2.2 充分条件、必要条件、充要条件 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2．2　充分条件、必要条件、充要条件 2.2.1　充分条件、必要条件、充要条件(1) 一、 单项选择题 1 已知x，y∈R，则“x和y均为有理数”是“xy为有理数”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2 “x2＝4”是“x＝－2”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3 (2024唐山期中)已知p：0<x<2，q：－1<x<3，则p是q的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4 (2024徐州铜川期中)已知a，b都是自然数，则“a＋b是偶数”是“a，b都是偶数”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5 (2024浙江南太湖联盟联考)设a，b，c分别是△ABC的三条边，则“△ABC为直角三角形”是“a2＋b2＝c2”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6 (2024苏州中学期中)老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明“做容易题”是“做难题”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 二、 多项选择题 7 (2024石家庄二中月考)已知“若p，则q”为真命题，则下列说法中正确的是(　　) A. p是q的充分条件 B. p不是q的必要条件 C. p的必要条件是q D. q不是p的充分条件 8 (2024天一中学期中)下列命题中，为真命题的是(　　) A. “x>4”是“x<5”的既不充分又不必要条件 B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要且不充分条件 C. “关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2－4ac>0” D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分条件 三、 填空题 9 已知△ABC，△A1B1C1，则“两三角形对应角相等”是“△ABC≌△A1B1C1”的________条件．(填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 10 (2024杭州四中期末)已知α：－1≤x≤2，β：－2≤x≤2a＋1，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是________． 11 (2024莆田八中期中)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要且不充分条件，则实数a的取值范围是________． 四、 解答题 12 指出下列命题中，p是q的什么条件． (1) p：x＝1，q：|x|＝1； (2) p：两直线平行，q：同位角相等； (3) p：点在角的平分线上，q：点到角的两边所在直线的距离相等； (4) p：斜边相等，q：两直角三角形全等． 13 设命题p：实数x满足a<x<3a，其中a>0；q：实数x满足2<x<3. (1) 若a＝1，且p和q均为真，求实数x的取值范围； (2) 若q是p的充分条件，求实数a的取值范围. 2．2.2　充分条件、必要条件、充要条件(2) 一、 单项选择题 1 (2024安徽A10联盟期中)使－1<x<4成立的一个充分且不必要条件是(　　) A. －1<x≤4 B. －1<x<0 C. －1<x<5 D. －2<x<1 2 (2024广东八校联盟期中)方程ax2＋5x＋4＝0(a≠0)有两个异号实根的一个充要条件是(　　) A. a<0 B. a>0 C. a<2 D. a<－1 3 (2024南通如东、通州期中)“m<2”是“|m－1|<1”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 充要条件 C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 4 “二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴没有交点”的充要条件是(　　) A. m2－4n>0 B. m2－4n<0 C. m2－4n＝0 D. m＝1，n＝2 5 (2024淮阴中学期中)设x，y∈R，则“xy＋1＝x＋y”的充要条件为(　　) A. x，y至少有一个为1 B. x，y都为1 C. x，y都不为1 D. x2＋y2＝2 6 (2024泰州三中期中)已知p：－2≤x≤5，q：2－2m≤x≤2＋m(m>0)，若p的充分且不必要条件是q，则实数m的取值范围为(　　) A. (－∞，3] B. (0，3] C. [2，＋∞) D. (0，2] 二、 多项选择题 7 (2024石家庄二中月考)设全集为R，在下列条件中，满足B⊆A的充要条件的有(　　) A. A∩B＝A B. (∁RA)∩B＝R C. ∁RA⊆∁RB D. A∪(∁RB)＝R 8 下列说法中，正确的是(　　) A. 若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 B. “>”是“a<b”的既不充分又不必要条件 C. “A∩B≠∅”是“A⊆B”的既不充分又不必要条件 D. “a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件 三、 填空题 9 (2024泉州四校期中联考)若集合A＝(2，＋∞)，B＝(－∞，m)，则A∪B＝R的一个充分且不必要条件为__________．(用m表示) 10 (2024肇庆广信中学月考)已知“x<a－1或x>a＋1”是“x>2或x<－1”的必要且不充分条件，则实数a的取值范围是________． 11 (2024连云港赣榆期中)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x≥b－a}，若“a＝2”是“A∩B＝A”的充分条件，则实数b的取值范围为________． 四、 解答题 12 已知集合A＝{x|－7<x<－2}，B＝{x|2m＋3≤x≤m＋1}． (1) 当B＝∅时，求实数m的取值范围； (2) 当B为非空集合时，若“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要条件，求实数m的取值范围． 13 (2024咸阳彬州城关中学期中)已知集合P＝{x|1≤x≤2}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1) 是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； (2) 是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．2　充分条件、必要条件、充要条件 2.2.1　充分条件、必要条件、充要条件(1) 1. A　若x和y均为有理数，则xy为有理数，反之，xy为有理数，x和y不一定为有理数，如x＝y＝，满足xy＝2是有理数，而x，y均为无理数，所以“x和y均为有理数”是“xy为有理数”的充分且不必要条件． 2. B　当x2＝4时，x＝±2，所以充分性不成立；当x＝－2时，x2＝4，所以必要性成立，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要且不充分条件． 3. A　因为{x|0<x<2}是{x|－1<x<3}的真子集，所以p是q的充分且不必要条件． 4. B　若a＋b是偶数，则a，b都是偶数或a，b都是奇数，所以“a＋b是偶数”是“a，b都是偶数”的必要且不充分条件． 5. B　当a＝5，b＝4，c＝3时，易知△ABC是直角三角形，但a2＋b2≠c2，所以充分性不成立；根据勾股定理，由a2＋b2＝c2，得△ABC是直角三角形，所以必要性成立，所以“△ABC为直角三角形”是“a2＋b2＝c2”的必要且不充分条件． 6. B　由题意可知“做容易题”不一定能推出“做难题”，但“做难题”一定可以推出“做容易题”，故“做容易题”是“做难题”的必要且不充分条件． 7. AC　因为“若p，则q”为真命题，所以p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件，故A，C正确；q能否推出p无法判断，故B，D错误．故选AC. 8. AD　对于A，“x>4”与“x<5”互相不能推出，故A正确；对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分且不必要条件，故B错误；对于C，“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”的充要条件是“b2－4ac≥0”，故C错误；对于D，因为b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠0，故充分性不成立；由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以必要性成立，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分条件，故D正确．故选AD. 9. 必要且不充分　由两三角形对应角相等不能推出△ABC≌△A1B1C1；反之，由△ABC≌△A1B1C1可以推出∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.故“两三角形对应角相等”是“△ABC≌△A1B1C1”的必要且不充分条件． 10. 　若α是β的充分条件，则集合{x|－1≤x≤2}是集合{x|－2≤x≤2a＋1}的子集，可得2a＋1≥2，解得a≥，所以实数a的取值范围是. 11. [3，＋∞)　因为x∈A是x∈B的必要且不充分条件，所以BA.又A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，所以a≥3. 12. (1) 由|x|＝1，得x＝±1， 所以“x＝1”是“|x|＝1”的充分且不必要条件， 即p是q的充分且不必要条件． (2) 若两直线平行，则同位角相等，即充分性成立；反之，若同位角相等，则两直线平行，即必要性成立， 所以p是q的充要条件． (3) 若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离相等，即充分性成立； 反之，如图，对于∠AOB，过点P分别作PM⊥OB，PN⊥OA，且PM＝PN， 此时满足点P到∠AOB的两边所在直线的距离相等，但点P不在∠AOB的平分线上，即必要性不成立， 所以p是q的充分且不必要条件． (4) 若斜边相等，两个直角三角形不一定全等，所以充分性不成立； 反之，若两个直角三角形全等，则斜边相等，即必要性成立， 所以p是q的必要且不充分条件． 13. (1) 当a＝1时，若命题p为真，则1<x<3. 若命题q为真，则2<x<3. 又p和q均为真， 所以实数x的取值范围为(2，3). (2) 若q是p的充分条件，则即1≤a≤2， 故实数a的取值范围为[1，2]. 2．2.2　充分条件、必要条件、充要条件(2) 1. B　设A＝(－1，4)，则使－1<x<4成立的一个充分且不必要条件是集合A的真子集．对照选项知，只有B符合题意． 2. A　由题意，得解得a<0. 3. C　由|m－1|<1，得－1<m－1<1，解得0<m<2，所以由m<2推不出|m－1|<1，故充分性不成立；由|m－1|<1能推出m<2，故必要性成立，所以“m<2”是“|m－1|<1”的必要且不充分条件． 4. B　由二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴没有交点，得m2－4n<0. 5. A　由xy＋1＝x＋y，则(x－1)(y－1)＝0，可得x＝1或y＝1，即x，y至少有一个为1，所以“xy＋1＝x＋y”的充要条件为“x，y至少有一个为1”． 6. D　设集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|2－2m≤x≤2＋m，m>0}．因为p的充分且不必要条件是q，所以B是A的真子集，则等号不同时成立，解得0<m≤2. 7. CD　当A∩B＝A时，A⊆B，不满足题意，故A错误；若(∁RA)∩B＝R，显然只有A＝∅，B＝R时成立，不满足题意，故B错误；若∁RA⊆∁RB，则B⊆A，同时若B⊆A，则∁RA⊆∁RB，满足题意，故C正确；当A∪(∁RB)＝R时，B⊆A，同时若B⊆A，则A∪(∁RB)＝R，满足题意，故D正确．故选CD. 8. ABC　对于A，a，b∈R，若a2＋b2≠0，即必有a，b不全为0，则充分性成立；若a，b不全为0，则同样有a2＋b2≠0，即必要性成立，故A正确；对于B，由>不能推出a<b，比如>，但是 2>－3，即充分性不成立；由a<b不能推出>，比如－2<3，但是<，即必要性不成立，所以“>”是“a<b”的既不充分又不必要条件，故B正确；对于C，因为A∩B≠∅，取A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，满足A∩B≠∅，但此时A⊆B不成立，即充分性不成立；若A⊆B成立，可取A＝∅，则可以有A∩B＝∅，即必要性不成立，所以“A∩B≠∅”是“A⊆B”的既不充分又不必要条件，故C正确；对于D，由an>bn(n∈N，n≥2)不能推出a>b>0，比如a＝1，b＝0，1n>0n(n∈N，n≥2)满足，但是a>b>0不满足，所以必要性不满足，故D错误．故选ABC. 9. m>3(m的取值范围为集合{m|m>2}的真子集即可)　因为集合A＝(2，＋∞)，B＝(－∞，m)，且A∪B＝R，所以m>2，故A∪B＝R的一个充分且不必要条件为m>3. 10. [0，1]　因为“x<a－1或x>a＋1”是“x>2或x<－1”的必要且不充分条件，所以集合{x|x>2或x<－1}是集合{x|x<a－1或x>a＋1}的真子集，则且等号不同时成立，解得0≤a≤1. 11. (－∞，1]　若A∩B＝A，则A⊆B，所以b－a≤－1，即b≤a－1.因为“a＝2”是“A∩B＝A”的充分条件，所以b≤2－1＝1.故实数b的取值范围为(－∞，1]. 12. (1) 由B＝{x|2m＋3≤x≤m＋1}＝∅，得2m＋3>m＋1，解得m>－2， 即实数m的取值范围为(－2，＋∞). (2) 由B≠∅，得2m＋3≤m＋1，即m≤－2. 由“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要条件，得BA， 则解得－5<m<－3. 综上，实数m的取值范围为(－5，－3). 13. (1) 要使x∈P是x∈S的充要条件，则需使P＝S， 即此方程组无解， 故不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． (2) 要使x∈P是x∈S的必要条件，则需使S⊆P. 当S＝∅时，1－m>1＋m，解得m<0，满足题意； 当S≠∅时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S⊆P，则解得m≤0，所以m＝0. 综上，存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，m的取值范围是(－∞，0]. 学科网（北京）股份有限公司 $