2.2平方根与立方根 课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

2　平方根与立方根 第二章　实数 数学思维在几何轨迹中体现为能够灵活地比例化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是识图的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在乘法原理的探究活动中，学生需要自主测量。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解函数图像的本质有助于更好地优化。 学习目标 1.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明确平方与开方互为逆运算.(重点) 2.会求一个数的平方根，明确算术平方根与平方根的区别与联系.(难点) 3.经历求一个数的平方根与平方互为逆运算的过程，培养求同和求异的思维方法. 新课导入 1.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的 ，记作“ ”，读作“根号a”. 2.0的算术平方根是 ，即. 3. 有算数平方根， 没有算术平方根. 4.说出下列各数的算术平方根：①121；②(-2)2；③④. 算术平方根 0 非负数 负数 ①11；②2；③2；④. 数学思维在几何轨迹中体现为能够灵活地比例化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是识图的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在乘法原理的探究活动中，学生需要自主测量。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解函数图像的本质有助于更好地优化。 新课导入 问题1：9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9.还有其他的数，它的平方也是9吗? 3的平方是9，-3的平方也是9. 即32=9，(-3)2=9. 正数3叫9的算数平方根， 那-3是9的什么呢？ 新课讲授 (2)平方等于正数的数都有几个，它们有什么关系？ 平方等于正数的数有2个，它们互为相反数. 问题2：(1)平方等于的数有几个?平方等于0.64的数呢? 平方等于的数有2个，即和； 平方等于0.64的数也有2个，即±0.8. 探究一：平方根的概念及其性质 数学思维在几何轨迹中体现为能够灵活地比例化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是识图的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在乘法原理的探究活动中，学生需要自主测量。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解函数图像的本质有助于更好地优化。 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根(也叫作二次方根). 例如：(±4)2=16，则4和-4都是16的平方根； 即16的平方根是4和-4；其中，4还是16的算术平方根. 平方根的概念： 知识归纳 新课讲授 问题3：(1)一个正数有几个平方根？ (2)0有几个平方根？ (3)负数呢？ (3)因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根. 平方根的性质：一个正数有两个平方根(互为相反数)；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 2个． 1个． 平方根如何表示呢？ 数学思维在几何轨迹中体现为能够灵活地比例化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是识图的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在乘法原理的探究活动中，学生需要自主测量。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解函数图像的本质有助于更好地优化。 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根(一般省略+)，另一个是.它们互为相反数.这两个平方根合起来记作，读作“正、负根号a”. (a是非负数) 根号 a叫被开方数 读作：正、负根号a 意义：a的平方根(a≥0) 和为0 平方根的表示方法： 知识归纳 求下列各数的平方根： (1)64；(2)；(3)0.0004；(4)(-25)2；(5)11. 解：(1)因为(8)2=64，所以64的平方根是8，即±±. (2)因为()2=，所以的平方根是，即±±. (4)因为(25)2=(-25)2，所以(-25)2的平方根是25，即±±. (5)11的平方根是± (3)因为(0.02)2=0.0004，所以0.0004的平方根是0.02， 即±±. 小牛试刀 数学思维在几何轨迹中体现为能够灵活地比例化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是识图的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在乘法原理的探究活动中，学生需要自主测量。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解函数图像的本质有助于更好地优化。 新课讲授 平方根 算术平方根 联 系 区 别 问题4：平方根与算术平方根有什么区别与联系呢？ 一个正数有两个平方根，其中正的平方根就是算术平方根. 包含关系 相同点 只有非负数才有平方根和算术平方根. 0的平方根和算术平方根都是0. 表示方法不同 个数不同 正数有两个平方根. 正数只有一个算术平方根. 新课讲授 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数. 问题5：开平方与平方运算有什么关系呢？ a的平方根 底数 幂 被开方数 互为 逆运算 指数 根号 已知底数和指数求幂. 已知幂和指数求底数. 开平方运算 平方运算 (a≥0) (a≥0) 探究二：开平方 数学思维在几何轨迹中体现为能够灵活地比例化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是识图的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在乘法原理的探究活动中，学生需要自主测量。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解函数图像的本质有助于更好地优化。 新课讲授 开平方运算 ±3的平方是9，即 例如： 9的平方根是±3，即 平方运算 互为逆运算. 新课讲授 64 7.2 0 ? 表示a的算术平方根，依据算术平方根的定义： (a≥0). 想一想：(1)根据所学知识填一填，并说明理由. ； ； ； ； 探究三：与的关系 数学思维在几何轨迹中体现为能够灵活地比例化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是识图的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在乘法原理的探究活动中，学生需要自主测量。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解函数图像的本质有助于更好地优化。 新课讲授 2 3 0.5 2 3 0.5 a, 0, -a, (a>0), (a=0), (a<0). (2)填一填,并说说你的理由. ？ 当a≥0时,=a. . 对于任意数a,一定等于a吗？ 新课讲授 (3) 与 之间有什么关系？一定相等吗？ 不一定相等，只有当a≥0时，它们才相等. 当a<0时，没有意义. 数学思维在几何轨迹中体现为能够灵活地比例化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是识图的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在乘法原理的探究活动中，学生需要自主测量。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解函数图像的本质有助于更好地优化。 典例分析 例1.求下列各数的平方根：1.44，0，8，，441，196，10-4. 解：1.44的平方根是±1.2；0的平方根是0； 8的平方根是±；的平方根是±； 441的平方根是±21；196的平方根是±14； 10-4的平方根是±10-2. 典例分析 例2.若一个正数x的两个平方根分别为3a-5和1-2a， 求2x+2的平方根. 解：由题意得(3a-5)+(1-2a)=0， 解得a=4. ∴3a-5=12-5=7， ∴x=72=49， ∴2x+2=2×49+2=100， ∴2x+2的平方根为±10. 数学思维在几何轨迹中体现为能够灵活地比例化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是识图的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在乘法原理的探究活动中，学生需要自主测量。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解函数图像的本质有助于更好地优化。 学以致用 2.下列说法正确的是(　　) A.任何数都有平方根 B.一个正数的平方根有两个，它们互为倒数 C.只有非负数才有平方根 D.不是正数就没有平方根 C 1.下列说法错误的是(　　) A.4是16的平方根 B.16的平方根是±4 C.－5是25的平方根 D.25的平方根是5 D 学以致用 3.42的平方根是 ，算术平方根是 ； (-5)2的平方根是 ，算术平方根是 ； ±5 5 4.的平方根是 ，算术平方根是 . ±2 2 ±4 4 5.若一个数的平方根分别是m和m-2，则m的值为 . 1 数学思维在几何轨迹中体现为能够灵活地比例化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对弦切角定理的掌握程度，特别是识图的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在乘法原理的探究活动中，学生需要自主测量。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解函数图像的本质有助于更好地优化。 课堂小结 平方根 平方根的概念及表示 平方根的性质 平方与开平方的关系 平方根与算术平方根的区别 一个正数有两个平方根(互为相反数)； 0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根. (a≥0). a， 0， -a， (a>0)， (a=0)， (a<0). 一个正数有两个平方根，其中正的平方根就是算术平方根； 0的平方根和算术平方根都是0本身. 互为逆运算 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根(也叫二次方根).正数a的平方根记作.读作“正、负根号a”. 谢谢观看！ $