四川省宣汉中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试数学试题（二）

四川省宣汉中学2024-2025学年度高2022级高三下学期高考数学模拟考试（二） 考试时间：120分钟满分：150分 一、单选题。（每题5分，共40分） 1.已知集合={-2，-1,0,1,2,3}，A={-1,0,1},B={1,2},则d,(AUB)=() A.{-2,3} B.{-2,2,3} C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3} 23+ 1+i =() A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 3.已知向量=(4，x),b=(x,1),那么“x=2”是“a/b”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若棱长为2√5的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A.12m B.24m C.36π D.144π 5.已知直线1：2x-2y+a=0与直线l2:(a-1)x-ay+1=0互相平行，则实数a的值为 () A.-1 B.0 C.1 D.2 6.已知{a}是公差为2的等差数列，且4，凸，4，成等比数列，则S,等于() A.63 B.72 C.81 D.90 7.已知实数a>0,不等式e*-aln(ax)>0恒成立，则a的取值范围是() A上<a<e B.0<a<1 C.0<a<e D.a>e e 8.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒 子里随机取出n(1≤≤6，n∈N)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的 红球个数为ξ个，则随着n1≤≤6，n∈N)的增加，下列说法正确的是() A.E()增加，D()增加 B.E()增加，D()减小 C.E(ξ)减小，D(ξ)增加 D.E(ξ)减小，D()减小 二、多选题。（共3题，18分） 9.已知sin9+cos日=，9e(0,r),则下列等式正确的是(） 12 7 A.sinecose=- B.sine-cos=- 25 C.tane=-3 4 D.sin6+cos日=37 125 10.双曲线C:ry -=1(a>0,b>O)的左，右顶点分别为A、B,右焦点F到渐近线的 距离为√a,P为双曲线C在第一象限上的点，则下列结论正确的有() A.双曲线C的渐近线方程为y=±√3x B.双曲线C的离心率为√5 C.设直线AP的倾斜角为a,直线BP的倾斜角为B,则tana·tanB为定值 D.若直线PF与双曲线的两条渐近线分别交于M、N两点，且FM=2,则 S.MOF =2S.NOF 11.已知函数f(x)=a-x(x>0,a>0且a≠1)，则() A.当a=e时，f(x)≥0恒成立 B.若f(x)有且仅有一个零点，则0<a<1 C.当a>e时，f(x)有两个零点 D.存在a>1,使得f(x)有三个极值点 三、填空题。（15分) 12.若1，m+4,2m+8成等比数列，则m= l3.若y=x+a是曲线y=√x的切线，则a= 14.已知双曲线C: xy2 a b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，F,过耳的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B两点.若FA=AB,FB·E,B=O,则C的离心率为 四、解答题。(77分) 15.(本小题13分) 已知函数fu)=V3cas2n一 )-1(w>0)的最小正周期为π. (I)求f(x)的单调递减区间： (②)将f)的图象向左平移0<p<个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象 关于原点对称，求P的值 (周)若(-，求0的值域 16.(本小题15分) 已知椭圆￡+ -=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,A,,右焦点为F,已知 AF=3,AF=1. ()求椭圆的方程和离心率； (2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线A,P交y轴于点2，若三角形APQ的面积是 三角形A,PF面积的二倍，求直线A,P的方程. 17.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=I20°，AB=1, BC=4,PA=√15，M,N分别为BC,PC的中点，PD⊥DC,PM⊥MD M B (I)证明：AB⊥PM; (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值 18.(本小题17分) 已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数， （I)当k=6时， (i)求曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程： 9 （ⅱ)求函数g(x)=f(x)-f'(x)+二的单调区间和极值： (Ⅱ)当≥-3时，求证：对任意的x,x2∈[1，+o),且x>x2,有 f"(x)+f'(,>fx)-fx) 2 X1-X2 19.(本小题17分) 在信息理论中，X和Y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：P(X=x)=, P(Y=x)=h,,>0,h>0,i=1,2,…,n, 立m=立n=1.定义随机变量X的信 息量H()=-立mog,m,x和Y的距离°KL(X)=立mlog, i=1 ⑩若X-宁，求x的分布列和HCn, (2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的 概率为p(0<p<1),由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为q, 发出信号1接收台收到信号为1的概率为q(0<q<1) (i)若口=q-,求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率： (ⅱ)记随机变量X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：KL(X‖Y)≥0. 四川省宣汉中学2024-2025学年度高2022级高三下学期高考数学模拟考试（二）参考答案 一、单选题。（共40分） 1-4 ADAC 5-8 BCCC 二.多选题。(18分) 9.ABD 10.ACD 11.AC 三.填空题。 12.-2 13 14.2 四.解答题。 15.（13分)解：四由T=g=几，得w=1,所以f)=-3c0s(2x--1. 令万十2<2江君≤2，友eZ.解得板-设≤<额+合keZ。 12 所以Jw的单调造诚区同为k:-侣kT+kc乙. (②)将f)的图象向左平移0<<个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 9u)=-V8s2r+2-爱的图象 因为g)的图象关于原点对称、所以2-名-+知，keZ,即9=+红，cZ 因为0<<号 π 所以p=。 3 由-9.得2r-(- 2元5π 则os2r-（所以e[-l 所以f(x)的值域为 16.(15分)解：) 如图， a+c=3 由题意得 a-c=1解得a=2,c=1,所以b=V2-=5, 所以椭圆的方程为兰+少=1， 43 离心率为e=亡= (2) 由题意得，直线4P斜率存在，由椭圆的方程为二+上=1可得4(2,0)。 43 设直线A,P的方程为y=k(x-2), x2 ,y2 =1 联立方程组 4 3 y=k(x-2) 消去y整理得：（3+42)x2-16k2x+16M2-12=0 16k2-1 8k2-6 由韦达定理得x·xp三 3+4k2 ,所以x,=3+42 所以P 8k2-6-12k） 3+4k2’3+4k2 2(0-2k), 1 ×4×yl, 所以S4e4=S4Pe+S4P=2Sa4Pe+S44P, 所以2y%=3y,即2-2k=3 12k 3+42 解得及=±V6 厅以直线4P的方程为y=±，6x一2刃》 17.(15分)解： (1)证明：：∠ABC=120,AB=1,BC=4, ∴在△DCM中，DC=1,CM=2,∠DCM=60°，由余弦定理可得DM=√3， 则DM2+DC2=CM2, .DM⊥DC, 由题意可知DC⊥PD,且PDO DM=D, PD,DMc平面PDM, .DC⊥平面PDM,而PMc平面PDM, DC L PM,又AB∥DC, .AB⊥PM (2)由PM⊥MD,DC⊥PM,而DC与DM相交，DC,DMC平面ABCD, .PM⊥平面ABCD, ∠ABC=120°，AB=1,BM=2, :AM=√万， .PM=2√2， 取AD中点为E,连接M,则MB,DM,PM两两垂直，以点M为坐标原点，建立空 间直角坐标系，如图所示： E 则A(-√5,2,0)，P(0,0,22),D(V3,0,0), M(0,0,0),C(3,-1,0) 又N为PC中点， 学g.-9 由I)得CD1平面PDM,可得CD可作为平面PDM的一个法向量i=(O,1,O), 从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为： sin ANi>=- AN.n 2 V15 AW1训27,25 +2 6 V44 18.(17分)解：(I)()当k=6时，f(x)=x3+6lnx, 故fm)）=3x2+ f'(1)=9 f1)=1, 曲线y=f(x)在点1,1)处的切线方程为y-1=9(x-1),即9x-y-8=0. (mg()=fm)-ft9=x+6mx-3x2+3,x>0, 1 g'(w=3x2-6r+5-3=3x-6m+6x-330x-1(+) x x2 x 令g'(x)=0,解得x=1, 当0<x<1,g'(x)<0, 当x>1,g'(x)>0 ∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在Q,+∞)上单调递增， x=1是极小值点，极小值为g()=1,无极大值 证明：（)由f()=心+kl血x,则f(x)=3x2+ 对任意的x,与∈[L,+o,且5>，令互=1,1>1， x, 则 G-汇fx)+f,月-2fx)-fx】=(4-X3x++3x2+当 k -2x-戈+km5). X2 =x-x号-3xx+3xx+k(在-)-2k1n王 =x-32+3-)+k-121m0,① t 令)=x-12nx,x>1, 当x>1时，h(x)=1+ 1 2=1->0. 12 .h(x)在1，+oo)单调递增， 当1>1，h0>h=0,即1-2n1>0, ≥1，t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0,≥-3， xe-30+31-+kt-}2n0>2-302+3-1-3t-}2n)=f-3 +61n1+3-L,②. 由(I)闭可知当t>1时，g(t)>g(1), 即r-3x2+61nt+3>L,③. 由①2③可得(：-x汇f'(s)+f"(x】-2[f(:)-f(x】>0, 当≥-3时，对任意的，名∈儿+o,且飞>，有)牛f,）>)f) 2 19.(17分)解四因为X~B(3,之. px=)-C(（k=123). X可能的取值有0,1,2,3， P(X=0)= i()- 8 u--c周专 所以X的分布列为： X0123 1331 8888 8 (2)()记发出信号0和1分别为事件A, 接受信号0和1分别为事件B, 则P(A)=p,P(A)=1-p, P(B。|A)=P(B|A)=q, P(B|A)=P(B|A)=1-q, 所以P(B)=P(A)P(B,IA)+P(A)P(B|A) =p1-q)+A-p)M=p+q-2p9, 所以P(41B)=PA)PB1A) P(B) =0-pg=2. p+9-2pg3 ()由)知， P(B,)=1-P(B)=p+q-2p9, 所以P(B。)=1-p-q+2pg, 所以KL(XI)=plog:1-p-q+2p网 卫 一+1-p)1bg:p+g-2pg 1-p 设)-1h,则-学 当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(1，+o)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 所以f(x)f)=0,即m≥1-1 所以gx0产品0-之， 所以KIxI1)2p1-1-P-g+2%+A-pD)0-P+g-2p4=0, In 2 In2 1-p 1-p 当且仅当1-p-q+2gp+g-2四 =1 2)0<g<1时等号成立，即z(x四雅