11.3乘法公式 同步课堂2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

11.3乘法公式 讲解目录 【知识点1】平方差公式的几何背景 1 【知识点2】平方差公式 3 【知识点3】完全平方公式 4 【知识点4】完全平方公式的几何背景 4 【题型1】两数和（差）的平方公式的几何意义 6 【题型2】用平方差公式计算 10 【题型3】用两数和（差）的平方公式计算 12 【题型4】利用两数和（差）的平方公式变形求值 13 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 14 【题型6】平方差公式的实际应用 15 【题型7】用两数和（差）的平方公式求字母的值 17 【题型8】两数和（差）的平方公式的实际应用 18 【题型9】用平方差公式进行简便计算 21 【题型10】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 22 【题型11】平方差公式的结构特征 24 【题型12】平方差公式的几何意义 25 知识讲解 【知识点1】平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 1.（2024秋•庄浪县期末）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x,a的恒等式是（　　） A．x2-a2=（x-a）（x+a） B．x2+2ax=x（x+2a） C．（x+a）2-a2=x（x+2a） D．（x+a）2-x2=a（a+2x） 【答案】C 【分析】分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果． 【解答】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为（x+a）2-a2， 由右图可表示阴影部分的面积为x（x+2a）， ∴（x+a）2-a2=x（x+2a）， 故选：C． 2.（2024秋•南宁期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．（a-1）2=a2-2a+1 C．（a+1）2=a2+2a+1 D．a（a+1）=a2+a 【答案】A 【分析】用代数式分别表示左图和右图阴影部分的面积即可． 【解答】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2-1，拼成的右图是长为a+1，宽为a-1的长方形，因此面积为（a+1）（a-1）， 所以有a2-1=（a+1）（a-1），即（a+1）（a-1）=a2-1， 故选：A． 【知识点2】平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a-b）=a2-b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.（2025春•沛县期中）下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（　　） A．（m-n）（m+n） B．（-m-n）（m+n） C．（m-n）（n-m） D．（m+n）（n+m） 【答案】A 【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【解答】解：A、（m-n）（m+n）=m2-n2，能用平方差公式计算，符合题意； B、（-m-n）（m+n）=-（m+n）2，能用完全平方公式计算，不符合题意； C、（m-n）（n-m）=-（m-n）2，能用完全平方公式计算，不符合题意； D、（m+n）（n+m）=（m+n）2，能用完全平方公式计算，不符合题意， 故选：A． 2.（2025春•蒲江县校级月考）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（m-n）（m-n） B．（m-n）（-m+n） C．（m-n）（-m-n） D．（m+2）（m-1） 【答案】C 【分析】根据平方差公式特点，逐一判断各选项，即可得到结果． 【解答】解：A．（m-n）（m-n）=（m-n）2，可以用完全平方公式，不符合题意； B．（m-n）（-m+n）=-（m-n）（m-n）=-（m-n）2，可以用完全平方公式，不符合题意； C．（m-n）（-m-n）=-（m-n）（m+n）=-（m2-n2），可以用平方差公式，符合题意； D．（m+2）（m-1），不可以用平方差公式，不符合题意． 故选：C． 【知识点3】完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 1.（2025•竞秀区一模）已知a、b是两个不相等的正数，在交换a与b的位置后，下列代数式的值保持不变的是（　　） A．（a-b）2 B．a2-b2 C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的性质即可求得答案． 【解答】解：（a-b）2=（b-a）2，则A符合题意； a2-b2=-（b2-a2），则B不符合题意； -=-（-），则C不符合题意； ≠，则D不符合题意； 故选：A． 【知识点4】完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 1.（2025春•西安月考）现有甲、乙两张正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知H为AE的中点，连接DH，FH．将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2，已知甲、乙两张正方形纸片的面积之和为35，图2阴影部分的面积为6，则图1阴影部分的面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】设甲正方形边长为x,乙正方形边长为y,则AD=x,EF=y,x2+y2=35，结合已知条件可得出（x-y）2=6，进而可得出2xy=29，进一步求出x+y=8，最后根据图1阴影部分的面积为两个正方形的面积之和减去两个三角形的面积代入计算即可． 【解答】解：设甲正方形边长为x,乙正方形边长为y, 则AD=x,EF=y,x2+y2=35， 由题意可得： （x-y）2=x2+y2-2xy=6， 即35-2xy=6， ∴2xy=29， ∴（x+y）2=x2+y2+2xy=35+29=64， ∴x+y=8， ∴AE=8， ∵AH=HE=4， ∴则图1阴影的面积为：． 故选：B． 题型专练 【题型1】两数和（差）的平方公式的几何意义 【典型例题】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意得：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积， 根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得． 故选：C. 【举一反三1】如图是用4个完全相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4．若用x，y表示小长方形的两边长()，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.∵该图案的面积为49，∴，故该选项正确； B.∵该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4． ∴， ∴， ∴，故该项错误，符合题意； C.∵该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4． ∴，故该项正确； D.∵小正方形(阴影部分)的面积为4， ∴小正方形的边长为2，即，故该项正确. 故选：B． 【举一反三2】如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积各为： 和， 可得， 故选：B． 【举一反三3】用四个长、宽分别为m，n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形，若，，则的值为(    )    A.9 B.12 C.18 D.20 【答案】B 【解析】由图可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积， ∴， ∴(负值已舍掉)． 故选B． 【举一反三4】如图是用4个完全相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4．若用x，y表示小长方形的两边长()，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.∵该图案的面积为49，∴，故该选项正确； B.∵该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4． ∴， ∴， ∴，故该项错误，符合题意； C.∵该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4． ∴，故该项正确； D.∵小正方形(阴影部分)的面积为4， ∴小正方形的边长为2，即，故该项正确. 故选：B． 【举一反三5】如图 1 是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按下图 2 的形状拼成一个正方形． (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于________，观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系________． (2)运用你所得到的公式，计算若，求的值． 【答案】解：(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于， 根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积， 即， 方法2，阴影部分小正方形的边长为，则面积为， ∴. (2)由(1)知：， ∵， ． 【举一反三6】图1是一个长为4a、宽为b的长方形纸片，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形纸片，然后用四块小长方形纸片拼成的一个“回形”正方形纸片(如图2)． (1)图2中的阴影部分的面积为      ． (2)观察图2，请你写出之间的等量关系：      ． (3)根据(2)中的结论，若，则     ． (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了哪个代数恒等式，并用所学知识进行验证． (5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【答案】解：(1)根据题意得：阴影部分的面积为； 故答案为：； (2)， 故答案为：； (3)，， ； 故答案为：18； (4)根据等面积法，则， 等式的左边通过多项式乘多项式展开，再合并同类项， 即 此时左右两边相等，即可验证． (5)如图所示： ． 【题型2】用平方差公式计算 【典型例题】式子(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)化简的结果为(　　) A.21024﹣1 B.21024+1 C.22048﹣1 D.22048+1 【答案】C 【解析】(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1) ＝(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1) ＝(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1) ＝(24﹣1)(24+1)(28+1)…(21024+1) ＝(21024﹣1)(21024+1) ＝22048﹣1． 故选：C． 【举一反三1】化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)得(　　) A.(38+1)2 B.(38﹣1)2 C.316﹣1 D. 【答案】D 【解析】(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) (3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1) (32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1) (34﹣1)(34+1)(38+1) (38﹣1)(38+1) ． 故选：D． 【举一反三2】计算：2(﹣a﹣b)(b﹣a)＝　          ． 【答案】2a2﹣2b2 【解析】原式＝2(a2﹣b2)＝2a2﹣2b2． 故答案为：2a2﹣2b2． 【举一反三3】计算：(x+5)(x﹣1)﹣(x+3)(x﹣3)． 【答案】解：(x+5)(x﹣1)﹣(x+3)(x﹣3)＝x2+4x﹣5﹣x2+9＝4x+4． 【举一反三4】计算：2(a﹣1)(a+1)． 【答案】解：2(a﹣1)(a+1)＝2(a2﹣1)＝2a2﹣2． 【题型3】用两数和（差）的平方公式计算 【典型例题】与(﹣x﹣1)2相等的是(　　) A.﹣x2﹣1 B.x2+1 C.x2+2x+1 D.﹣x2﹣2x﹣1 【答案】C 【解析】原式＝(x+1)2＝x2+2x+1． 故选：C． 【举一反三1】计算：(a﹣2b)2的正确结果是(　　) A.a2﹣4b2 B.a2﹣2ab﹣4b2 C.a2﹣4ab﹣4b2 D.a2﹣4ab+4b2 【答案】D 【解析】(a﹣2b)2＝a2﹣2×a•2b+(2b)2＝a2﹣4ab+4b2． 故选：D． 【举一反三2】计算：(a﹣3)2＝　        ． 【答案】a2﹣6a+9 【解析】原式＝a2﹣2×3a+32＝a2﹣6a+9． 故答案为：a2﹣6a+9． 【举一反三3】计算：(﹣x﹣3y)2＝           ． 【答案】x2+9y2+6xy 【解析】(﹣x﹣3y)2＝[﹣(x+3y)]2＝(x+3y)2＝x2+9y2+6xy． 故答案为：x2+9y2+6xy． 【举一反三4】计算：． 【答案】解： ． 【举一反三5】利用乘法公式简化运算：． 【答案】解： ． 【题型4】利用两数和（差）的平方公式变形求值 【典型例题】已知则的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ①， ②， ①②得∶， ， 故选：A． 【举一反三1】若，，则的值是(    ) A.13 B.16 C.19 D.22 【答案】C 【解析】∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故选：C. 【举一反三2】若，则的值是      ． 【答案】7 【解析】， 故， 故答案为：7． 【举一反三3】，，则      ． 【答案】2 【解析】∵，， ∴， 故答案为：2． 【举一反三4】(1)已知，，求和的值； (2)已知 ，求的值． 【答案】解：(1)， ， ． (2) . 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 【典型例题】已知：a+b＝5，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【解析】∵a+b＝5，a﹣b＝1， ∴a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝5×1＝5， 故选：A． 【举一反三1】已知x﹣y＝﹣2，x+y＝6，则x2﹣y2的值为(　　) A.2 B.4 C.12 D.﹣12 【答案】D 【解析】∵x﹣y＝﹣2，x+y＝6， ∴x2﹣y2＝(x+y)(x﹣y)＝﹣2×6＝﹣12． 故选：D． 【举一反三2】已知，则是________． 【答案】64 【解析】∵， ∴. 【举一反三3】已知，求的值． 【答案】解： ， ， ， ， 的值为． 【举一反三4】先化简，再求值：，其中，． 【答案】解：原式， ， 把，代入得， 原式， ， ， ． 【题型6】平方差公式的实际应用 【典型例题】某校把一个边长为a米的正方形花坛改建成长为米，宽为米的长方形花坛，则长方形花坛与正方形花坛相比面积(    ) A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定 【答案】C 【解析】边长为a米的正方形的面积为平方米，长为米，宽为米的长方形的面积为平方米， ∵(平方米)， ∴长方形花坛与正方形花坛相比面积减少了9平方米． 故选：C． 【举一反三1】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，得， 故选：B． 【举一反三2】长方体的长是、宽是、高是．则长方体的体积是        ． 【答案】 【解析】长方体的长是、宽是、高是， 长方体的体积是， 故答案为：． 【举一反三3】某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，小长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，其中． (1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少棵樱桃树苗？ (2)当，时，两块试验田一共种植多少棵樱桃树苗？ 【答案】解：(1)由题意得， (棵)， 即大长方形实验田比小长方形实验田多种植棵樱桃树苗． (2) (棵)， 当，时，(棵)， 即两块试验田一共种植268棵樱桃树苗． 【题型7】用两数和（差）的平方公式求字母的值 【典型例题】若，则的值为(    ) A.2 B.4 C. D. 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三1】若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为(    ) A. B. C.或 D.或 【答案】D 【解析】∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故选：D． 【举一反三2】若是一个关于x的完全平方式，则         ． 【答案】 【解析】∵， ∴． 故答案为：． 【举一反三3】若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如： ．请根据这个规定解答下列问题： (1)计算：     ； (2)代数式 为完全平方式，求的值． 【答案】解：(1)根据题意可得： ； 故答案为：； (2)根据题意可得： ， ∵原式为完全平方式， ∴． 【题型8】两数和（差）的平方公式的实际应用 【典型例题】有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】D 【解析】正方形A的边长为a，正方形B的边长b， 由题意得，(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2＝1，(a+b)2﹣(a2+b2)＝2ab， ∴a2+b2＝1+2ab＝1+12＝13， 即：A、B两个正方形的面积之和为13， 故选：D． 【举一反三1】如图，这是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为米，米，其面积之和比剩余面积(阴影部分)多4平方米．则主卧与客卧的周长差为(    ) A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 【答案】C 【解析】由题可得：， ∴， 整理得， ∴或(舍去)， ∴主卧与客卧的周长差为：(米)， 故选：C． 【举一反三2】如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板(阴影部分)的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意得：． 故选：A． 【举一反三3】若正方形的边长增加，它的面积会增加，则这个正边形的边长是_______． 【答案】5 【解析】设正方形的边长为， 由题意得：， 解得：． 故答案为：5． 【举一反三4】如图，某校一块边长为的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级(1)班的清洁区是一块边长为的正方形．    (1)分别求出七年级(2)班、七年级(3)班的清洁区的面积． (2)七年级(4)班的清洁区的面积比七年级(1)班的清洁区的面积多多少？ 【答案】解：(1)因为， 所以七年级(2)班、七年级(3)班的清洁区的面积均为． (2)因为， 所以七年级(4)班的清洁区的面积比七年级(1)班的清洁区的面积多． 【题型9】用平方差公式进行简便计算 【典型例题】计算：9992﹣998×1002＝(　　) A.﹣2000 B.﹣1995 C.1995 D.2000 【答案】B 【解析】9992﹣998×1002 ＝9992﹣(1000﹣2)×(1000+2) ＝9992﹣10002+4 ＝(999﹣1000)×(999+1000)+4 ＝﹣1×1999+4 ＝﹣1999+4 ＝﹣1995． 故选：B． 【举一反三1】计算20232﹣2026×2020的结果是(　　) A.﹣9 B.9 C.0 D.4520 【答案】B 【解析】原式＝20232﹣(2023+3)×(2023﹣3)＝20232﹣20232+9＝9． 故选：B． 【举一反三2】计算：399×401+1＝　      　． 【答案】160000 【解析】399×401+1＝(400﹣1)×(400+1)+1＝4002﹣1+1＝160000， 故答案为：160000． 【举一反三3】计算的结果为      ． 【答案】 【解析】原式 ． 【举一反三4】用简便方法计算：． 【答案】解： ． 【举一反三5】计算： (1)； (2)． 【答案】解：(1) ； (2) ． 【题型10】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 【典型例题】的计算结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ． 故选：D． 【举一反三1】若，则代数式的值为(    ) A.1 B.2 C.3 D.6 【答案】D 【解析】∵ ， ∴， 故选：D． 【举一反三2】化简：       ． 【答案】 【解析】 . 【举一反三3】先化简，再求值：，其中． 【答案】解：原式， 当时，原式． 【举一反三4】先化简，再求值：，其中m，n满足． 【答案】解： ， 解方程组， 得， ∴原式． 【题型11】平方差公式的结构特征 【典型例题】下列各式中不能用平方差公式进行计算的是(　　) A.(a﹣1)(a+1) B.(b+a)(a﹣b) C.(a+2b)(b﹣2a) D.(a+mn)(a﹣nm) 【答案】C 【解析】A．(a﹣1)(a+1)＝a2﹣1，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．(b+a)(a﹣b)＝a2﹣b2，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C．(a+2b)(b﹣2a)不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； D．(a+mn)(a﹣mn)＝a2﹣(mn)2，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三1】下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是(　　) A.(﹣x﹣y)(x+y) B.(3x﹣y)(3x+y) C.(﹣x+y)(x﹣y) D.(3x﹣y)(y﹣3x) 【答案】B 【解析】A、(﹣x﹣y)(x+y)＝﹣(x+y)(x+y)，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、(3x﹣y)(3x+y)，符合平方差公式的结构特征，能用平方差公式计算，故此选项符合题意； C、(﹣x+y)(x﹣y)，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D、(3x﹣y)(y﹣3x)，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三2】下列各式：①(a﹣4)(a+4)，②(﹣x﹣3)(﹣x+3)，③(m﹣5)(﹣5﹣m)，④(﹣x+y)(﹣y+x)，其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】(a﹣4)(a+4)，(﹣x﹣3)(﹣x+3)，(m﹣5)(﹣5﹣m)均符合平方差公式的结构特点，能够利用平方差公式进行运算；而(﹣x+y)(﹣y+x)中，前一多项式的两项与后一多项式中的两项分别互为相反数，故不能用平方差公式进行运算； 故选：B． 【举一反三3】下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是(　　) A.(x+a)(x﹣a) B.(a+b)(﹣a﹣b) C.(﹣x﹣b)(x﹣b) D.(b+m)(m﹣b) 【答案】B 【解析】A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选：B． 【举一反三4】(﹣5x﹣3y)(        )＝9y2﹣25x2． 【答案】5x﹣3y 【解析】(﹣5x﹣3y)(5x﹣3y)＝9y2﹣25x2． 故答案为：5x﹣3y． 【举一反三5】下列式子中：①(﹣x﹣y)(﹣x+y)；②(﹣x+y)(x﹣y)；③(x+y+z)(x+y﹣z)；④(x2+y2)(y2﹣x2)，能用平方差公式运算的是　     　． 【答案】①③④ 【解析】①(﹣x﹣y)(﹣x+y)＝x2﹣y2，能用平方差公式运算； ②(﹣x+y)(x﹣y)＝﹣(x﹣y)2，不能用平方差公式计算； ③(x+y+z)(x+y﹣z)＝(x+y)2﹣z2＝x2+2xy+y2﹣z2，能用平方差公式运算； ④(x2+y2)(y2﹣x2)＝y4﹣x4，能用平方差公式运算； 所以，上列式子中能用平方差公式运算的是①③④， 故答案为：①③④． 【举一反三6】若(x+y+z)(x﹣y+z)＝(A+B)(A﹣B)，且B＝y，则A＝_________． 【答案】x+z 【解析】∵(x+y+z)(x﹣y+z)＝(x+z+y)(x+z﹣y)＝[(x+z)+y][(x+z)﹣y]＝(A+B)(A﹣B)， ∵B＝y， ∴A＝x+z． 【题型12】平方差公式的几何意义 【典型例题】利用下面图形之间的变化关系以及图形的几何意义，可以证明的数学等式是(　　) A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2+b2＝(a+b)2﹣2ab D.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) 【答案】D 【解析】由图可知：原图的面积为：a2﹣b2， 变化后图形的面积为：(a+b)(a﹣b)， 所以a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故选：D． 【举一反三1】如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2的有(　　) A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④ 【答案】C 【解析】对图①，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是平行四边形，其中底为a+b，底边上高为a﹣b，则阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)，则有(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2，故可以验证； 对图②，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为a+b，宽为a﹣b，阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)，则有(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2，故可以验证； 对图③，原图阴影部分面积为a2﹣b2，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为a+b，底边上高为a﹣b，阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)，则有(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2，故可以验证； 对图④，原图阴影部分面积为(a+b)2﹣(a﹣b)2，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为2a，宽为2b，阴影部分面积为4ab，则有(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab，故不能验证(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2；即可以验证的有①②③； 故选：C． 【举一反三2】如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是(　　) A.4m2+12m+9 B.3m+6 C.3m2+6m D.2m2+6m+9 【答案】C 【解析】根据题意，得：(2m+3)2﹣(m+3)2 ＝[(2m+3)+(m+3)][(2m+3)﹣(m+3)] ＝(3m+6)m ＝3m2+6m， 故选：C． 【举一反三3】如图(1)，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个长方形，如图(2)，此过程可以验证(　　) A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2＝(a﹣b)2+4ab 【答案】C 【解析】图(1)中阴影部分的面积为：a2﹣b2， 图(2)中阴影部分的面积为(a+b)(a﹣b)， 因此有a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故选：C． 【举一反三4】实践与探索 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)． (1)上述操作能验证的等式是      ；(请选择正确的一个) A．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) B．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 C．a2+ab＝a(a+b) (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　 　． ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【答案】解：(1)图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 图2中的阴影部分是长为(a+b)，宽为(a﹣b)的长方形，因此面积为(a+b)(a﹣b)， 所以有a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故答案为：A； (2)①∵4a2﹣b2＝24， ∴(2a+b)(2a﹣b)＝24， 又∵2a+b＝6， ∴6(2a﹣b)＝24， 即2a﹣b＝4， 故答案为：4； ②∵1002﹣992＝(100+99)(100﹣99)＝100+99， 982﹣972＝(98+97)(98﹣97)＝98+97， … 22﹣12＝(2+1)(2﹣1)＝2+1， ∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050． 【举一反三5】(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是_______(写成平方差的形式) (2)将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　        　.(写成多项式相乘的形式) (3)比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　                ． (4)利用所得公式计算：2(1)(1)(1)(1． 【答案】解：(1)根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2； (2)根据题意得：阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)； (3)可得(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2； (4)原式＝4(1)(1)(1)(1)(1 ＝4(1))(1)(1)(1 ＝4(1)(1)(1 ＝4(1)(1 ＝4(1 ＝4 ＝4． 故答案为：(1)a2﹣b2；(2)(a+b)(a﹣b)；(3)(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3乘法公式 讲解目录 【知识点1】平方差公式的几何背景 1 【知识点2】平方差公式 2 【知识点3】完全平方公式 3 【知识点4】完全平方公式的几何背景 3 【题型1】两数和（差）的平方公式的几何意义 4 【题型2】用平方差公式计算 7 【题型3】用两数和（差）的平方公式计算 7 【题型4】利用两数和（差）的平方公式变形求值 7 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 8 【题型6】平方差公式的实际应用 8 【题型7】用两数和（差）的平方公式求字母的值 8 【题型8】两数和（差）的平方公式的实际应用 9 【题型9】用平方差公式进行简便计算 10 【题型10】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 11 【题型11】平方差公式的结构特征 11 【题型12】平方差公式的几何意义 11 知识讲解 【知识点1】平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 1.（2024秋•庄浪县期末）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x,a的恒等式是（　　） A．x2-a2=（x-a）（x+a） B．x2+2ax=x（x+2a） C．（x+a）2-a2=x（x+2a） D．（x+a）2-x2=a（a+2x） 2.（2024秋•南宁期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．（a+1）（a-1）=a2-1 B．（a-1）2=a2-2a+1 C．（a+1）2=a2+2a+1 D．a（a+1）=a2+a 【知识点2】平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a-b）=a2-b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.（2025春•沛县期中）下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（　　） A．（m-n）（m+n） B．（-m-n）（m+n） C．（m-n）（n-m） D．（m+n）（n+m） 2.（2025春•蒲江县校级月考）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（m-n）（m-n） B．（m-n）（-m+n） C．（m-n）（-m-n） D．（m+2）（m-1） 【知识点3】完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 1.（2025•竞秀区一模）已知a、b是两个不相等的正数，在交换a与b的位置后，下列代数式的值保持不变的是（　　） A．（a-b）2 B．a2-b2 C． D． 【知识点4】完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 1.（2025春•西安月考）现有甲、乙两张正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知H为AE的中点，连接DH，FH．将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2，已知甲、乙两张正方形纸片的面积之和为35，图2阴影部分的面积为6，则图1阴影部分的面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 题型专练 【题型1】两数和（差）的平方公式的几何意义 【典型例题】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图是用4个完全相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4．若用x，y表示小长方形的两边长()，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为(    ) A. B. C. D. 【举一反三3】用四个长、宽分别为m，n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形，若，，则的值为(    )    A.9 B.12 C.18 D.20 【举一反三4】如图是用4个完全相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形(阴影部分)的面积为4．若用x，y表示小长方形的两边长()，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 【举一反三5】如图 1 是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按下图 2 的形状拼成一个正方形． (1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于________，观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系________． (2)运用你所得到的公式，计算若，求的值． 【举一反三6】图1是一个长为4a、宽为b的长方形纸片，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形纸片，然后用四块小长方形纸片拼成的一个“回形”正方形纸片(如图2)． (1)图2中的阴影部分的面积为      ． (2)观察图2，请你写出之间的等量关系：      ． (3)根据(2)中的结论，若，则     ． (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了哪个代数恒等式，并用所学知识进行验证． (5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【题型2】用平方差公式计算 【典型例题】式子(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21024+1)化简的结果为(　　) A.21024﹣1 B.21024+1 C.22048﹣1 D.22048+1 【举一反三1】化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)得(　　) A.(38+1)2 B.(38﹣1)2 C.316﹣1 D. 【举一反三2】计算：2(﹣a﹣b)(b﹣a)＝　          ． 【举一反三3】计算：(x+5)(x﹣1)﹣(x+3)(x﹣3)． 【举一反三4】计算：2(a﹣1)(a+1)． 【题型3】用两数和（差）的平方公式计算 【典型例题】与(﹣x﹣1)2相等的是(　　) A.﹣x2﹣1 B.x2+1 C.x2+2x+1 D.﹣x2﹣2x﹣1 【举一反三1】计算：(a﹣2b)2的正确结果是(　　) A.a2﹣4b2 B.a2﹣2ab﹣4b2 C.a2﹣4ab﹣4b2 D.a2﹣4ab+4b2 【举一反三2】计算：(a﹣3)2＝　        ． 【举一反三3】计算：(﹣x﹣3y)2＝           ． 【举一反三4】计算：． 【举一反三5】利用乘法公式简化运算：． 【题型4】利用两数和（差）的平方公式变形求值 【典型例题】已知则的值为(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】若，，则的值是(    ) A.13 B.16 C.19 D.22 【举一反三2】若，则的值是      ． 【举一反三3】，，则      ． 【举一反三4】(1)已知，，求和的值； (2)已知 ，求的值． 【题型5】用平方差公式确定某些整式的值 【典型例题】已知：a+b＝5，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【举一反三1】已知x﹣y＝﹣2，x+y＝6，则x2﹣y2的值为(　　) A.2 B.4 C.12 D.﹣12 【举一反三2】已知，则是________． 【举一反三3】已知，求的值． 【举一反三4】先化简，再求值：，其中，． 【题型6】平方差公式的实际应用 【典型例题】某校把一个边长为a米的正方形花坛改建成长为米，宽为米的长方形花坛，则长方形花坛与正方形花坛相比面积(    ) A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定 【举一反三1】若长方形的长是，宽是，则此长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】长方体的长是、宽是、高是．则长方体的体积是        ． 【举一反三3】某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，小长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，其中． (1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少棵樱桃树苗？ (2)当，时，两块试验田一共种植多少棵樱桃树苗？ 【题型7】用两数和（差）的平方公式求字母的值 【典型例题】若，则的值为(    ) A.2 B.4 C. D. 【举一反三1】若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为(    ) A. B. C.或 D.或 【举一反三2】若是一个关于x的完全平方式，则         ． 【举一反三3】若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如： ．请根据这个规定解答下列问题： (1)计算：     ； (2)代数式 为完全平方式，求的值． 【题型8】两数和（差）的平方公式的实际应用 【典型例题】有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之和为(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 【举一反三1】如图，这是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为米，米，其面积之和比剩余面积(阴影部分)多4平方米．则主卧与客卧的周长差为(    ) A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 【举一反三2】如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个小圆．则剩下的钢板(阴影部分)的面积为(    ) A. B. C. D. 【举一反三3】若正方形的边长增加，它的面积会增加，则这个正边形的边长是_______． 【举一反三4】如图，某校一块边长为的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级(1)班的清洁区是一块边长为的正方形．    (1)分别求出七年级(2)班、七年级(3)班的清洁区的面积． (2)七年级(4)班的清洁区的面积比七年级(1)班的清洁区的面积多多少？ 【题型9】用平方差公式进行简便计算 【典型例题】计算：9992﹣998×1002＝(　　) A.﹣2000 B.﹣1995 C.1995 D.2000 【举一反三1】计算20232﹣2026×2020的结果是(　　) A.﹣9 B.9 C.0 D.4520 【举一反三2】计算：399×401+1＝　      　． 【举一反三3】计算的结果为      ． 【举一反三4】用简便方法计算：． 【举一反三5】计算： (1)； (2)． 【题型10】两数和（差）的平方公式与整式的混合运算与求值 【典型例题】的计算结果是(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】若，则代数式的值为(    ) A.1 B.2 C.3 D.6 【举一反三2】化简：       ． 【举一反三3】先化简，再求值：，其中． 【举一反三4】先化简，再求值：，其中m，n满足． 【题型11】平方差公式的结构特征 【典型例题】下列各式中不能用平方差公式进行计算的是(　　) A.(a﹣1)(a+1) B.(b+a)(a﹣b) C.(a+2b)(b﹣2a) D.(a+mn)(a﹣nm) 【举一反三1】下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是(　　) A.(﹣x﹣y)(x+y) B.(3x﹣y)(3x+y) C.(﹣x+y)(x﹣y) D.(3x﹣y)(y﹣3x) 【举一反三2】下列各式：①(a﹣4)(a+4)，②(﹣x﹣3)(﹣x+3)，③(m﹣5)(﹣5﹣m)，④(﹣x+y)(﹣y+x)，其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【举一反三3】下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是(　　) A.(x+a)(x﹣a) B.(a+b)(﹣a﹣b) C.(﹣x﹣b)(x﹣b) D.(b+m)(m﹣b) 【举一反三4】(﹣5x﹣3y)(        )＝9y2﹣25x2． 【举一反三5】下列式子中：①(﹣x﹣y)(﹣x+y)；②(﹣x+y)(x﹣y)；③(x+y+z)(x+y﹣z)；④(x2+y2)(y2﹣x2)，能用平方差公式运算的是　     　． 【举一反三6】若(x+y+z)(x﹣y+z)＝(A+B)(A﹣B)，且B＝y，则A＝_________． 【题型12】平方差公式的几何意义 【典型例题】利用下面图形之间的变化关系以及图形的几何意义，可以证明的数学等式是(　　) A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2+b2＝(a+b)2﹣2ab D.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) 【举一反三1】如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2的有(　　) A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④ 【举一反三2】如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是(　　) A.4m2+12m+9 B.3m+6 C.3m2+6m D.2m2+6m+9 【举一反三3】如图(1)，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个长方形，如图(2)，此过程可以验证(　　) A.(a+b)2＝a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2 C.a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) D.(a+b)2＝(a﹣b)2+4ab 【举一反三4】实践与探索 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)． (1)上述操作能验证的等式是      ；(请选择正确的一个) A．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b) B．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 C．a2+ab＝a(a+b) (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　 　． ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【举一反三5】(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是_______(写成平方差的形式) (2)将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是　        　.(写成多项式相乘的形式) (3)比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　                ． (4)利用所得公式计算：2(1)(1)(1)(1． 学科网（北京）股份有限公司 $