精品解析： 浙江省杭州市拱墅区观成实验学校2025-2026学年八年级上学期开学数学试卷

2025−2026学年浙江省杭州市拱墅区观成实验学校八年级（上）开学数学试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念解答即可． 【详解】A．是轴对称图形，故本选项正确； B．不是轴对称图形，故本选项错误； C．不是轴对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（ ） A. 1，4，7 B. 2，5，8 C. 3，6，9 D. 4，7，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断即可． 【详解】解：∵ ，∴1，4，7不能组成三角形，故A选项错误； ∵ ，∴2，5，8不能组成三角形，故B选项错误； ∵，∴3，6，9不能组成三角形，故C选项错误； ∵4+7＞10，∴4，7，10能组成三角形，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中三边的关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 3. 不等式的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考示不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上空心和实心表示． 求出不等式的解集进行表示即可． 【详解】解：不等式的解集为． 解集在数轴上表示如图所示， 故选：A． 4. 下列能断定为等腰三角形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，周长为6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．A、C选项先计算出另一个角，即可判断；B、根据三角形两边之和大于第三边，可判断其不能构成三角形；D，先求出另一条边，根据三角形两边之和大于第三边，可判断其不能构成三角形． 【详解】解：A、，， ， ， 为等腰三角形； B、，， 不能构成三角形； C、，， ， 为直角三角形； D、，，周长为6， ， 不能构成三角形； 故选：A． 5. 如图，在中，，垂直平分，周长为13，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，，，那么可知，即，从而求得答案． 【详解】解：垂直平分， ， 周长为13， ， ， ， ， 故选：B． 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握在不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 【详解】解：若，两边同时乘以得 ， 即， 故A正确； 故选A． 7. 等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故选：A． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，利用分类讨论的思想求解． 8. 一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的三边长为，为斜边，利用勾股定理可得，据此解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的三边长为，为斜边， 由勾股定理得，， ∵一个直角三角形的三边长的平方和为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即斜边长为， 故选：． 9. 如图所示，三角形纸片中，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则的度数为（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据四边形的内角和即可得． 【详解】解：在中，， ， 在中，， 四边形的内角和为， ， 即， 解得， 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、四边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题关键． 10. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ①根据角平分线，可知，，根据外角，可知，，推出，即可得到结论；②过作于，于，于，根据角平分线的性质，证明，和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ②过作于，于，于，如图所示： ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ，而不一定等于， ∴不一定等于，故②错误； ③，平分， 垂直平分，故③正确； ④， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④错误． 综上分析可知，①③正确， 故选：B． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是___命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定进行判断． 【详解】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题； 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 12. 如图，已知，要证明：． （1）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是______． （2）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法需要用到的条件是解题的关键． （1）若以“”为依据，那么需要两组对应边相等以及这两边的夹角相等，根据题意，可知，，那么添加的另一条边相等即可； （2）若以“”为依据，那么需要两个角以及一组邻边相等，根据题意，可知，，那么添加和的对角即可． 【详解】解：（1）根据题意，可知，，若以“”为依据，那么添加的条件为：； 故答案为：； （2）根据题意，可知，，若以“”为依据，那么需要添加的条件为：， 故答案为：． 13. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，的度数分别为，，则这两根竹竿的夹角的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角定理，三角形的外角定理是：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．因为是的外角，所以有，根据、的度数分别为、，求出两根竹竿的夹角的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ． 故答案为： ． 14. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围． 【详解】解：， ①+②得， 则， 根据题意得， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式． 15. 如图，矩形纸片中，，，现将纸片折叠压平，使与重合，折痕为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 设，由折叠可知，，，在中，根据勾股定理列方程求解，即可得到的长． 【详解】解：设，由折叠可知，，， 四边形是矩形， ， 在中，， 即， 解得， 即长为． 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分，于点，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据，，可求出，推出，结合，可判断①；结合角平分线、垂直、等腰三角形的性质，分别算出，，利用外角算得，最后利用三角形内角和，算得，可判断②；过作于，平分，，可推出，在中，，从而判断③；连接，先证明，然后算得，从而判断④． 【详解】解：①，， ， ， ， ，故①正确； ②，平分， ， ，， ， ， ， ， ，故②正确； ③过作于，如图所示： 平分，， ， 在中，， ，故③错误； ④如图，连接， ，平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故答案为： ①②④． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及性质，等腰直角三角形判定和性质，同角的余角相等，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 三、解答题（本大题有8题，共72分．） 17. 解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． （1）将不等式移项合并，把系数化为1，即可求出解集． （2）将不等式去分母、移项合并，把系数化为1，即可求出解集． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 在的方格中有五个同样大小的正方形如图所示摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，请画出至少三种图形． 【答案】 如图（只需画出其中的3个即可）， 【解析】 【分析】本题考查了设计轴对称图案，解题关键是理解轴对称图形的意义． 根据轴对称图形的意义移动其中一个正方形到空白方格中，得到轴对称图案． 【详解】略 19. 如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.） 【答案】 如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P． 【详解】作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求． 20. 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 【答案】 （1）证明：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM， 由（1）知：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C， 在△ACM和△ABN中， ， ∴△ACM≌△ABN（ASA）， ∴∠M=∠N． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△ABD≌△ACE（SAS）即可； （2）由△ABD≌△ACE证得∠B=∠C，进而证得△ACM≌△ABN（ASA），再根据全等三角形的性质可证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 21. 定义关于@的一种运算：，如． （1）若，且x为正整数，求x的值． （2）若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式； （1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案； （2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可． 【小问1详解】 解：由得：， 解得， ∵x为正整数， ∴； 【小问2详解】 解不等式得：， 由得：， 解得：， ∵关于x的不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 22. 如图，，，E是上的一点，且，． （1）是等腰三角形吗？请说明理由； （2）若，，请求出的长． 【答案】（1） 解：是，理由如下： ，， ， ，， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平行线的性质，证明，然后证明，从而得出，那么是等腰三角形； （2）先证明，然后利用，算得，接着根据勾股定理求得和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． （1）试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？（ ） A．是 B．不是 （2）若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； （3）当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】（1）A （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可． 【小问1详解】 解：解得 ， 解得 ， ∴方程的解是同时也是不等式的解， ∴是“友好解”， 故选A． 【小问2详解】 解，得， ∵关于、的方程组的解是不等式的“友好解”， ∴ 解得． 【小问3详解】 由，得 ，解得． 由得 ∵方程的解是不等式的“友好解” ∴， 解得， ∴的最小整数值为4 24. 【证明体验】 （1）如图1，在中，平分，为上一点且．求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在中，，平分，交于点，，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知中，，，平分，，，求的长． 【答案】 （1）证明：如图1， 平分， ， 在与中， ， ， ； （2）3；（3）7 【解析】 【分析】（1）证，可得； （2）根据（1）中得：，，相加可得的长； （3）在边上取点，使，连接，得到，在边上取点，使，连接，得到，即可推出结论． 【详解】（1）略； （2）解：如图2，在边上取点，使，连接． ， ，，， ，， ， ， ； （3）解：中，，， ， 平分， ，， 在边上取点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 在边上取点，使，连接， 同理得， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据题意正确的作出辅助线构造全等三角形即可解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年浙江省杭州市拱墅区观成实验学校八年级（上）开学数学试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（ ） A. 1，4，7 B. 2，5，8 C. 3，6，9 D. 4，7，10 3. 不等式的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列能断定为等腰三角形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，周长为6 5. 如图，在中，，垂直平分，周长为13，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. 一个直角三角形，若三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，三角形纸片中，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则的度数为（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 10. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是___命题（填“真”或“假”） 12. 如图，已知，要证明：． （1）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是______． （2）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是_______． 13. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，的度数分别为，，则这两根竹竿的夹角的度数为______°． 14. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是____． 15. 如图，矩形纸片中，，，现将纸片折叠压平，使与重合，折痕为，则的长为______． 16. 如图，在中，，平分，于点，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题有8题，共72分．） 17. 解不等式： （1）； （2）． 18. 在的方格中有五个同样大小的正方形如图所示摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，请画出至少三种图形． 19. 如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.） 20. 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 21. 定义关于@的一种运算：，如． （1）若，且x为正整数，求x的值． （2）若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值． 22. 如图，，，E是上的一点，且，． （1）是等腰三角形吗？请说明理由； （2）若，，请求出的长． 23. 阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． （1）试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？（ ） A．是 B．不是 （2）若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； （3）当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 24. 【证明体验】 （1）如图1，在中，平分，为上一点且．求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在中，，平分，交于点，，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知中，，，平分，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $