顺序：两外项之积等于两内项之积，对各项进行分析即可求出正确结果． 【详解】解：∵项，，∴项不正确； ∵项，∴项不正确； ∵项，∴项不正确； ∵项，∴项正确 故答案为： 【点睛】本题考查了比例线段的概念，理解成比例线段的概念是解题的关键． 2. 如图所示的某湿地公园湖面上的浮漂，它的形状是中间穿孔的球体，其俯视图如图，那么它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据题意即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，它的主视图是， 故选：． 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，朝上的一面可能会出现：①都是正面；②一正一反；③都是反面．则两枚硬币出现一正一反结果的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求简单的概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，让一正一反的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】解：共有都是正面；都是反面；一正一反；一反一正；四种情况， 其中两枚硬币出现一正一反结果的有一正一反；一反一正；两种情况， 故出现一正一反的概率为， 故选：C． 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数图象分别位于第二、第四象限 B. 当时， C. 在图象的每一支上，随的增大而减小 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A．在中， ，图象位于第一、三象限，故此选项错误，不符合题意； B．当时，，，故此选项错误，不符合题意； C．由， 在图象的每一支上，y随x的增大而减小，故此选项正确，符合题意； D、由， 在图象的每一支上，y随x的增大而减小，若，则，故此选项错误，不符合题意． 故选C 5. 某市2022年底森林覆盖率为，2024年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设年平均增长率为x，根据2024年底森林覆盖率2022年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 即， 故选：D． 6. 在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意； C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且上的高，，则正方形的边长为（   ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设正方形边长为，则，证明四边形是矩形，得出，证明，得出，即，解出的值即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设正方形边长为，则， 正方形内接于，上的高， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ，即， 解得：， 正方形的边长为， 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点，其中，下列四个结论，；当时，随自变量的增大而增大；与的另一个交点的横坐标为；④当时，．正确结论的个数（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线的解析式得出顶点的横纵坐标，将顶点坐标代入直线的解析式中，结合，从而判断的正确性；根据的结论可知，从而得到抛物线的对称轴为直线，分和两种情况，讨论二次函数图象的增减性，从而判断的正确性；令，代入，解方程即可得解另一个交点的横坐标，从而判断的正确性；列出并化简，可得与坐标轴的交点坐标，分和两种情况，讨论与的关系，从而判断的正确性． 【详解】解：抛物线的顶点横坐标为， 把代入， 得顶点横坐标为：， 抛物线的顶点坐标为， 直线经过抛物线的顶点， ， 整理得， ， ，， ， 故正确； ， ， 抛物线的对称轴为直线， 若，抛物线开口向上，当时，随自变量的增大而增大， 若，抛物线开口向下，当时，随自变量的增大而减小， 故不正确； 令， 即， ， ， ， 解得：，， 直线与抛物线的一个交点为抛物线的顶点，其横坐标对应， 与的另一个交点的横坐标为， 故正确； ， 当时，， 则当时，，， ， ， 当时，， 则当时，，， ， ， 故不正确． 综上，正确的结论为，共个． 故选：B． 10. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，为交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可； ②过点C作于M，通过证明，进而说明，可得，可得②不正确； ③由折叠可得：，由可得，结论③成立； ④连接，由，可知：，，所以，由于，则，由折叠可得：，则；利用勾股定理可得；由，得到，所以E，M，H，C四点共圆，所以，通过，可得，这样，，因为，易证，则得，从而说明④成立． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴． 由折叠可知： ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故①正确； ②过点C作于M， 由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴②不正确； ③由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， 即平分． ∴③正确； ④连接，如图， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． ∴． 由折叠可得：， ∴． ∴． 由折叠可知：． ∴． ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵ ∴ ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴④正确； 综上可得，正确的结论有：①③④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 若函数是关于x的二次函数，则a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故答案为；1． 12. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的所有侧面积之和为_____． 【答案】48 【解析】 【分析】观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸求得其侧面积即可． 【详解】由三视图知该几何体是底面边长为2、高为4的正六棱柱，∴其侧面积之和为2×4×6=48． 故答案为48． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断几何体的形状及各部分的尺寸，难度不大． 13. 如图，在一块边长为30cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10cm的圆形阴影区域，飞镖投向正方形任何位置的机会均等，则飞镖落在阴影区域内的概率为________（结果保留π）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据概率的公式，利用圆的面积除以正方形的面积，即可求解 【详解】解：根据题意得：飞镖落在阴影区域内的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键． 14. 若反比例函数的图像经过点和点，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：把点代入得：， ∴， 把点代入得：， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，把缩小为，其相似比为3∶1，则点E对应点的坐标为______ 【答案】（-2,1）或（2，-1） 【解析】 【分析】先求出位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k计算即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把缩小为，其相似比为3∶1 ∴点，以原点O为位似中心，位似比为 ∴点E对应点的坐标为或，即（-2,1）或（2，-1）． 故答案是（-2,1）或（2，-1）． 【点睛】本题主要考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 16. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再根据图形面积之间的关系即可得到答案． 【详解】解：∵直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金比，矩形的面积，由题意可得，即得，进而根据矩形的面积公式计算即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解：∵矩形为黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 18. 如图，抛物线与轴相交于两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，利用根和系数的关系先求出，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴，， ∴， ∴， 当取最小值时，抛物线的顶点到的距离最小，此时阴影部分的面积最小， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 在平面直角坐标系中，P是反比例函数图象上的一点，把点P绕着坐标原点O顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，．再证明，即得出，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点， ∵点在一次函数图象上， ∴，，， ∴ 由旋转的性质可知，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵P是反比例函数图象上的一点， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 20. 已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是_________. 【答案】或 【解析】 【分析】将二次函数配方成顶点式，分m<−1、m>2和−1⩽m⩽2三种情况，根据y的最小值为−2，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】解：， 故该抛物线的对称轴为直线x=m，且开口向上， ①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2， 解得：； ②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2， 解得(舍)； ③若−1⩽m⩽2，当x=m时，， 解得：或(舍)， ∴m的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共60分） 21. 如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，是中点， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）过点作于点，解直角三角形求出 结果即可； 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点，则，如图： ， ， ， 在中，， 根据勾股定理可得，， 在中，，，，， ， 是的中点， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式； （2）根据直线的平移规律设直线的解析式为，由同底等高的两三角形面积相等可得与面积相等，根据的面积为列出方程，解方程求出，即，进而得出直线的解析式． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ，解得， ． 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 三角形与三角形面积相等，且的面积为， 的面积， ， ， 直线的解析式为． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. 近年来，哈尔滨冰雪大世界在网络上爆火，吸引了国内外许多游客前往游览，冰雪大世界主要景点有梦幻冰雪馆、四季游乐馆、冰雪秀场、雪花摩天轮（依次用A、B、C、D表示）等．为了了解游客更喜欢哪个景点，工作人员随机对现场的游客进行采访调查，要求只能选择一个自己最喜欢的景点，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图： （1）本次统计共调查了________名游客，请将条形统计图补充完整； （2）求出扇形统计图中喜欢“四季游乐馆”所对应的圆心角度数； （3）景区工作人员准备向受访游客中的两男两女发放免费游览票2张，若要从4人中随机抽取2人发放免费游览票，请用树状图或列表法求恰好抽到1男1女的概率． 【答案】（1）400， 补全条形统计图如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据D的人数人，占，求出总人数，再先求出喜欢C冰雪秀场的人数，再据此补全条形统计图即可； （2）用乘以喜欢B“四季游乐馆”在样体中点的百分比即可求解； （3）画树状图分析得出所有可能结果共有12种，恰好恰好抽到1男1女的8种，然后由概率公式求解即可． 本题考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，能从统计图中获取有用信息和掌握用树状图或列表法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次统计共调查的总人数为：(名)， 喜欢C冰雪秀场的人数为：(名)； 【小问2详解】 解：， 答：扇形统计图中喜欢“四季游乐馆”所对应的圆心角度数为， 【小问3详解】 解：画树状图为： 由图可知，所有可能结果共有12种，恰好1男1女被选到的8种，所以恰好甲和丙被选到的概率为， 答：恰好1男1女被选到的概率为． 24. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）至少需要购进B款纪念品200个 （3），W的最大值为4500 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 25. 如图，在正方形中，延长到点，连结，过点作，垂足为点，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：于点，交于点，交于点， ， 四边形是正方形，点在的延长线上， ，， ， 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由于点，得，由正方形的性质得，，则，即可根据证明，则； （2）设，由，得，则，，可证明，得，则，再证明，得，则，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的值是． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明入， ，以及是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若的面积为，求； （3）在（2）的条件下，点在图象上，点是轴上的一动点，是否存在以、、、为顶点的四边为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 【答案】（1）， （2）5 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）把代入得出值，可得点坐标，联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组求出、的值即可求出点坐标； （2）本题先过点作轴于点，交于，过作于，设，求出直线的解析式为：，然后求得，然后根据的面积为，可得，求得，，最后根据，即可求解； （3）由题意设，，分当平行四边形以为对角线时；当平行四边形以为对角线时；当平行四边形以为对角线时，三种情况讨论，结合中点坐标公式列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴， 联立一次函数与反比例函数解析式得：， 解得：，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点，交于，过作轴于，设，设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴点和点横坐标相等， 当时，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， 整理得：， 解得：，， 由题可得：， ∴， ∴，直线的解析式为：， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 假设存在以、、、为顶点的四边为平行四边形， ∵点在图象上，点是轴上的一动点， ∴设，， ∵，， 当平行四边形以为对角线时， 得， 解得：， ∴； 当平行四边形以为对角线时， 得， 解得：， ∴； 当平行四边形以为对角线时， 得， 解得：， ∴； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边为平行四边形，或. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 27. 如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求为直角三角形时点P的坐标 【答案】（1）；（2）存在，；（3）或 【解析】 【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式； （2）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可； （3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， ∴， ∵、在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）设动点P得坐标为，则C点得坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段PC最大且为． （3）∵为直角三角形， ①若点A为直角顶点，．由题意易知，，，因为此种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则． 如图1，过点作于点N，则，．过点A作，交x轴于点M，则由题意易知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 设直线AM得解析式为，则：，解得，所以直线AM得解析式为： 又抛物线得解析式为：② 联立①②式，解得：或（与点A重合，舍去） ∴，即点C、M点重合．当时，， ∴；③若点C为直角顶点，则． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，作点关于对称轴得对称点C，则点C在抛物线上，且，当时，． ∵点、均在线段AB上， ∴综上所述，为直角三角形时，点P得坐标为或． 【点睛】考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $