华大新高考联盟2026届高三上学期9月教学质量测评数学试题

华大新高考联盟2026届高三9月教学质量测评 数学 命题：华中师范大学考试研究院 本试题卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置. 2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效. 3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效. 4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则的虚部为（    ） A. 3 B. C. D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 对武汉某高中高二年级学业水平合格性考试的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则该年级学生数学成绩的分位数的估计值是（ ） A. 70 B. 80 C. 84 D. 85 5. 函数的图象的对称中心不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 8. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，是圆的直径，为圆上异于的任意一点，且平面，则（ ） A. B. 平面 C. D. 和不是异面直线 10. 设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（ ） A. 以为直径的圆与直线相切 B. 是钝角 C. 的最小值是4 D. 若，则直线的斜率为 11. 已知分别为三个内角的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程是__________. 13. 设正项等比数列的前项和为.若，则公比__________. 14. 袋中装有除颜色外均相同的4个红球､3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.设随机变量为取到红球时的次数，则的数学期望__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究每天喝咖啡与失眠的关系，从某社区人群中随机调查了1000人，得到如下列联表（单位：人）： 喝咖啡对睡眠的影响结果 失眠 不失眠 合计 每天喝咖啡 120 380 500 不每天喝咖啡 80 420 500 合计 200 800 1000 （1）记每天喝咖啡的人中患失眠的概率为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析每天喝咖啡是否与失眠有关. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 设数列的前项和为，，且，. （1）求； （2）求最小的正整数，使得. 17. （1）求方程在上的解的个数； （2）求函数的最小值； （3）求函数的值域. 18. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，且平面底面.设. （1）求证：底面； （2）设为的重心，.求证：是三棱锥外接球的球心； （3）若平面与平面所成夹角的正弦值的平方等于，求的值. 19. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且点在抛物线C上. （1）求抛物线的方程； （2）求抛物线在点处的切线的方程； （3）设切线与交于两点，求面积的最大值. 华大新高考联盟2026届高三9月教学质量测评 数学 命题：华中师范大学考试研究院 本试题卷共4页，共19题.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置. 2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效. 3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效. 4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）与失眠有关 【16题答案】 【答案】（1） （2）6 【17题答案】 【答案】（1）3个；（2）9；（3） 【18题答案】 【答案】（1） 因为平面底面，平面底面，且平面， 所以底面. （2） 因为为的中点，为的中点，且为的重心，由题意可得 ，从而. 又，如图1所示， ∴. 即， 故. 因此，是三棱锥外接球的球心. （3）或 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $机密★启用前（新高考卷） 华大新高考联盟2026届高三9月教学质量测评 数学参考答案和评分标准 扫码关注查询成绩 题号 9 10 11 答案 B B ACD BCD 一、选择题 1.【答案】A 【解析】因为=i(3+4i)=3i+42=一4+3i,所以≈的虚部为3. 2.【答案】D 【解析】因为A={x∈Nx-4<0)={x∈Nx<4)={0,1,2,3},全集U={-2,-1,0,1,2,3,4, 故CA={-2,-1,4}. 3.【答案】B 【解析】由题意可知，a2=4,6-1,2-5,故e==5 4.【答案】C 【解析】前三个矩形的面积分别是0.1,0.2,0.3，其和为0.6，而第4个矩形的面积是0.25，计算得 0780×(90-80)=号×10=4，放70%分位数的估计值是80+4一84。 0.25 5.【答案】C 【解析】由函数fx)=an(2x一晋），令2x一吾-受(k∈Z),解得x=经+是（∈Z),故选C 6.【答案】A 【解析】因为函数f(x)的周期为2，且为奇函数， 故f(1og:9）=f(log16-1og3)=f(4-1og3)=f(-1og,3)=-f(og3)=-(23+1) -(3+1)=-4. 7.【答案】C 【解析】如图，直径EF∥AB,过F作FC⊥AB,垂足为C,易知△AOB是等边 D 三角形.则AD·AB可看作AD在AB上的投影向量与AB的数量积. 当D与F重合时，AD·AB最大，最大值等于AC·AB. E 设M为AB的中点，则AM=2AB=1,MC-OF=2,所以AC-3, 故AD,AB的最大值为AC·AB=3×2=6. 8.【答案】B 【解设爷方og-6则x=6启= 当k=1时，x=0,y=1,=2,此时>y>x,A成立. 数学参考答案和评分标准第1页（共6页） 当=3时x=1y=9,=8,此时>x>y,C成立. 当k=专时，x=-1y=9,2-拒，此时>>x,D成立. 故选B. 事实上，当k>1时，显然>y:当0<k<1时，显然y>x,故B不可能成立. 二、选择题 9.【答案】BC 【解析)PO与PC的大小关系不确定，A错误 由PA⊥平面ABC,AC,BCC平面ABC,知PA⊥AC,PA⊥BC 因为ACLBC,PA⊥BC,又AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC, 所以BC⊥平面PAC,B正确. 因为BC⊥平面PAC,又PCC平面PAC,所以PC⊥BC,C正确. 因为直线AC不过点B,故AC和PB是异面直线，D错误 10.【答案】ACD 【解析】如图，假设点A位于第一象限，根据抛物线的定义可得 AB=AF+BF=AA+BB. 设AB中点为G,点G在抛物线的准线l上的射影为G, 所以GG,1=AA|+|BB1_AB1 2 2 则以AB为直径的圆与准线1相切，A正确， 因为|AF|=|AA,IBF=|BBI, 所以∠BB,F=∠BFB,=∠B,FO,∠AAF=∠AFA,=∠A,FO, 又因为∠BFB,+∠B,FO+∠AFA1十∠A,FO=π， 所以∠B,FO+∠AFO=,所以∠AFB,=受，B错误. 设∠A=.由焦点弦公式可得1AB1=)≥4，所以C正确， 因为|AF|=|AA|,BF|=|BBI,|AF|=3|BF, 所以|AB=|AF+|BF=4BBI, 过B作BT⊥AA,BT∩AA=T, 所以1esA-乙AA--品B-0-安· AB 所以∠AFx=哥或∠AFx-要，放直线AB的斜率为士5，D正确， 11.【答案】BCD 【解析】因为A+B+C=3B+C=x,所以0<B<等，所以2<cosB<1. 又sn4=sn2B=2nasB,所以coB元<1.即a2h,A结误。 因为A=2B,由正弦平方差公式可得sinA-sinB=sin(A+B)sin(A-B)=sin Csin B, 由正弦定理可知a2一b=bc.故B正确. 由上可知a2=b2+bc, 再结合余弦定理可得a2=b十c2-2 bccos A=b2+bc, 数学参考答案和评分标准第2页（共6页） 因此2 bccos A-=c2-bc,所以cosA=b<1,故c<3b.C正确. 26 由和差化积公式可得二b-sinA-sinB 2cos 4+B. 2 Psin A-B 2 tanA-B 2 a+b sin A+sinB 2in4平ws4Ban4中更 2 2 A-B tan 2 B 因为A=2B,所以A tan2 a十b A十B 3BD正确. tan 2 tan 2 三、填空题 12.【答案y=2x+1. 【解析门由题意知y=6+放切线的斜率k-1-=2.而切点为01，放切线方程为y2x十1， 13.【答案2. 【解析】.S2=3,S6=21,S6≠3S2∴.q≠1， 则9=042）-1-4)+g+4)=s,·1+g+g)=21. 1-9 1-9 ∴.g+g2+1=7, ∴.g+g2-6=(g2+3)(g2-2)=0, 又g>0,gq=√2. 14.【答案】2 【解析】依题意，X的可能值为1,2,3,4,5,6. P(X=1)=4 9, P(X-2)-CXCI-5 A号18' P(X=3)= A号×C4_10 A863 P(X=1)-AXCI-5 A 3 P(X=5)= AXC 1-2 A63' P(X=6)= AXC 1 AS 1261 故0-Ix号+2×是+3×品+4X高+5×品+6X一器-2 63 63 63 四、解答题 15.【解析】(1)根据列联表可知，每天喝咖啡者共500人，其中患失眠的人数为120人.…2分 因此，P的估计值为器- =0.24.…5分 (2)零假设H:每天喝咖啡与失眠独立（即无关）.…6分 根据表中数据可得， X-1000XC2X420380X802-102>3.841=46, 800×200×500×500 11分 数学参考答案和评分标准第3页（共6页） 根据小概率值α=0.05的x独立性检验，我们推断H不成立，即认为每天喝咖啡与失眠有关联，该推 断犯错误的概率不超过0.05. …13分 16.【解析水1D由题意6=1,4一6-1=子（≥2∈N) 用累加法可得bn=b1十(b2一b)十(b3一b2)十…十(b,一bn-1)…2分 =1+3(++…+) =1+3× =2 1- 47 6分 又b=1满足上式，所以an=4”-1b,=2×4”-1-1=221-1 8分 (2由1可得52X气》-=号10一号×-号 4-1 n …11分 则5，>2025号×-号->2025. 当n-5时，S-号×1-号-5=671<2025： ……… 12分 当n=6时，5=号×4-号-6=2724>2025. 13分 而当n≥6时，因为指数增长快于一次函数，故S>2025恒成立.…14分 因此，使得S,>2025成立的最小正整数n是6.… 15分 17.【解析】(1)sin2x=sin2.x台sinx(sin.x-2cosx)=0台sinx=0或tanx=2.…1分 因为x∈[0，π]，所以sinx=0的解为x=0,x=π. …3分 又因为tanx=2在[0，π]上只有l个解（即x=arctan2), 所以原方程在[0，π]上的解有3个.…。 …4分 (2)由题意可知sinx≠0，cosx≠0，因为sin2x十cos2x=1, 所以y=十z-(品十。)水smx+co2)=5++25+2=9.…7分 sin'x cos2x sin cos'x 当且仅当0s-4,即an2x=号时，函数取得最小值9.…8分 sin'x cosx (3)因式分解，得 f(x)=sinx+3sin.x+cosx+3cosx=(sin x+cos x)(sin2x-sin xcosx+cos'x)+3(sinx+cosx) =(sin x+cosx)(4-sin xcosx).................. …10分 令t=sinx+cosx,则te[-2,V2],且sin.ccos-。1 2 所以f)=4）=49。 11分 令g0=44-）=4(g-t[-反w],则ge)=2(9-3)>0, 所以g(t)在[一√2,2]上单调递增。…13分 所以8一厄)≤0≤g2).博≤&0<7g 因此，八)的值域是-7g2,2 2,2 15分 数学参考答案和评分标准第4页（共6页） 18.【解析】(1)因为平面PAD⊥底面ABC,平面PAD∩底面ABC=AD,且PEC平面PAD,PE⊥AD,所以 PE⊥底面ABC.…。 …3分 (2)因为D为BC的中点，E为AD的中点，且O为△ABC的重心，由题意可得 AD-5AE-9,A0-号AD-2从而B0=A0-AE-号 2 6 …5分 又PE⊥AD,如图1所示，可知 OP=PE+B0=PA-AE+B0=2-是+2号 …7分 0P-29放0P-0A=0n-0C 因此，O是三棱锥P-ABC外接球的球心. …8分 (3)以A为坐标原点，AB所在方向为x轴，过A且垂直于底面ABC的方向为 之轴，建立如图2示的空间直角坐标系。 EO D 图1 则A0.00.B2.00.C1w5.0.(号9.0小 设PE=m则P(号，m 于是Pi-(,,mn心-（仔3.-m)a-(保nm …9分 设平面PCB和平面PCA的法向量分别为n1=(x1y1,之1)，2=(x2y2,2), 则a:月=，m-(1.a n,·PC=0x,+33y-4mx,=0 m…A方-0,3x,+B%+m=0n=(5,-1, …11分 n2·PC=0x2+3√/3y2-4m22=0 2m 图2 设平面PCB与平面PCA所成的夹角为O,则由题意可得 cos0-1-sm0-1-是-点 所以cos0=cosn1,mg)P=n·n 2 2m2 16m1-24m2+91 -]n1n22 (+是)(+ 3 64m+60m2+9-18,…13分 整理得224m-492m2+153=0,即(28m2-51)(8m2-3)=0, 解得m一号或m-品 281 15分 当加-号时f-是+m-号得1=3 当m-品时=是+m-器-9得=3平 7 或=3 综上，1=32 4 7 …*………**………*…*…………… 17分 19.【解析1)由题意可得抛物线C的焦点为(0，)，易知椭圆E的一个焦点是(0，)，所以有号=1，解得力 =2.故抛物线C的方程为x2=4y.…4分 (2)由y一千，得y=受故抛物线C在点M()处的切线方程为 数学参考答案和评分标准第5页（共6页） y%一受红即台一要+ 又因为x后=4y,所以切线方程为l:y一号y,…8分 (3)设A(x1,y),B(x2y2).令=2t,则M(2t,t2). 由(2)的结论可知，此时切线方程为l:y=x-t. 限4 消去y,整理得(5+4t)x2-8t3x+4t-20=0. 则+写-9 83 △=641-4(5+4)(44-20)=80(-4+4+5)>0， 解得t∈(0,5)， 10分 1AB1=1+7XG+)-4x=45×√1+7×√4+5) -+42+5 原点O到直线AB的距离d= W1+2 所以△AOB的面积S-|AB1d=25×y (-4+4+5) (4+5)2 …12分 令412+5=u,则5<u<25. 将=“=() 代入S, 得5=26×√1证[u-5“。D 1 16 =× /u-5)2 1 (u-5)1 2 16 义a+会-0e+- 2 …14分 令m=u+25 ,易知其在区间(5,25)上单调递增，所以m∈(10,26). 于是S= 号×√6m-1o)r+m-10 y 16m2+9 65 m一4 -5×-(m-18+64. 8 15分 所以当m=18时，S=尽X8=5.此时=+1<5. 8 2 故△AOB面积的最大值为5.… 17分 数学参考答案和评分标准第6页（共6页）