精品解析：宁夏固原市第二中学2025-2026学年第二学期高二年级期末考试数学试卷

固原二中2025—2026学年第二学期高二年级期末考试 数 学 试 题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则等于（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 3n 2. 从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（ ） 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 A. 51 B. 25 C. 32 D. 12 3. 现将爱国福，和谐福，友善福，富强福，敬业福排成一排，爱国福与敬业福相邻，则不同排法有（ ）种． A. 72 B. 24 C. 36 D. 48 4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量没有关系 B. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 C. 在回归直线中，变量时，变量的值一定是15 D. 决定系数越大，说明模型拟合效果越好 7. 从数字0，1，2，3，4中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为0.56 B. 恰好有一人命中的概率为0.38 C. 两人都没有命中的概率为0.6 D. 至少有一人命中的概率为0.7 10. 已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（ ） A. 展开式中共有6项 B. 展开式中二项式系数的和为64 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 11. 记，分别为A，B的对立事件，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 的展开式中，的系数为________． 14. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______. 四、解答题（共77分） 15. 随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 16. 3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾． 17. 某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表： 肝病患者 非肝病患者 合计 长期持续饮酒 40 60 100 非长期持续饮酒 20 80 100 合计 60 140 200 （1）记非肝病患者中有长期持续饮酒习惯的概率为p，求p的估计值； （2）依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联． 附：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛(满分100分)，共有100名教职工参加，其成绩均落在区间[50，100]内，将竞赛成绩数据分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计竞赛成绩的第75 百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在[80，90)，[90，100]内的两组教职工中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在[90，100]内的概率. 19. 根据统计数据，某会员店的本地会员占，外地会员占.现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为.每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固原二中2025—2026学年第二学期高二年级期末考试 数 学 试 题 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则等于（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 3n 【答案】A 【解析】 【分析】令即可得． 【详解】在中令得． 故选：A． 【点睛】本题考查二项式定理中的赋值法求系数问题．解题关键是观察展开式的形式，确定变量赋什么值可得此系数． 2. 从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（ ） 0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 A. 51 B. 25 C. 32 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用随机数表法，按照给定条件依次选取符合要求的号码即可. 【详解】从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过55和重复的号码，选取的号码依次为： 31，32，43，25，12，51，26， 04， 01，11， 所以选出来的第5个号码所对应的学生编号为12. 故选：D. 3. 现将爱国福，和谐福，友善福，富强福，敬业福排成一排，爱国福与敬业福相邻，则不同排法有（ ）种． A. 72 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】由于爱国福与敬业福相邻，所以将其捆绑在一起看成一个整体，再与和谐福，友善福，富强福排列可得结果. 【详解】解：将爱国福与敬业福捆绑在一起，再与和谐福，友善福，富强福进行全排列，所以排法有：种 故选：D 【点睛】此题考查的是排列组合中的相邻问题，利用捆绑法求解，属于基础题. 4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 5. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 根据列联表中的数据计算得出，而，则根据小概率值的独立性检验，认为两个分类变量没有关系 B. 在一组样本数据，（，，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 C. 在回归直线中，变量时，变量的值一定是15 D. 决定系数越大，说明模型拟合效果越好 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验、线性相关系数、线性回归方程、决定系数的定义逐一判断各选项正误即可. 【详解】对于A：若，且，则根据小概率值的独立性检验，没有充分理由说明原假设成立，可认为两个分类变量有关系，A错误； 对于B：线性相关系数的取值范围为，当所有样本点都在斜率为负的直线上时，样本数据完全负性相关，此时线性相关系数，故B错误； 对于C：回归直线计算得到的是预测值，当时，为变量的预测值，实际值不一定为15，故C错误； 对于D：决定系数可以刻画回归模型的拟合效果，越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D正确. 7. 从数字0，1，2，3，4中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】数字0，1，2，3，4组成一个没有重复数字的两位数，若个位是0，则有4种情况， 若个位不是0，则有种情况，共有16种情况； 其中个位是0的4种情况为偶数，个位不是0的偶数有种情况，共有10种情况， 则这个两位数是偶数的概率为. 8. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数. 【详解】由直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，得众数是最高矩形下底边的中点横坐标， 因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值； 直线左右两边矩形面积相等， 而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则 ； 又数据分布图为右拖尾，因此平均数大于中位数，即， 所以. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A. 两人都命中的概率为0.56 B. 恰好有一人命中的概率为0.38 C. 两人都没有命中的概率为0.6 D. 至少有一人命中的概率为0.7 【答案】AB 【解析】 【分析】记“甲命中”，“乙命中”，“甲不命中”，“乙不命中”，根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式计算，依次判断选项即可. 【详解】记“甲命中”，“乙命中”，“甲不命中”，“乙不命中”， 则，，两两独立. ， ，. 对于选项A：“两人都命中”，，故A正确； 对于选项B：“恰好有一人命中”， ，故B正确； 对于选项C：“两人都没有命中”，，故错误； 对于选项D：“至少有一人命中”是“两人都没有命中”的对立事件，概率为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（ ） A. 展开式中共有6项 B. 展开式中二项式系数的和为64 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，令，可得，据此可判断；对于B，利用二项式系数和性质判断；对于C，由题可得展开式通项，令指数为0，可得常数项，据此可判断；对于D，依次写出二项式系数，即可判断. 【详解】由题可得展开式通项为. 对于A，令，可得展开式各项系数和，则，则展开式共有7项，故A错误； 对于B，二项式系数和为，故B正确； 对于C，对于通项，令，则常数项为，故C正确； 对于D，由通项，可得二项式系数依次为：， 则系数最大项为，为第4项，故D错误. 11. 记，分别为A，B的对立事件，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据全概率、条件概率、和事件的概率计算公式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 的展开式中，的系数为________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用通项公式求解. 【详解】 的通项公式为 ，, 第一部分 产生 ， 令 不是整数，此部分无项，系数为 0； 第二部分产生， ，令,解得 ，此部分系数为 ， 所以系数为0+9=9. 14. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求得总的取法数，进而求得符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解. 【详解】每次均有4种不同的取法，故总的取法数有种， 这列数中恰有3个不同整数，则必有一个数取了2次， 故这列数中恰有3个不同整数的取法数有种， 故这列数中恰有3个不同整数的概率为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 【答案】（1），线性相关性很强 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的公式，和题干所给参数，代入公式，求出相关系数，判断相关性强弱. （2）根据回归直线方程参数公式，代入数值，求出回归方程，计算五月的估计值，与实际值作差计算残差即可. 【小问1详解】 由已知得，，， ，， ， 故， 所以与的线性相关性很强. 【小问2详解】 因为，，，， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以5月份该生物繁殖量的残差为. 16. 3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾． 【答案】（1） 432 （2） 1440 （3） 3600 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理及排列组合知识求解即可. （2）结合插空法求解即可. （3）结合特殊元素法求解即可. 【小问1详解】 选2男有种，选2女有种，4人全排列，总数为 . 【小问2详解】 先排4名女生，产生5个空位，选3个空位排列3名男生，总数为 . 【小问3详解】 甲不能站两端，先从中间5个位置选1个给甲，有5种，其余6人全排列，总数为 . 17. 某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表： 肝病患者 非肝病患者 合计 长期持续饮酒 40 60 100 非长期持续饮酒 20 80 100 合计 60 140 200 （1）记非肝病患者中有长期持续饮酒习惯的概率为p，求p的估计值； （2）依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联． 附：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2） 认为长期持续饮酒与患肝病有关联 【解析】 【分析】（1）用样本频率估计概率，计算非肝病患者中长期持续饮酒人数的占比即可； （2）提出零假设，代入卡方公式计算统计量，与临界值比较得出检验结论. 【小问1详解】 由列联表可知，非肝病患者总人数为140，其中有长期持续饮酒习惯的人数为60， 用频率估计概率，可得 . 【小问2详解】 提出零假设：长期持续饮酒与患肝病无关联. 根据列联表数据，， 代入卡方统计量公式得： ， 由于，因此根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故依据小概率值的独立性检验，认为长期持续饮酒与患肝病有关联. 18. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛(满分100分)，共有100名教职工参加，其成绩均落在区间[50，100]内，将竞赛成绩数据分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计竞赛成绩的第75 百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在[80，90)，[90，100]内的两组教职工中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在[90，100]内的概率. 【答案】（1），86 （2）． 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，可得出关于的等式，解之即可.先判定第75 百分位数位于哪个区间，然后根据第75 百分位数前的频率之和等于0.75求解. （2）分析可知竞赛成绩在内的教职工人数为人，分别记为，，，，，竞赛成绩在内的教职工人数为3人，分别记为，，，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得事件的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以第75百分位数在内． 设这次竞赛成绩的第75百分位数为，则，解得． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8人， 竞赛成绩在内的有人，记为，，，，， 所以竞赛成绩在内的有人，记为，，． 所有选法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种， 其中恰有1人的竞赛成绩在内的选法有，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 故所求概率为． 19. 根据统计数据，某会员店的本地会员占，外地会员占.现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为.每个会员对该店商品质量满意与否相互独立. （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）运用全概率公式，将“抽取1名会员满意”拆分为本地会员满意、外地会员满意两个互斥事件，分别计算概率后求和； （2）先判断服从二项分布，再依据二项分布的概率公式计算分布列，利用二项分布期望公式求期望. 【小问1详解】 设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员为本地会员”， 事件表示“抽取的会员为外地会员”， 由题意得，，， 则. 【小问2详解】 从所有会员中随机抽取3名，每名会员满意的概率均为，且各会员满意与否相互独立， 因此随机变量，的可能取值为， 由二项分布概率公式，可得： ，  ，  ， ， 所以的分布列为 根据二项分布的期望公式，代入得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $